4.4 自同构

自同构

定义

设 $G$ 为一个群。从 $G$ 到其自身的同构称为 $G$ 的自同构。所有 $G$ 的自同构的集合表示为 $\operatorname{Aut}\left( G\right)$ 。

我们留作练习来简单验证 $\operatorname{Aut}\left( G\right)$ 在自同构的复合下构成一个群，即 $G$ 的自同构群（由于每个自同构的定义域和值域相同，自同构的复合是定义良好的）。注意，群 $G$ 的自同构特别地是集合 $G$ 的排列，因此 $\operatorname{Aut}\left( G\right)$ 是 ${S}_{G}$ 的一个子群。

群 $G$ 的一个最重要的自同构例子是由 $G$ 中一个固定元素共轭给出的。下一个结果在稍微更一般的背景下讨论这一点。

命题 13

设 $H$ 是群 $G$ 的正规子群。那么 $G$ 通过共轭在 $H$ 上作用作为 $H$ 的自同构。更具体地，$G$ 通过共轭在 $H$ 上的作用定义为对于每个 $g \in G$ 。

对于每个 $g \in G$ ，由 $g$ 共轭是一个 $H$ 的自同构。这种作用提供的置换表示是 $G$ 到 $\operatorname{Aut}\left( H\right)$ 的同态，其核为 ${C}_{G}\left( H\right)$ 。特别地，$G/{C}_{G}\left( H\right)$ 同构于 $\operatorname{Aut}\left( H\right)$ 的一个子群。

证明：（参见练习17，第1.7节）设 ${\varphi }_{g}$ 为由 $g$ 的共轭。注意因为 $g$ 规范化 $H,{\varphi }_{g}$ 将 $H$ 映射到自身。由于我们已经看到共轭定义了一个作用，因此可以得出 ${\varphi }_{1} = 1$（在 $H$ 上的恒等映射）和 ${\varphi }_{a} \circ {\varphi }_{b} = {\varphi }_{ab}$ 对所有 $a,b \in G$ 成立。因此每个 ${\varphi }_{g}$ 给出了从 $H$ 到其自身的双射，因为它有一个双边逆 ${\varphi }_{{g}^{-1}}$ 。每个 ${\varphi }_{g}$ 是从 $H$ 到 $H$ 的同态，因为

对所有 $h,k \in H$ 成立。这证明了由 $G$ 中任何固定元素进行的共轭定义了 $H$ 的自同构。

根据前面的备注，由 $\psi \left( g\right) = {\varphi }_{g}$ 定义的置换表示 $\psi : G \rightarrow {S}_{H}$（我们已经证明它是一个同态）的像包含在 ${S}_{H}$ 的子群 $\operatorname{Aut}\left( H\right)$ 中。最后，

第一同构定理暗示了命题的最后陈述。

命题13表明，一个群通过共轭在正规子群上作用，作为保持结构的置换，即作为自同构。特别是，这个作用必须将子群映射到子群，将阶为 $n$ 的元素映射到阶为 $n$ 的元素，等等。命题的两个具体应用在接下来的两个推论中描述。

推论14

如果 $K$ 是群 $G$ 的任一子群且 $g \in G$ ，那么 $K \cong {gK}{g}^{-1}$ 。共轭元素和共轭子群具有相同的阶。

证明：令命题中的 $G = H$ ，表明由 $g \in G$ 的共轭是 $G$ 的自同构，由此得出推论。

推论 15

对于任意群 $H$ 的子群 $G$ ，商群 ${N}_{G}\left( H\right) /{C}_{G}\left( H\right)$ 同构于 $\operatorname{Aut}\left( H\right)$ 的一个子群。特别是，$G/Z\left( G\right)$ 同构于 $\operatorname{Aut}\left( G\right)$ 的一个子群。

证明：由于 $H$ 是群 ${N}_{G}\left( H\right)$ 的正规子群，命题 13（应用于 ${N}_{G}\left( H\right)$ 扮演 $G$ 的角色）蕴含了第一个断言。第二个断言是当 $H = G$ 时的特殊情况，在这种情况下 ${N}_{G}\left( G\right) = G$ 和 ${C}_{G}\left( G\right) = Z\left( G\right)$ 。

定义

设 $G$ 是一个群，令 $g \in G$ 。由 $g$ 的共轭称为一个内自同构 $G\textit{ and the subgroup of }\mathsf{{Aut}}\left( G\right) \textit{ consisting of all inner automorphisms}$ ，表示为 $\operatorname{Inn}\left( G\right)$ 。

注意，$G$ 的内自同构集合实际上是 $\mathrm{{Aut}}\left( G\right)$ 的一个子群，并且根据推论 15，Inn $\left( G\right) \cong G/Z\left( G\right)$ 。还应注意，如果 $H$ 是 $G$ 的正规子群，则 $G$ 中元素的共轭在限制到 $H$ 上是一个 $H$ 的自同构，但不一定是 $H$ 的内自同构（正如我们将看到的）。

Examples

示例

(1) 一个群 $G$ 是阿贝尔群当且仅当每个内自同构都是平凡的。如果 $H$ 是 $G$ 的阿贝尔正规子群且 $H$ 不包含在 $Z\left( G\right)$ 中，那么存在某个 $g \in G$ ，使得 $g$ 的共轭在限制到 $H$ 上不是 $H$ 的内自同构。这种情况的一个具体例子是 $G = {A}_{4},H$ 是 $G$ 中的克莱因四元群，而 $g$ 是任意的3-循环。

(2) 由于 $Z\left( {Q}_{8}\right) = \langle - 1\rangle$ 我们有 $\operatorname{Inn}\left( {Q}_{8}\right) \cong {V}_{4}$ 。

(3) 由于 $Z\left( {D}_{8}\right) = \left\langle {r}^{2}\right\rangle$ 我们有 $\operatorname{Inn}\left( {D}_{8}\right) \cong {V}_{4}$ 。

(4) 由于对于所有 $n \geq 3,Z\left( {S}_{n}\right) = 1$ 我们有 $\operatorname{Inn}\left( {S}_{n}\right) \cong {S}_{n}$ 。

推论 15 显示，我们关于某个群 $G$ 的子群 $H$ 的自同构群的信息可以转化为关于 ${N}_{G}\left( H\right) /{C}_{G}\left( H\right)$ 的信息。例如，如果 $H \cong {Z}_{2}$ ，那么由于 $H$ 有唯一的阶为 1 和 2 的元素，推论 14 强制 $\operatorname{Aut}\left( H\right) = 1$ 。因此如果 $H \cong {Z}_{2},{N}_{G}\left( H\right) = {C}_{G}\left( H\right)$ ；如果此外 $H$ 是 $G$ 的正规子群，那么 $H \leq Z\left( G\right)$ （参见练习 10，第 2.2 节）。

尽管前一个例子相当平凡，但它说明了 $G$ 通过共轭作用在正规子群 $H$ 上的作用可以受到 $H$ 的自同构群知识的限制。这反过来可以用来研究 $G$ 的结构，当我们在第 5.5 节考虑半直积时，这将导致一些分类定理。

一个将在后续章节中使用到的概念最自然地在这里引入：

定义

若群 $G$ 的子群 $H$ 在 $G$ 中被称为特征子群，记作 $H$ char $G$ ，如果 $G$ 的每个自同构都将 $H$ 映射到自身，即 $\sigma \left( H\right) = H$ 对于所有 $\sigma \in \operatorname{Aut}\left( G\right)$ 。

我们将在后面使用的关于特征子群的结果（其证明留给了练习）是

(1) 特征子群是正规的，

(2) 如果 $H$ 是 $G$ 中给定阶的唯一子群，那么 $H$ 在 $G$ 中是特征的，并且

(3) 如果 $K$ 字符 $H$ 和 $H \trianglelefteq G$ ，那么 $K \trianglelefteq G$（因此尽管“正规性”不是一个传递性质（即一个正规子群的正规子群不一定是正规的），但正规子群的特性子群是正规的）。

因此我们可以将特性子群视为“强正规”子群。例如，性质（2）和定理2.7表明，每个循环群的子群都是特性子群。

我们以一些关于特定群的自同构群的结果来结束这一节。

命题16

阶为 $n$ 的循环群的自同构群同构于 ${\left( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\right) }^{ \times }$ ，这是一个阶为 $\varphi \left( n\right)$ 的阿贝尔群（其中 $\varphi$ 是欧拉函数）。

证明：设 $x$ 是循环群 ${Z}_{n}$ 的生成元。如果 $\psi \in \operatorname{Aut}\left( {Z}_{n}\right)$ ，那么 $\psi \left( x\right) = {x}^{a}$ 对于某个 $a \in \mathbb{Z}$ ，整数 $a$ 唯一确定 $\psi$ 。称这个自同构为 ${\psi }_{a}$ 。如往常一样，由于 $\left| x\right| = n$ ，整数 $a$ 只在模 $n$ 下定义。由于 ${\psi }_{a}$ 是自同构，$x$ 和 ${x}^{a}$ 必须具有相同的阶，因此 $\left( {a,n}\right) = 1$ 。此外，对于每个与 $n$ 互质的 $a$ ，映射 $x \mapsto {x}^{a}$ 是 ${Z}_{n}$ 的自同构。因此我们有一个满射映射

映射 $\Psi$ 是同态，因为

对于所有 ${\psi }_{a},{\psi }_{b} \in \operatorname{Aut}\left( {Z}_{n}\right)$ ，因此

最后，$\Psi$ 显然是单射，因此是同构。

在第9.5节的结尾给出了 $\operatorname{Aut}\left( {Z}_{n}\right)$ 同构类型的完整描述。

示例

假设 $G$ 是一个阶为 ${pq}$ 的群，其中 $p$ 和 $q$ 是素数（不一定不同）且满足 $p \leq q$ 。如果 $p \nmid q - 1$ ，我们证明 $G$ 是阿贝尔群。

如果 $Z\left( G\right) \neq 1$ ，拉格朗日定理迫使 $G/Z\left( G\right)$ 是循环的，因此根据练习 36，第 3.1 节，$G$ 是阿贝尔群。因此我们可以假设 $Z\left( G\right) = 1$ 。

如果 $G$ 的每个非单位元素都有阶 $p$ ，那么每个非单位元素的中央izer 的指数为 $q$ ，因此 $G$ 的类方程为

这是不可能的，因为 $q$ 除 ${pq}$ 和 ${kq}$ 但不除 1。因此 $G$ 包含一个阶为 $q$ 的元素 $x$。

令 $H = \langle x\rangle$ 。由于 $H$ 的指数为 $p$ 且 $p$ 是 $\left| G\right|$ 的最小素因数，根据推论 5，子群 $H$ 在 $G$ 中是正规子群。由于 $Z\left( G\right) = 1$ ，我们必须有 ${C}_{G}\left( H\right) = H$ 。因此 $G/H = {N}_{G}\left( H\right) /{C}_{G}\left( H\right)$ 是一个阶为 $p$ 的群，同构于 $\mathrm{{Aut}}\left( H\right)$ 的一个子群，根据推论 15。但是根据命题 16，$\operatorname{Aut}\left( H\right)$ 的阶为 $\varphi \left( q\right) = q - 1$ ，根据拉格朗日定理这将意味着 $p \mid q - 1$ ，与假设相反。这表明 $G$ 必须是阿贝尔群。

可以验证，每个阶为 ${pq}$ 的群，其中 $p$ 和 $q$ 是不同的素数且 $p < q$ 和 $p \nmid q - 1$ 是循环的（见练习）。这是第一个存在唯一同构类型的群，其阶为合数的实例。例如，每个阶为 15 的群都是循环的。

下一个命题总结了关于已知群的自同构群的一些结果，将在后面证明。该命题的第 3 部分说明了向量空间的理论如何在群论中发挥作用。

命题 17。

(1) 如果 $p$ 是一个奇素数且 $n \in {\mathbb{Z}}^{ + }$ ，那么阶为 $p$ 的循环群的自同构群是阶为 $p - 1$ 的循环群。更一般地，阶为 ${p}^{n}$ 的循环群的自同构群是阶为 ${p}^{n - 1}\left( {p - 1}\right)$ 的循环群（参见第 9.5 节的推论 20）。

(2) 对于所有 $n \geq 3$ ，阶为 ${2}^{n}$ 的循环群的自同构群同构于 ${Z}_{2} \times {Z}_{{2}^{n - 2}}$ ，特别地，它不是循环的，但有一个指数为 2 的循环子群（参见第 9.5 节的推论 20）。

(3) 设 $p$ 是一个素数，$V$ 是一个可加的阿贝尔群，且具有对于所有 $v \in V$ 的性质 ${pv} = 0$ 。如果 $\left| V\right| = {p}^{n}$ ，那么 $V$ 是域 ${\mathbb{F}}_{p} = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 上的 $n$ 维向量空间。 $V$ 的自同构恰好是从 $V$ 到自身的非奇异线性变换，即

特别地，$\operatorname{Aut}\left( V\right)$ 的阶如第 1.4 节所述（参见第 10.2 节和第 11.1 节的例子）。

(4) 对于所有 $n \neq 6$ 我们有 $\operatorname{Aut}\left( {S}_{n}\right) = \operatorname{Inn}\left( {S}_{n}\right) \cong {S}_{n}$（参见练习18）。对于 $n = 6$ 我们有 $\left| {\text{Aut}\left( {S}_{6}\right) \; : \;\text{Inn}\left( {S}_{6}\right) }\right| = 2$（参见下面的练习19以及6.3节中的练习10）。

(5) $\operatorname{Aut}\left( {D}_{8}\right) \cong {D}_{8}$ 和 $\operatorname{Aut}\left( {Q}_{8}\right) \cong {S}_{4}$（参见下面的练习4和练习5以及6.3节中的练习9）。

命题第3部分中描述的群 $V$ 被称为阶为 ${p}^{n}$ 的初等阿贝尔群（我们将在第5章看到它由 $p$ 和 $n$ 确定同构）。克莱因四元群，${V}_{4}$，是阶为4的初等阿贝尔群。该命题断言

根据第1.4节的练习，后一个群有6个元素。但是 $\operatorname{Aut}\left( {V}_{4}\right)$ 对 ${V}_{4}$ 的3个非单位元素进行置换，并且 $\operatorname{Aut}\left( {V}_{4}\right)$ 对 ${V}_{4} - \{ 1\}$ 的这种作用给出了 $\operatorname{Aut}\left( {V}_{4}\right)$ 到 ${S}_{3}$ 的一个单射置换表示。由于阶的考虑，同态是满射，所以

注意到 ${V}_{4}$ 是阿贝尔群，所以 $\operatorname{Inn}\left( {V}_{4}\right) = 1$。

对于任何素数 $p$，阶为 ${p}^{2}$ 的初等阿贝尔群是 ${Z}_{p} \times {Z}_{p}$。它的自同构群 $G{L}_{2}\left( {\mathbb{F}}_{p}\right)$ 的阶为 $p{\left( p - 1\right) }^{2}\left( {p + 1}\right)$。因此推论9意味着对于素数 $p$

分别根据 $P$ 是循环群还是初等阿贝尔群。

示例

假设 $G$ 是一个阶为 ${45} = {3}^{2}5$ 的群，且有一个阶为 ${3}^{2}$ 的正规子群 $P$。我们证明 $G$ 必然是阿贝尔群。

商 $G/{C}_{G}\left( P\right)$ 同构于 $\operatorname{Aut}\left( P\right)$ 的一个子群，由推论15得出，Aut(P)的阶数为6或48（分别取决于 $P$ 是否是循环群或初等阿贝尔群），由前一段得出。另一方面，由于 $P$ 的阶数是一个素数的平方，$P$ 是一个阿贝尔群，因此 $P \leq {C}_{G}\left( P\right)$ 。由此得出 $\left| {{C}_{G}\left( P\right) }\right|$ 能被9整除，这意味着 $\left| {G/{C}_{G}\left( P\right) }\right|$ 是1或5。这些一起意味着 $\left| {G/{C}_{G}\left( P\right) }\right| = 1$ ，即 ${C}_{G}\left( P\right) = G$ 和 $P \leq Z\left( G\right)$ 。由于 $G/Z\left( G\right)$ 是循环群，$G$ 必须是一个阿贝尔群。