3.4 组合列与 Hölter 计划

组合列与 Hölter 计划

前一节关于格子的讨论让我们形成了这样的直观印象：一个商群 $G/N$ 是一个群，其结构（例如，格子）描述了 $G$ “在”正规子群 $N$ 之上的结构。虽然这有点模糊，但它至少给出了关于有限群论（甚至某些无限群论的分支）中最有力的技术之一背后的驱动力的某种概念：归纳法的使用。在许多情况下，归纳程序的应用遵循类似于以下证明的柯西定理特殊情况的模式。尽管柯西定理对于任意群都是有效的（参见第2节的练习9），但以下是一个使用关于正规子群 $N$ 和商 $G/N$ 的信息来确定关于 $G$ 的信息的好例子，我们在第4章将需要这个特定结果。

命题21

如果 $G$ 是一个有限阿贝尔群，且 $p$ 是一个除 $\left| G\right|$ 的素数，那么 $G$ 包含一个阶为 $p$ 的元素。

证明：证明通过对 $\left| G\right|$ 进行归纳来进行，即，我们假设对于每个阶严格小于 $G$ 的群，结果都是有效的，然后证明对于 $G$ 结果也是有效的（这有时被称为完全归纳）。由于 $\left| G\right| > 1$ ，存在一个元素 $x \in G$ 使得 $x \neq 1$ 。如果 $\left| G\right| = p$ ，那么根据拉格朗日定理，$x$ 的阶为 $p$ ，我们就完成了证明。因此，我们可以假设 $\left| G\right| > p.$ 。

假设 $p$ 整除 $\left| x\right|$ 并写作 $\left| x\right| = {pn}$ 。根据命题 2.5(3)，$\left| {x}^{n}\right| = p$ ，再次我们有一个阶为 $p$ 的元素。因此我们可以假设 $p$ 不整除 $\left| x\right|$ 。令 $N = \langle x\rangle$ 。由于 $G$ 是阿贝尔群，$N \trianglelefteq G$ 。根据拉格朗日定理，$\left| {G/N}\right| = \frac{\left| G\right| }{\left| N\right| }$ 并且由于 $N \neq 1,\left| {G/N}\right| < \left| G\right|$ 。由于 $p$ 不整除 $\left| N\right|$ ，我们必须有 $p \mid \left| {G/N}\right|$ 。现在我们可以将归纳假设应用于较小的群 $G/N$ ，以得出它包含一个阶为 $p$ 的元素 $\bar{y} = {yN}$ 。由于 $y \notin N\left( {\bar{y} \neq \bar{1}}\right)$ 但 ${y}^{p} \in N\left( {{\bar{y}}^{p} = \bar{1}}\right)$ ，我们必须有 $\left\langle {y}^{p}\right\rangle \neq \langle y\rangle$ ，即 $\left| {y}^{p}\right| < \left| y\right|$ 。命题 2.5(2) 意味着 $p\left| y\right|$ 。我们现在处于前一段描述的情况中，所以那个论证再次产生一个阶为 $p$ 的元素。归纳完成。

这种证明方法背后的哲学是，如果我们有关于某个群 $G$ 的正规子群 $N$ 的足够信息，以及关于 $G/N$ 的足够信息，那么我们某种程度上可以将这些信息拼凑起来，迫使 $G$ 本身具有某些期望的性质。归纳在这里起作用，因为 $N$ 和 $G/N$ 的阶都小于 $G$ 的阶。一般来说，需要多少数据是一个微妙的问题，因为正如我们已经看到的，$G$ 的完全同构类型不能仅从 $N$ 和 $G/N$ 的同构类型确定。

显然，这种方法的一个基本障碍是需要生成一个正规子群 $N$ ，属于 $G$ 且包含 $N \neq 1$ 或 $G$ 。在前面的论证中，这很容易，因为 $G$ 是阿贝尔群。没有非平凡正规子群的群是对这种方法证明的基本障碍。

简单群的定义

一个（有限或无限）群 $G$ 被称为简单群，如果 $\left| G\right| > 1$ 且 $G$ 的唯一正规子群是 1 和 $G$ 。

根据拉格朗日定理，如果 $\left| G\right|$ 是一个素数，它的唯一子群（更不用说正规子群）是 1 和 $G$ ，因此 $G$ 是简单群。实际上，每个阿贝尔简单群同构于 ${Z}_{p}$ ，对于某个素数 $p$ （参见练习 1）。存在非阿贝尔简单群（有限和无限阶的都有），其中最小的是阶数为 60 的群（我们将在下一节中将其作为简单群的无穷家族的一员来介绍）。

根据定义，简单群不能“分解”为像 $N$ 和 $G/N$ 这样的部分，因此它们在 $\mathbb{Z}$ 的算术中扮演着与素数类似的角色。这种类比得到了一个“唯一分解定理”（对于有限群）的支持，我们现在来描述这个定理。

定义

在群 $G$ 中，子群的序列

被称为分解序列，如果 ${N}_{i} \trianglelefteq {N}_{i + 1}$ 并且 ${N}_{i + 1}/{N}_{i}$ 是简单群， $0 \leq i \leq k - 1$ 。如果上述序列是一个分解序列，那么商群 ${N}_{i + 1}/{N}_{i}$ 被称为 $G$ 的分解因子。

请记住，这里并没有假设每个 ${N}_{i} \trianglelefteq G$ ，而只是假设 ${N}_{i} \trianglelefteq {N}_{i + 1}$ 。因此

对于 ${D}_{8}$ 存在两个分解列，在每个分解列中都有3个组成因子，每个因子都与（简单群）${Z}_{2}$ 同构。

定理22（乔丹-霍尔德定理）

设 $G$ 是一个有限群，且 $G \neq 1$ 。那么

(1) $G$ 有一个分解列，并且

(2) 分解列中的组成因子是唯一的，即如果 $1 = {N}_{0} \leq {N}_{1} \leq \cdots \leq {N}_{r} = G$ 和 $1 = {M}_{0} \leq {M}_{1} \leq \cdots \leq {M}_{s} = G$ 是 $G$ 的两个分解列，那么 $r = s$ 并且存在 $\{ 1,2,\ldots ,r\}$ 的某种排列 $\pi$，使得

证明：这相当直接。由于在本文中我们不会明确使用此定理来证明其他定理，我们在本节末尾通过一系列练习概述了证明过程。

因此，每个有限群都有一个“分解”（即分解列），尽管分解列本身不一定是唯一的（如 ${D}_{8}$ 所示），但组成因子的数量及其同构类型是唯一确定的。此外，不同构的群可能有相同的（同构意义下的）组成因子列表（见练习2）。这激发了一个分为两部分的计划，用于对所有有限群进行同构分类：

Hölder计划

(1) 对所有有限简单群进行分类。

(2) 找出将简单群“组合”在一起形成其他群的所有方法。

这两个问题构成了群论发展中很大一部分的潜在动机。这些问题在数学中的其他领域也可能以类似的问题形式反复出现。我们对这些问题的当前进展状态再做一些补充说明。

有限简单群的分类（Hölder计划的第1部分）于1980年完成，大约在Hölder计划提出后100年。超过100位数学家的努力，涵盖了大约5000到10000页的期刊文章（分布在300到500篇独立论文中），证明了以下结果：

定理。存在一个列表，包含18个（无限）简单群族和26个不属于这些族的单群（散在单群），使得每个有限简单群都与列表中的某个群同构。

简单群族的一个例子是 $\left\{ {{Z}_{p} \mid p\text{a prime}}\right\}$ 。有限简单群列表中的第二个无限族是：

这些群都是简单的，除了 $S{L}_{2}\left( {\mathbb{F}}_{2}\right)$ 和 $S{L}_{2}\left( {\mathbb{F}}_{3}\right)$ ，其中 ${\mathbb{F}}_{2}$ 是包含2个元素的有限域，${\mathbb{F}}_{3}$ 是包含3个元素的有限域。这是一个双参数族（$n$ 和 $\mathbb{F}$ 是独立参数）。我们不会证明这些群是简单的（尽管这在技术上并不超出本文的范围），而是推荐读者参考M. Aschbacher所著的《有限群论》（剑桥大学出版社，1986年）一书，该书包含了证明和对简单群问题的广泛讨论。下一节将讨论有限简单群的第三个族，即交错群；我们将在下一章证明这些群是简单的。

为了了解有限简单群分类的复杂性，读者可以浏览整个分类的一个基石之一的证明：

定理（Feit-Thompson）

如果 $G$ 是一个奇数阶的简单群，那么 $G \cong {Z}_{p}$ 对于某个素数 $p$ 。

这个证明包含了255页的艰难数学。${}^{2}$

Hölder计划的第二部分，有时被称为扩展问题，其表述相当含糊。关于“将两个群组合在一起”的更精确描述是：给定群 $A$ 和 $B$ ，描述如何得到所有包含正规子群 $N$ 的群 $G$ ，使得 $N \cong B$ 和 $G/N \cong A$ 。例如，如果 $A = B = {Z}_{2}$ ，那么对于 $G$ 有恰好两种可能，即 ${Z}_{4}$ 和 ${V}_{4}$ （参见2.5节的练习10），而Hölder计划试图描述如何在没有关于4阶群存在性的先验知识的情况下，将两个 ${Z}_{2}$ 构造成4阶群。Hölder计划的这一部分极其困难，即使涉及的子群的阶很小也是如此。例如，一个群 $G$ 的所有合成因子都有阶2当且仅当 $\left| G\right| = {2}^{n}$ ，对于某个 $n$ （一个蕴涵很容易，我们将在第6章证明这两个蕴涵）。然而，已知不同构的 ${2}^{n}$ 阶群的数量随着 ${2}^{n}$ 的增长（指数增长），因此将2的幂次阶群组合的方式数目不是有限的。尽管如此，在这个微妙领域中有很多有趣且强大的技术，它们有助于解开大量群类的结构。我们将只讨论几种从较小的群构建较大群的方法（在上述意义上），但即便是在群扩展领域的这次有限的涉猎中，我们也将构造出许多新的群例子，并证明一些分类定理。

在多项式方程理论中占突出地位的一类群是可解群。

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${}^{2}$ 奇数阶群的可解性，《太平洋数学杂志》，13(1963)，pp. 775-1029。

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定义。一个群 $G$ 是可解的，如果存在一个子群链

使得 ${G}_{i + 1}/{G}_{i}$ 对于 $i = 0,1,\ldots ,s - 1$ 是阿贝尔群。

这个术语来源于伽罗瓦理论中这些群与可以通过根式求解的多项式之间的对应关系（本质上意味着根有一个代数公式）。练习8表明，有限可解群恰好是那些其合成因子都为素数阶的群。

有限可解群的一个显著性质是以下由Philip Hall提出（参见定理6.11和定理19.8）的Sylow定理的推广。

定理

有限群 $G$ 是可解的当且仅当对于 $\left| G\right|$ 的每一个除数 $n$ ，$\left( {n,\frac{\left| G\right| }{n}}\right) = 1,G$ 有一个阶为 $n$ 的子群。

作为另一个示例，说明如何从正规子群 $N$ 和商群 $G/N$ 的组合信息推导出群 $G$ 的性质，我们证明

如果 $N$ 和 $G/N$ 是可解的，那么 $G$ 是可解的。

为了看到这一点，设 $\bar{G} = G/N$ ，设 $1 = {N}_{0} \trianglelefteq {N}_{1} \trianglelefteq \ldots \trianglelefteq {N}_{n} = N$ 是 $\;N\;$ 的一个子群链，使得 $\;{N}_{i + 1}/{N}_{i}\;$ 是阿贝尔群，$\;0 \leq i < n\;$ ，并且设 $\;\overline{1} = \overline{{G}_{0}} \trianglelefteq \overline{{G}_{1}} \trianglelefteq \ldots \trianglelefteq \overline{{G}_{m}} = \overline{G}$ 是 $\bar{G}$ 的一个子群链，使得 $\overline{{G}_{i + 1}}/\overline{{G}_{i}}$ 是阿贝尔群，$0 \leq i < m$ 。根据格同构定理，存在 $G$ 的子群 ${G}_{i}$ ，使得 $N \leq {G}_{i}$ ，使得 ${G}_{i}/N = \overline{{G}_{i}}$ 和 ${G}_{i} \trianglelefteq {G}_{i + 1},0 \leq i < m$ 。根据第三同构定理

因此

是一个子群链 $G$，其中所有连续的商群都是阿贝尔群。这证明了 $G$ 是可解的。

说不定的群论只涉及霍尔德计划是不准确的。准确的说法是霍尔德计划提出了大量问题并激发了许多代数技术。例如，在研究扩张问题，其中我们给定群 $A$ 和 $B$，并希望找到 $G$ 和 $N \trianglelefteq G$ 使得 $N \cong B$ 和 $G/N \cong A$ 成立时，我们将会看到（在某些条件下）我们得到群 $A$ 在集合 $B$ 上的作用。这样的作用是下一章的核心（并将产生关于简单群和非简单群的信息），这个概念在数学中是一个强大的概念，不仅限于群论。

本章的最后部分介绍了另一组群，虽然与我们对简单群的兴趣相符，但它将在整个文本中具有独立的重要性，特别是在我们稍后对行列式和多项式方程可解性的研究中。