3.3 群同构定理3.3 THE ISOMORPHISM THEOREMS 3.3 同构定理 In this secti

同构定理

在本节中，我们推导出一些关于商群与同态之间关系的直接结果，这些关系在第一部分已经讨论过。特别地，我们考虑商群 $G/N$ 的子群格与群 $G$ 的子群格之间的关系。第一个结果重申了我们在第一部分关于同态的像与核的商（有时称为同态的基本定理）的观察：

定理16（第一同构定理）

如果 $\varphi : G \rightarrow H$ 是群的同态，那么 $\ker \varphi \trianglelefteq G$ 和 $G/\ker \varphi \cong \varphi \left( G\right)$ 。

推论17

设 $\varphi : G \rightarrow H$ 是群的同态。

(1) $\varphi$ 是单射当且仅当 $\ker \varphi = 1$ 。

(2) $\left| {G : \ker \varphi }\right| = \left| {\varphi \left( G\right) }\right|$ 。

当我们考虑抽象向量空间时，我们将看到推论17(2)给出了一个可能在线性变换理论中已经熟悉的公式：如果 $\varphi : V \rightarrow W$ 是向量空间的线性变换，那么 $\dim V = \operatorname{rank}\varphi + \mathrm{{nullity}}\varphi$ 。

定理18（第二同构定理或菱形同构定理）

设 $G$ 是一个群， $A$ 和 $B$ 是 $G$ 的子群，并假设 $A \leq {N}_{G}\left( B\right)$ 。那么 ${AB}$ 是 $G$ 的一个子群， $B \trianglelefteq {AB},A \cap B \trianglelefteq A$ 且 ${AB}/B \cong A/A \cap B$ 。

证明：根据推论15， ${AB}$ 是 $G$ 的一个子群。由于假设 $A \leq {N}_{G}\left( B\right)$ 且 $B \leq {N}_{G}\left( B\right)$ 显然成立，因此可以得出 ${AB} \leq {N}_{G}\left( B\right)$ ，即 $B$ 是子群 ${AB}$ 的正规子群。

由于 $B$ 在 ${AB}$ 中是平凡的，商群 ${AB}/B$ 定义良好。定义映射 $\varphi : A \rightarrow {AB}/B$ 为 $\varphi \left( a\right) = {aB}$ 。由于 ${AB}/B$ 中的群运算定义良好，很容易看出 $\varphi$ 是一个同态：

\varphi \left( {{a}_{1}{a}_{2}}\right) = \left( {{a}_{1}{a}_{2}}\right) B = {a}_{1}B \cdot {a}_{2}B = \varphi \left( {a}_{1}\right) \varphi \left( {a}_{2}\right) .

另一方面，映射 $\varphi$ 仅是自然投影同态 $\pi : {AB} \rightarrow {AB}/B$ 限制在子群 $A$ 上的结果，因此也是一个同态。从 ${AB}$ 的定义中可以清楚地看出 $\varphi$ 是满射的。在 ${AB}/B$ 中的单位元是陪集 ${1B}$ ，因此 $\varphi$ 的核由满足 ${aB} = {1B}$ 的元素 $a \in A$ 组成，根据命题 4，这些元素是 $a \in B$ ，即 $\ker \varphi = A \cap B$ 。根据第一同态定理， $A \cap B \trianglelefteq A$ 并且 $A/A \cap B \cong {AB}/B$ ，从而完成了证明。

注意这给出了命题 13 中关于阶的公式在 $A \leq {N}_{G}\left( B\right)$ 特殊情况下的一个新证明。这个定理之所以被称为菱形同构定理，是因为它涉及到 $G$ 的子群格的一部分（见图 6）。格线上的标记表明哪些商群是同构的。"商"

${AB}/A$ 不一定是群（即 $A$ 在 ${AB}$ 中不一定是平凡的），然而我们仍然有 $\left| {{AB} : A}\right| = \left| {B : A \cap B}\right|$ 。

第三同态定理考虑了取商群的商群的问题。

定理 19（第三同态定理）

设 $G$ 是一个群，且 $H$ 和 $K$ 是 $G$ 的正规子群，并且 $H \leq K$ 。那么 $K/H \trianglelefteq G/H$ 并且

\left( {G/H}\right) /\left( {K/H}\right) \cong G/K

如果我们用 $H$ 加上横线来表示商，这可以写成

\bar{G}/\bar{K} \cong G/K

证明：我们将验证 $K/H \trianglelefteq G/H$ 的过程留作一个简单的练习。定义

\varphi : G/H \rightarrow G/K

\left( {gH}\right) \mapsto {gK}\text{.}

为了证明 $\varphi$ 是良定义的，假设 ${g}_{1}H = {g}_{2}H$ 。那么 ${g}_{1} = {g}_{2}h$ ，对于某个 $h \in H$ 。因为 $H \leq K$ ，元素 $h$ 也是 $K$ 的元素，因此 ${g}_{1}K = {g}_{2}K$ ，即 $\varphi \left( {{g}_{1}H}\right) = \varphi \left( {{g}_{2}H}\right)$ ，这表明 $\varphi$ 是良定义的。由于 $g$ 可以在 $G,\varphi$ 中任意选择，所以 $G,\varphi$ 是一个满同态。最后，

\ker \varphi = \{ {gH} \in G/H \mid \varphi \left( {gH}\right) = {1K}\}

= \{ {gH} \in G/H \mid {gK} = {1K}\}

= \{ {gH} \in G/H \mid g \in K\} = K/H.

根据第一同构定理， $\left( {G/H}\right) /\left( {K/H}\right) \cong G/K$ 。

记住第三同构定理的一个简单方法是：“反转并约去”（就像对分数所做的那样）。这个定理表明，从商群的商中我们没有获得新的结构信息。

最后的同构定理描述了商群 $G/N$ 的子群格与 $G$ 的子群格之间的关系。 $G/N$ 的子群格可以通过将群 $N$ 折叠到单位元来直接从 $G$ 的子群格中读出。更准确地说，存在 $G$ 中包含 $N$ 的子群与 $G/N$ 的子群之间的一一对应，使得 $G/N$ 的子群格（或者更准确地说，一个同构的副本）作为 $G$ 中的子群集合出现在 $G$ 和 $N$ 之间。特别是， $G/N$ 的子群格出现在 $G$ 的子群格的“顶部”，这是我们在本章开头提到的一个结果。

定理20（第四或格同构定理）

设 $G$ 是一个群， $N$ 是 $G$ 的正规子群。那么存在一个从 $G$ 中包含 $N$ 的子群集合 $A$ 到 $G/N$ 中子群集合 $\bar{A} = A/N$ 的双射。特别地， $\bar{G}$ 的每个子群都可以表示为 $A/N$ 的形式，对于某个包含 $N$ 的 $G$ 的子群（即其在 $G$ 到 $G/N$ 的自然投影同态下的逆像）。这个双射具有以下性质：对于所有满足 $A,B \leq G$ 的 $N \leq A$ 和 $N \leq B$ ，

(1) $A \leq B$ 当且仅当 $\bar{A} \leq \bar{B}$ ，

(2) 如果 $A \leq B$ ，那么 $\left| {B : A}\right| = \left| {\bar{B} : \bar{A}}\right|$ ，

(3) $\overline{\langle A,B\rangle } = \langle \bar{A},\bar{B}\rangle$ ,

(4) $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ ，并且

(5) $A \trianglelefteq G$ 当且仅当 $\bar{A} \trianglelefteq \bar{G}$ 。

证明：根据第1节练习1， $G/N$ 中子群的完全逆像在 $G$ 中是一个子群。定理中需要验证的许多细节都是完全直接的。因此，我们将这个定理的证明留作练习。

示例

(1) 设 $G = {Q}_{8}$ 并且让 $N$ 成为正规子群 $\langle - 1\rangle$ 。 $G/N$ 的（同构副本的）格由下面 $G$ 格中的双线组成。请注意，我们之前已经证明 ${Q}_{8}/\langle - 1\rangle \cong {V}_{4}$ ，并且这两个格确实重合（参见第2.5节中关于 ${Q}_{8}$ 和 ${V}_{4}$ 的格）。

(2) 同样的过程给我们 ${D}_{8}/\left\langle {r}^{2}\right\rangle$ （双线）在 ${D}_{8}$ 格构中的格构：

注意，在上述第二个例子中，存在 $G$ 的子群，它们不直接对应于商群 $G/N$ 中的子群，即那些不包含正规子群 $N$ 的 $G$ 的子群。这是因为子群 $N$ 在 $G/N$ 中映射到一个点，因此 $G$ 的几个子群可以映射到商群中的同一个子群。 $G$ 的子群 $H$ 在从 $G$ 到 $G/N$ 的自然投影同态下的像是与 $G$ 的子群 ${HN}$ 的像相同，并且 $G$ 的子群 ${HN}$ 包含 $N$ 。反之， $G/N$ 的子群 $\bar{H}$ 的逆像包含 $N$ ，并且是包含 $N$ 的 $G$ 中唯一子群，其在 $G/N$ 中的像是 $\bar{H}$ 。正是包含 $N$ 的 $G$ 的子群在 $G/N$ 的格构中明确出现。

上述两个阶为8的群格构强调了这样一个事实：一般来说，仅从 $G/N$ 和 $N$ 的同构类型的知识不能确定一个群的同构类型，因为尽管 ${Q}_{8}/\langle - 1\rangle \cong {D}_{8}/\left\langle {r}^{2}\right\rangle$ 和 $\langle - 1\rangle \cong \left\langle {r}^{2}\right\rangle$ ，但 ${Q}_{8}$ 和 ${D}_{8}$ 并不是同构的。我们将在下一节进一步讨论这个问题。

我们将在子群的格构中经常指出一个子群在另一个子群中的指数，如下所示：

其中整数 $n$ 等于 $\left| {A : B}\right|$ 。例如， ${Q}_{8}$ 和 ${D}_{8}$ 的格中的所有完整边将被标记为 2 。因此，任何子群 $A$ 的阶数是标记从单位元到 $A$ 的任何路径上的所有整数的乘积。另外，根据定理 20(2)，当 $G$ 除以其包含在 $B$ 中的正规子群时，这些指数在商中保持不变，即对应于商群的格的 $G$ 部分具有正确的商指数。

最后，我们提出一个关于商群上同态定义的备注。在证明同构定理的过程中，我们遇到了这样的情况：通过给出同态 $\varphi$ 在商群 $G/N$ 的陪集 ${gN}$ 上的值，来指定 $\varphi$ 在代表元 $g$ 上的同态。在每种情况下，我们都必须证明 $\varphi$ 是良定义的，即它与 $g$ 的选择无关。实际上，我们是通过指定 $\varphi$ 在 $g$ 处的值来定义 $G$ 上的同态 $\Phi$ 。那么 $g$ 的独立性等价于要求 $\Phi$ 在 $N$ 上是平凡的，因此

$\varphi$ 在 $G/N$ 上是良定义的当且仅当 $N \leq \ker \Phi$ 。

这给出了定义商的同态的一个简单准则（具体来说，在 $G$ 上定义一个同态并检查 $N$ 是否包含在其核中）。在这种情况下，我们说同态 $\Phi$ 通过 $N$ 分解，并且 $\varphi$ 是在 $G/N$ 上诱导的同态。这可以用图7中的图形表示，其中图表明 $\Phi = \varphi \circ \pi$ ，即 $G$ 中元素在 $H$ 中的像不依赖于在图中的哪条路径。如果情况是这样，那么这个图就被说成是可交换的。

在这一点上，我们已经发展了所有背景材料，因此现在可以阅读第6.3节关于自由群和表示的内容。