3.1 商群与同构的引入

定义与示例

在本章中，我们引入了群$G$的商群概念，这是从群$G$得到一个“更小”群的方法，正如我们之前对子群所做的那样，我们将使用商群来研究$G$的结构。群$G$的结构反映在其商群和子群的结构中。例如，我们将看到，$G$的商的子群格在$G$的子群格的“顶部”（在精确意义上）有所体现，而$G$的子群的格自然出现在底部。因此，通过结合这些信息，我们可以获得关于群$G$的信息，我们将指出一些分类定理是如何以这种方式产生的。

研究$G$的商群本质上等价于研究$G$的同态，即从群$G$到另一个群的映射，这些映射保留了群结构。如果$\varphi$是从$G$到群$H$的同态，回想一下，$\varphi$的纤维是$G$中元素集合，这些元素映射到$H$中的单一元素。

在 $H$ 中的群运算提供了一种 $\varphi$ 像中的两个元素相乘的办法。这暗示了位于这两个点上的纤维的自然乘法，使得纤维集合成为 $a$ 群：如果 ${X}_{a}$ 是 $a$ 上方的纤维，而 ${X}_{b}$ 是 $b$ 上方的纤维，那么 ${X}_{a}$ 与 ${X}_{b}$ 的乘积被定义为 ${X}_{ab}$ 上方的纤维，即 ${X}_{a}{X}_{b} = {X}_{ab}$ 。这种乘法是结合的，因为 $H$ 中的乘法是结合的，单位元是 $H$ 的单位元上方的纤维，而 $a$ 上方纤维的逆元是 ${a}^{-1}$ 上方的纤维，这一点从定义中很容易验证。例如，结合性如下证明：$\left( {{X}_{a}{X}_{b}}\right) {X}_{c} = \left( {X}_{ab}\right) {X}_{c} = {X}_{\left( {ab}\right) c}$ 和 ${X}_{a}\left( {{X}_{b}{X}_{c}}\right) = {X}_{a}\left( {X}_{bc}\right) = {X}_{a\left( {bc}\right) }$ 。由于 $\left( {ab}\right) c = a\left( {bc}\right)$ 在 $H,\left( {{X}_{a}{X}_{b}}\right) {X}_{c} = {X}_{a}\left( {{X}_{b}{X}_{c}}\right)$ 中。粗略地说，群 $G$ 被分割成若干部分（纤维），这些部分本身具有群的结构，称为 $G$ 的商群（下面例子之后是正式定义）。

由于纤维的乘法定义来自 $H$ 中的乘法，通过构造，具有这种乘法的商群自然同构于 $G$ 在同态 $\varphi$ 下的像（纤维 ${X}_{a}$ 与其在 $H$ 中的像 $a$ 相同）。

示例

设 $G = \mathbb{Z}$ ，令 $H = {Z}_{n} = \langle x\rangle$ 为阶数为 $n$ 的循环群，并定义 $\varphi : \mathbb{Z} \rightarrow {Z}_{n}$ 为 $\varphi \left( a\right) = {x}^{a}$ 。由于

因此 $\varphi$ 是一个同态（注意 $\mathbb{Z}$ 中的运算是加法，${Z}_{n}$ 中的运算是乘法）。同时也注意到 $\varphi$ 是满射。那么 $\varphi$ 在 ${x}^{a}$ 上的纤维是

即，$\varphi$ 的纤维恰好是模 $n$ 的同余类。

在 ${Z}_{n}$ 中的乘法就是 ${x}^{a}{x}^{b} = {x}^{a + b}$ 。相应的纤维是 $\bar{a},\bar{b}$ 和 $\overline{a + b}$，因此纤维的相应群运算是 $\bar{a} \cdot \bar{b} = \overline{a + b}$。这就是在加法下的群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$，同构于 $\varphi$ 的像。

这个群的单位元由 $\mathbb{Z}$ 中所有 $n$ 的倍数组成，即 $n\mathbb{Z}$，这是 $\mathbb{Z}$ 的一个子群，其余的纤维只是这个子群的平移，$a + n\mathbb{Z}$，这个群的运算也可以通过直接从这些纤维中取代表，在 $\mathbb{Z}$ 中加这些代表，然后取包含这个和的纤维（这是群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 的原始定义）。从计算的角度来看，通过简单地加代表 $a$ 和 $b$ 来计算 $\bar{a}$ 和 $\bar{b}$ 的积，比先计算这些纤维在 $\varphi$ 下的像（即 ${x}^{a}$ 和 ${x}^{b}$），在 $H$ 中乘以这些像（得到 ${x}^{a + b}$），然后取这个积的纤维要容易得多。

我们首先考虑同态及其纤维的一些基本性质。一个同态 $\varphi : G \rightarrow H$ 在 $H$ 的单位元上方的纤维被赋予了一个名称：

核的定义

如果 $\varphi$ 是一个同态 $\varphi : G \rightarrow H$ ，那么 $\varphi$ 的核是集合

并将表示为 $\ker \varphi$ （这里 1 是 $H$ 的单位元）。

命题 1

设 $G$ 和 $H$ 是群，$\varphi : G \rightarrow H$ 是一个同态。

(1) $\varphi \left( {1}_{G}\right) = {1}_{H}$ ，其中 ${1}_{G}$ 和 ${1}_{H}$ 分别是 $G$ 和 $H$ 的单位元。

(2) $\varphi \left( {g}^{-1}\right) = \varphi {\left( g\right) }^{-1}$ 对所有 $g \in G$ 成立。

(3) $\varphi \left( {g}^{n}\right) = \varphi {\left( g\right) }^{n}$ 对所有 $n \in \mathbb{Z}$ 成立。

(4) $\ker \varphi$ 是 $G$ 的一个子群。

(5) $\operatorname{im}\left( \varphi \right)$ ，即 $G$ 在 $\varphi$ 下的像，是 $H$ 的一个子群。

证明：(1) 由于 $\varphi \left( {1}_{G}\right) = \varphi \left( {{1}_{G}{1}_{G}}\right) = \varphi \left( {1}_{G}\right) \varphi \left( {1}_{G}\right)$ ，消去律表明 (1) 成立。

(2) $\varphi \left( {1}_{G}\right) = \varphi \left( {g{g}^{-1}}\right) = \varphi \left( g\right) \varphi \left( {g}^{-1}\right)$ ，由部分 (1) 可知 $\varphi \left( {1}_{G}\right) = {1}_{H}$ ，因此

左乘 $\varphi {\left( g\right) }^{-1}$ 并简化两边得到 (2)。

(3) 这是 $n \in {\mathbb{Z}}^{ + }$ 的一个简单的归纳练习。由部分 (2) 可知，结论 (3) 对 $n$ 的负值也成立。

(4) 由于 ${1}_{G} \in \ker \varphi$ ，$\varphi$ 的核非空。设 $x,y \in \ker \varphi$ ，即 $\varphi \left( x\right) = \varphi \left( y\right) = {1}_{H}$ 。那么

即 $x{y}^{-1} \in \ker \varphi$ 。由子群准则，$\ker \varphi \leq G$ 。

$\left( 5\right) \;\mathrm{{Since}}\;\varphi \left( {1}_{G}\right) = {1}_{H},\mathrm{{so}}\;\mathrm{{im}}\left( \varphi \right) \;\mathrm{{is}}\;\mathrm{{nonempty}}.$ 如果 $x$ 和 $y$ 在 $\operatorname{im}\left( \varphi \right)$ 中，比如说 $x = \varphi \left( a\right) ,y = \varphi \left( b\right)$ ，那么 ${y}^{-1} = \varphi \left( {b}^{-1}\right)$ 根据(2)使得 $x{y}^{-1} = \varphi \left( a\right) \varphi \left( {b}^{-1}\right) = \varphi \left( {a{b}^{-1}}\right)$ ，因为 $\varphi$ 是同态。因此 $x{y}^{-1}$ 也在 $\varphi$ 的像中，所以根据子群准则，$\operatorname{im}\left( \varphi \right)$ 是 $H$ 的子群。

我们现在可以定义一些与商群相关术语。

商群的定义

设 $\varphi : G \rightarrow H$ 为一个核为 $K$ 的同态。商群 $G/K$（读作 $G$ 模 $K$ ）是一个其元素为 $\varphi$ 的纤维，并且群运算如上定义：即如果 $X$ 是 $a$ 上的纤维，$Y$ 是 $b$ 上的纤维，那么 $X$ 与 $Y$ 的乘积被定义为 ${ab}$ 上的纤维。

这种记法强调了核 $K$ 在群 $G/K$ 中是一个单一元素，我们将看到下面（命题2），正如上面 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 的情况，$G/K$ 的其他元素只是核 $K$ 的“平移”。因此我们可以认为 $G/K$ 是通过坍缩或“除以” $K$（或者更准确地说，通过模 $K$ 的等价）得到的。这就解释了为什么 $G/K$ 被称为“商”群。

商群 $G/K$ 的定义需要显式地使用映射 $\varphi$，因为纤维的乘法是通过首先将纤维通过 $\varphi$ 投影到 $H$，在 $H$ 中进行乘法，然后确定这个乘积上的纤维来完成的。正如上面的 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 一样，也可以直接用纤维的代表来定义纤维的乘法。这种方法在计算上更简单，而且映射 $\varphi$ 不显式出现。我们首先证明同态的纤维可以用同态的核来表示，就像上面的例子一样（其中核是 $n\mathbb{Z}$，纤维是形式为 $a + n\mathbb{Z}$ 的平移）。

命题2

设 $\varphi : G \rightarrow H$ 是群的同态，其核为 $K$。设 $X \in G/K$ 是 $a$ 上方的纤维，即 $X = {\varphi }^{-1}\left( a\right)$。那么

(1) 对于任意的 $u \in X,\;X = \{ {uk} \mid k \in K\}$

(2) 对于任意的 $u \in X,X = \{ {ku} \mid k \in K\}$。

证明：只证明 (1)，将 (2) 的证明留作练习。设 ${uK} = \{ {uk} \mid k \in K\} .$

我们首先证明 ${uK} \subseteq X$。对于任意的 $k \in K$，

即 ${uk} \in X$。这证明了 ${uK} \subseteq X$。为了建立反向包含，假设 $g \in X$ 并且设 $k = {u}^{-1}g$。那么

因此 $k \in \ker \varphi$。由于 $k = {u}^{-1}g,g = {uk} \in {uK}$，确立了包含 $X \subseteq {uK}$。这证明了 (1)。

如果把群 $G$想象成一个复杂的结构，同态$φ$ 就像是一个 “过滤器”，将$G$ 中的元素映射到群$H$中。同态核 $K$则是那些在过滤过程中被 “过滤掉” 的元素，而纤维$X$则是映射到同一个目标元素的那些元素的集合。命题 2 告诉我们，纤维 $X$ 可以通过取一个特定的元素 $u$ 和同态核$K$ 中的元素进行组合来完全确定，这就像是在探索这个复杂结构中的一种规律和模式。

命题2中出现的用于描述同态 $\varphi$ 的纤维的集合对于任何 $G$ 的子群 $K$ 都有定义，不一定是某个同态的核（我们很快将确定一个子群成为这样的核的必要和充分条件），并给它们一个名称：

陪集的定义

对于任意 $N \leq G$ 和任意 $g \in G$ 令

分别称为 $N$ 在 $G$ 中的左陪集和右陪集。陪集中的任何元素都称为该陪集的代表元。

我们已经在命题2中看到，如果 $N$ 是一个同态的核，且 ${g}_{1}$ 是陪集 ${gN}$ 的任意代表元，那么 ${g}_{1}N = {gN}$（如果 ${g}_{1} \in {Ng}$ 则 $N{g}_{1} = {Ng}$）。我们将在下面的命题4中看到，这个事实对于任意的子群 $N$ 也是成立的，这解释了代表元术语的用法。

如果 $G$ 是一个加法群，我们将分别用 $g + N$ 和 $N + g$ 表示 $N$ 在 $G$ 中的左陪集和右陪集，代表元为 $g$。一般来说，我们可以将 $N$ 在 $G$ 中的左陪集 ${gN}$ 视为 $N$ 通过 $g$ 的左平移。

就这个定义而言，命题2表明同态的纤维是核的左陪集（即$g\in uK$），即商集 $G/K$ 的元素是左陪集 ${gK},g \in G$ 。在 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 的例子中，商群中的乘法也可以用陪集的代表来定义。以下结果说明，对于一般的 $G/K$ （前提是我们知道 $K$ 是某个同态的核），同样的结果也是成立的，即两个左陪集 $X$ 和 $Y$ 在 $G/K$ 中的乘积是通过选择 $X$ 的任意代表 $u$ ，$Y$ 的任意代表 $v$ ，在 $G$ 中相乘并形成陪集 $\left( {uv}\right) K$ 。

定理3

设 $G$ 是一个群，$K$ 是从 $G$ 到另一个群的某个同态的核。那么，元素为 $K$ 在 $G$ 中的左陪集的集合，其运算定义为

构成一个群，$G/K$ 。特别是，这个运算在以下意义上是良定义的：如果 ${u}_{1}$ 是 ${uK}$ 中的任意元素，${v}_{1}$ 是 ${vK}$ 中的任意元素，那么 ${u}_{1}{v}_{1} \in {uvK}$ ，即 ${u}_{1}{v}_{1}K = {uvK}$ ，因此乘法不依赖于陪集代表的选择。同样的陈述对于“右陪集”代替“左陪集”也成立。

证明：设 $X,Y \in G/K$ 且 $Z = {XY}$ 在 $G/K$ 中，因此根据命题2(1) $X$ ， $Y$ 和 $Z$ 是 $K$ 的（左）陪集。由假设，$K$ 是某个同态 $\varphi : G \rightarrow H$ 的核，所以 $X = {\varphi }^{-1}\left( a\right)$ 和 $Y = {\varphi }^{-1}\left( b\right)$ 对于某个 $a,b \in H$ 成立。根据 $G/K,Z = {\varphi }^{-1}\left( {ab}\right)$ 中运算的定义。设 $u$ 和 $v$ 是 $X$ 和 $Y$ 的任意代表元，因此 $\varphi \left( u\right) = a,\varphi \left( v\right) = b$ 和 $X = {uK},Y = {vK}$ 。我们必须证明 ${uv} \in Z$ 。现在

由于后者确实成立，${uv} \in Z$ 因此 $Z$ 是（左）陪集 ${uvK}$。这证明了 $X$ 与 $Y$ 的乘积是对于任意代表元的选择 $u \in X,v \in Y$ 的陪集 ${uvK}$ ，从而完成了定理第一部分的证明。定理的最后陈述立即得出，因为根据命题 $2,{uK} = {Ku}$ 和 ${vK} = {Kv}$ ，对于 $G$ 中的所有 $u$ 和 $v$ 都成立。

我们强调这样一个事实：乘法与所选特定代表元无关。具体来说，两个陪集 $X$ 和 $Y$ 的积（如果该群以加法表示，则是和）是包含乘积 ${uv}$ 的陪集 ${uvK}$，其中 $u$ 和 $v$ 分别是陪集 $X$ 和 $Y$ 的任意代表元。这种只考虑包含某个元素的陪集，或者“模 $K$ 归约”的过程，与我们之前在 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 中所做的是一样的。一个表示包含代表元 $u$ 的陪集 ${uK}$ 的有用记号是 $\bar{u}$。使用这个记号（我们曾在处理 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 时的预备知识中引入），商群 $G/K$ 表示为 $\bar{G}$，元素 $\bar{u}$ 和 $\bar{v}$ 的积就是包含 ${uv}$ 的陪集，即 $\overline{uv}$。这个记号还强化了一个事实：在 $G/K$ 中的陪集 ${uK}$ 是 $G/K$ 中的元素 $\bar{u}$。

示例

(1)本章中第一个同态 $\varphi$ 从 $\mathbb{Z}$ 到 $\mathbb{Z}_{n}$ 的例子中，$a$的纤维是核 $n\mathbb{Z}$ 的左（也是右）陪集 $a + n\mathbb{Z}$。定理3证明了这些陪集在代表元的加法下构成一个群，即 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$，这解释了该群的记号。这个群自然同构于其在 $\varphi$ 下的像，因此我们恢复了第2章中的同构 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}_{n}$。

(2) 如果 $\varphi : G \rightarrow H$ 是同构，那么 $K = 1$ ，$\varphi$ 的纤维是 $G$ 的单元素子集，因此 $G/1 \cong G$ 。

(3) 设 $G$ 为任意群，$H = 1$ 为阶数为1的群，并定义 $\varphi : G \rightarrow H$ 为 $\varphi \left( g\right) = 1$ ，对于所有 $g \in G$ 。显然 $\varphi$ 是同态。这个映射被称为平凡同态。注意在这种情况下 $\ker \varphi = G$ ，$G/G$ 是只有一个元素 $G$ 的群，即 $G/G \cong \mathbb{Z}_{1} = \{ 1\}$ 。

(4) 设 $G = {\mathbb{R}}^{2}$ （运算向量加法），$H = \mathbb{R}$ （运算加法）并定义 $\varphi : {\mathbb{R}}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$ 为 $\varphi \left( \left( {x,y}\right) \right) = x$ 。因此 $\varphi$ 是到 $x$ 轴的投影。我们证明 $\varphi$ 是同态：

现在

注意 $\ker \varphi$ 确实是 ${\mathbb{R}}^{2}$ 的子群，并且 $\varphi$ 在 $a \in \mathbb{R}$ 上的纤维是 $y$ 轴通过 $a$ 的平移，即直线 $x = a$ 。这也是核的左（和右）陪集，代表元为$(a,0)$（或任何其他投影到 a 的代表点）：

群运算（此处以加法表示）可以通过使用映射 $\varphi$ 来描述：直线 $\left( {x = a}\right)$ 和直线 $\left( {x = b}\right)$ 的和是直线 $\left( {x = a + b}\right)$ ；或者直接用陪集代表来表示：包含点 $\left( {a,{y}_{1}}\right)$ 的竖线和包含点 $\left( {b,{y}_{2}}\right)$ 的竖线的和是包含点 $\left( {a + b,{y}_{1} + {y}_{2}}\right)$ 的竖线。特别注意的是，这些竖线的代表的选择并不重要（即，$y$ 坐标并不重要）。

(5)（一个群 $G$ 是非交换的例子。）设 $G = {Q}_{8}$ 并且设 $H = {V}_{4}$ 为克莱因四元群。定义 $\varphi : {Q}_{8} \rightarrow {V}_{4}$ 为

验证 $\varphi$ 是同态的任务留作练习 。显然 $\varphi$ 是满射且 $\ker \varphi = \{ \pm 1\}$ 。可以认为 $\varphi$ 是 ${Q}_{8}$ 上的“绝对值”函数，因此 $\varphi$ 的纤维是集合 $E = \{ \pm 1\} ,A = \{ \pm i\} ,B = \{ \pm j\}$ 和 $C = \{ \pm k\}$ ，在 ${Q}_{8}/\langle \pm 1\rangle$ 中分别坍缩为1，$a,b$ 和 $c$ ，这些是 $\ker \varphi$ 的左（也是右）陪集（例如，$A = i \cdot \ker \varphi = \{ i, - i\} =$ $\ker \varphi \cdot i)$ 。

根据定理3，如果我们给定一个群$K$的子群$G$，我们知道它是某个同态的核，那么我们可以通过乘法${uKvK} = {uvK}$定义商$G/K$，而无需求助于同态。这就引出了一个问题，即是否可以对$G$的任意子群$N$以类似的方式定义商群$G/N$。一般来说答案是否定的，因为这种乘法通常不是良好定义的（参见后面的命题5）。实际上，我们将看到，只有在$N$是某个同态的核时，才能在$N$的陪集中定义群结构（命题7）。我们还将给出一个标准，用于确定一个子群$N$何时为这样的核 - 这就是正规子群的概念，我们将在后续章节考虑非正规子群。

我们首先证明，任意子群$G$的陪集将$G$分割（即，它们的并集是整个$G$，且不同的陪集有平凡的交集）。

命题4

设$N$为群$G$的任意子群。则$N$在$G$中的左陪集构成$G$的一个分割。进一步地，对于所有的$u,v \in G,{uN} = {vN}$当且仅当${v}^{-1}u \in N$，特别是，${uN} = {vN}$当且仅当$u$和$v$是同一陪集的代表。

证明：首先注意，由于$N$是$G$的子群,所以$1 \in N$。因此对于所有的$g \in G$，$g = g \cdot 1 \in {gN}$成立，即

为了证明不同的左陪集具有空交集，假设 ${uN} \cap {vN} \neq \varnothing$ 。我们证明 ${uN} = {vN}$ 。设 $x \in {uN} \cap {vN}$ 。 不妨有

在后面的等式中，两边同时乘以 ${n}^{-1}$ 以得到

现在对于 ${uN}\left( {t \in N}\right)$ 中的任何元素 ${ut}$ ，

这证明了 ${uN} \subseteq {vN}$ 。通过交换 $u$ 和 $v$ 的角色，可以同样得到 ${vN} \subseteq {uN}$ 。因此，具有非空交集的两个陪集是重合的。

根据命题的第一部分，${uN} = {vN}$ 当且仅当 $u \in {vN}$ 当且仅当 $u = {vn}$ ，对于某个 $n \in N$ 当且仅当 ${v}^{-1}u \in N$ ，如所声称的。最后，$v \in {uN}$ 等价于说 $v$ 是 ${uN}$ 的代表，因此 ${uN} = {vN}$ 当且仅当 $u$ 和 $v$ 是同一个陪集（即陪集 ${uN} = {vN}$ ）的代表。

命题 5

设 $G$ 是一个群，$N$ 是 $G$ 的一个子群。

(1)在 $G$ 中 $N$ 的左陪集集合上的运算，由以下描述

是良定义的当且仅当对于所有 $g \in G$ 和所有 $n \in N$ ，${gn}{g}^{-1} \in N$ 。

(2)如果上述运算是良定义的，那么它将 $G$ 中 $N$ 的左陪集集合变成了一个群。特别是，这个群的单位元是陪集 ${1N}$ ，${gN}$ 的逆元是陪集 ${g}^{-1}N$ ，即 ${\left( gN\right) }^{-1} = {g}^{-1}N$ 。

证明：（1）首先假设这个运算是良定义的，即对于所有 $u,v \in G$ ，

令 $g$ 为 $G$ 的一个任意元素，令 $n$ 为 $N$ 的一个任意元素。假设 $u = 1,{u}_{1} = n$ 和 $v = {v}_{1} = {g}^{-1}$ ，应用上述假设我们推断出

因为 $1 \in N,n{g}^{-1} \cdot 1 \in n{g}^{-1}N$ 。因此 $n{g}^{-1} \in {g}^{-1}N$ ，所以 $n{g}^{-1} = {g}^{-1}{n}_{1}$ ，对于某个 ${n}_{1} \in N$ 。两边同时乘以 $g$ 得到 ${gn}{g}^{-1} = {n}_{1} \in N$ ，如所声称的。

反之，假设对于所有 ${gn}{g}^{-1} \in N$ 和所有 $g \in G$ ，有 $n \in N.$ 。为了证明上述操作定义良好，令 $u,{u}_{1} \in {uN}$ 和 $v,{v}_{1} \in {vN}$ 。我们可以写出

我们必须证明 ${u}_{1}{v}_{1} \in {uvN}$ ：

其中 ${n}_{1} = {v}^{-1}{nv} = \left( {v}^{-1}\right) n{\left( {v}^{-1}\right) }^{-1}$ 是一个假设属于 $N$ 的元素。现在 $N$ 在乘积下是封闭的，所以 ${n}_{1}m \in N$ 。因此

因此，左陪集 ${uvN}$ 和 ${u}_{1}{v}_{1}N$ 包含公共元素 ${u}_{1}{v}_{1}$ 。根据之前的命题，它们是相等的。这证明了操作是定义良好的。

(2) 如果陪集上的操作定义良好，那么群公理很容易验证，并且是由它们在 $G$ 中的有效性引起的。例如，结合律成立，因为对于所有 $u,v,w \in G$ ，

由于 $u\left( {vw}\right) = \left( {uv}\right) w$ 在 $G$ 中。 $G/N$ 中的单位元是陪集 ${1N}$ ，而 ${gN}$ 的逆元是 ${g}^{-1}N$ ，这一点从乘法的定义中立即可以看出。

如前所述，满足命题 5 中条件的子群 $N$ ，在商 $G/N$ 上具有自然群结构，被赋予了一个名称：

正规子群的定义

${gn}{g}^{-1}$ 称为 $n \in N$ 对 $g$ 的共轭元。集合 ${gN}{g}^{-1} = \left\{ {{gn}{g}^{-1} \mid n \in N}\right\}$ 称为 $N$ 对 $g$ 的共轭集。如果 ${gN}{g}^{-1} = N$ ，则称元素 $g$ 规范化 $N$ 。如果 $N$ 是群 $G$ 的子群，并且 $G$ 的每个元素都规范化 $N$ ，即对所有的 $g \in G$ 都有 ${gN}{g}^{-1} = N$ ，那么 $N$ 被称为 $G$ 的正规子群。如果 $N$ 是 $G$ 的正规子群，我们将写作 $N \trianglelefteq G$ 。

注意，当 $N$ 是正规子群时，$G$ 的结构反映在商 $G/N$ 的结构中（例如，$G/N$ 中的乘法结合性是由 $G$ 中的结合性引起的，$G/N$ 中的逆元是由 $G$ 中的逆元引起的）。当我们考虑第3节中的同构定理时，我们将看到更多关于 $G$ 与其商 $G/N$ 的关系。

我们将上述结果总结为定理6。

定理6

设 $N$ 是群 $G$ 的子群。以下条件是等价的：

(1) $N \trianglelefteq G$

(2) ${N}_{G}\left( N\right) = G$ （回顾 ${N}_{G}\left( N\right)$ 是 $G$ 中 $N$ 的正规化子）

(3) 对所有的 $g \in G$ 有 ${gN} = {Ng}$

(4) 根据命题5中描述的 $N$ 在 $G$ 中的左陪集上的运算，使得左陪集的集合成为一个群

(5) 对所有的 $g \in G$ 有 ${gN}{g}^{-1} \subseteq N$ 。

证明：我们已经完成了困难的等价性；其他的留作练习。

实际上，人们试图最小化确定给定子群 $N$ 在群 $G$ 中是否正规所需的计算。特别是，尽可能避免计算 $n \in N$ 和 $g \in G$ 的所有共轭 ${gn}{g}^{-1}$。例如，$N$ 的元素本身正规化 $N$，因为 $N$ 是一个子群。此外，如果有一个生成 $N$ 的集合，只需检查这些生成元的所有共轭是否都在 $N$ 中，就足以证明 $N$ 是一个正规子群（这是因为乘积的共轭是共轭的乘积，逆元的共轭是共轭的逆元）。类似地，如果还知道 $G$ 的生成元，那么只需检查这些 $G$ 的生成元是否正规化 $N$。特别是，如果同时知道 $N$ 和 $G$ 的生成元，这会将计算减少到只需检查少数几个共轭。如果 $N$ 是有限群，那么只需检查 $G$ 的生成元对 $N$ 的生成元进行共轭后仍然是 $N$ 的元素。最后，通常可以直接证明 ${N}_{G}\left( N\right) = G$ 而不过度计算（下一节有一些例子），再次证明 $N$ 是 $G$ 的正规子群，而不必盲目计算所有可能的共轭 ${gn}{g}^{-1}$。

我们现在证明，正规子群恰好与之前考虑的同态的核完全相同。

命题7

群 $G$ 的子群 $N$ 是正规子群当且仅当它是某个同态的核。

证明：如果 $N$ 是同态 $\varphi$ 的核，那么命题2表明 $N$ 的左陪集与 $N$ 的右陪集相同（且两者都是映射 $\varphi$ 的纤维）。根据定理6的(3)，$N$ 是一个正规子群。。

反之，如果 $N \trianglelefteq G$ ，设 $H = G/N$ 并定义 $\pi : G \rightarrow G/N$ 为

根据在 $G/N$ 中操作的定义，

这证明了 $\pi$ 是一个同态。现在

因此 $N$ 是同态 $\pi$ 的核。

上面构造的同态 $\pi$ 证明了正规子群 $N$ 作为同态的核，给它一个名称：

定义

令 $N \trianglelefteq G$ 。由 $\pi \left( g\right) = {gN}$ 定义的同态 $\pi : G \rightarrow G/N$ 被称为 $G$ 到 $G/N$ 的自然投影（同态）${}^{1}$。如果 $\overline{H} \leq G/N$ 是 $G/N$ 的一个子群，那么 $G$ 中 $\overline{H}$ 的完全逆像是在自然投影同态下的 $\overline{H}$ 的逆像。

子群 $G/N$ 的完全逆像是一个包含子群 $N$ 的 $G$ 的子群，因为这些元素映射到单位元 $\overline{1} \in \overline{H}$。我们将在第3节的同构定理中看到，存在 $G$ 中包含 $N$ 的子群与 $G/N$ 的商的子群之间的自然对应。

现在我们有了一个“内部”标准，它精确地决定了何时一个给定群 $G$ 的子群 $N$ 是某个同态的核， $\\$即

因此，我们可以将子群 $N$ 在 $G$ 中的正规化子视为衡量 $N$ 与正规子群有多“接近”的一种度量（这解释了为什么选择这个名字）。请记住，正规性是一种嵌入性质，即它取决于 $N$ 与 $G$ 的关系，而不是 $N$ 自身的内部结构（同一个群 $N$ 可能是 $G$ 的正规子群，但在包含 $G$ 的更大群中可能不是正规子群）。

我们从存在一个从 $G$ 到 $H$ 的同态 $\varphi$ 开始讨论商群，并展示了这个同态的核是 $G$ 的正规子群 $N$，并且商 $G/N$（最初定义为纤维）自然同构于 $G$ 在 $H$ 下的 $\varphi$ 的像。反过来说，如果 $N \trianglelefteq G$，我们可以找到一个群 $H$（即 $G/N$）和一个同态 $\pi : G \rightarrow H$，使得 $\ker \pi = N$（即自然投影）。因此，对 $G$ 的同态像的研究（即从 $G$ 到其他群的同态的像）等价于对 $G$ 的商群的研究，我们将使用同态来生成正规子群，反之亦然。

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在范畴论中，“自然”一词具有精确的数学含义；出于我们的目的，我们使用这个术语来表示这个同态的定义是“坐标无关”的投影，即仅用元素本身来描述，而不是用 $G$ 或 $N$ 的生成元来描述。

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我们通过同态的方式发展了商群理论，而不是简单地定义正规子群及其相关的商群的概念，以强调商群的元素是原群的子集（核的纤维或陪集 $N$ ）的事实 $G$ 。在商群 $G/N$ 中的计算是通过从涉及的各个陪集中取代表来进行的。

以下是正规子群及其相关商的一些例子。

示例

设 $G$ 是一个群。

(1) 子群$1$和 $G$ 在 $G;G/1 \cong G$ 和 $G/G \cong 1$ 中总是正规的。

(2) 如果 $G$ 是一个阿贝尔群，那么 $G$ 的任何子群 $N$ 都是正规的，因为对于所有的 $g \in G$ 和所有的 $n \in N$ ，

注意，重要的是 $G$ 是阿贝尔群，而不仅仅是 $N$ 是阿贝尔群。随着我们取 $G$ 的不同子群 $N$ ，$G/N$ 的结构可能会发生变化。 $\\$例如，如果 $G = \mathbb{Z}$ ，那么 $G$ 的每个子群 $N$ 都是循环群：

并且 $G/N = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 是一个以 $\overline{1} = 1 + n\mathbb{Z}$ 为生成元的循环群（注意1是 $G$ 的生成元）。

假设现在 $G = {Z}_{k}$ 是一个阶为 $k$ 的循环群。令 $x$ 为 $G$ 的生成元，并且令 $N \leq G$ 。根据命题 2.6 $N = \left\langle {x}^{d}\right\rangle$，其中 $d$ 是 $x$ 的最小幂次，它位于 $N$ 中。现在

由于 ${x}^{\alpha }N = {\left( xN\right) }^{\alpha }$（参见下面的练习 4），因此可以得出

${xN}$ 在 $G/N$ 中的阶等于 $d$ 。根据命题 2.5，$d = \dfrac{\left| G\right| }{\left| N\right| }$ 。总之，

循环群的商群是循环的

并且生成元 $g$ 在 $G$ 中的像是一个生成元 $\bar{g}$ 在商群中的像。如果 $G$ 是一个有限的循环群并且 $N \leq G$，那么 $\left| {G/N}\right| = \dfrac{\left| G\right| }{\left| N\right| }$ 给出了商群阶数的公式。

(3) 如果 $N \leq Z\left( G\right)$，那么 $N \trianglelefteq G$，因为对于所有的 $g \in G$ 和所有的 $n \in N,{gn}{g}^{-1} = n \in N$，推广了之前的例子（其中中心 $Z\left( G\right)$ 是 $G$ 的所有元素）。因此，特别是 $Z\left( G\right) \trianglelefteq G$ 。之前已经看到，$\left\langle {\; - 1\;}\right\rangle$ 是 $\;{Q}_{8}$ 的一个子群，它是同态的核，但由于 $\langle - 1\rangle = Z\left( {Q}_{8}\right)$，我们现在以另一种方式得到这个子群的正则性。我们已经看到 ${Q}_{8}/\langle - 1\rangle \cong {V}_{4}$ 。下一段关于 ${D}_{8}$ 的讨论同样适用于 ${Q}_{8}$，以独立地确定商群的同构类型。

令 $G = {D}_{8}$ 并且令 $Z = \left\langle {r}^{2}\right\rangle = Z\left( {D}_{8}\right)$ 。由于 $Z = \left\{ {1,{r}^{2}}\right\}$ ，每个陪集 ${gZ}$ 都由两个元素组成的集合 $\left\{ {g,g{r}^{2}}\right\}$ 构成。因为这些陪集将 ${D}_{8}$ 的8个元素分成对，所以在 ${D}_{8}$ 中必定有4个（不相交的）左陪集 $Z$ ：

现在根据阶数为4的群分类，我们知道 ${D}_{8}/Z\left( {D}_{8}\right) \cong {Z}_{4}$ 或者 ${V}_{4}$ 。为了确定这两个中的哪一个正确（即确定商的同构类型），只需观察到

因此 ${D}_{8}/Z$ 中每个非单位元素都有阶2。特别地，商中没有阶为4的元素，因此 ${D}_{8}/Z$ 不是循环群，所以 ${D}_{8}/Z\left( {D}_{8}\right) \cong {V}_{4}$ 。