10.1 模的基本定义与示例

翻斗花园爷爷
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基本定义与示例

我们从模的定义开始。

定义

设 RR 是一个环（不一定交换也不一定有单位元）。一个左 RR -模或左模是集合 MM 以及

（1）在 MM 上定义的二元运算 +，在该运算下 MM 是一个阿贝尔群，以及

（2）RR 对 MM 的作用（即，一个映射 R×M→MR \times M \rightarrow M），表示为 rm{rm}，对于所有 r∈Rr \in R 和所有 m∈Mm \in M 满足

(a) (r+s)m=rm+sm,  \left( {r + s}\right) m = {rm} + {sm},\; 对于所有 r,s∈R,m∈Mr,s \in R,m \in M ，

(b) (rs)m=r(sm)\left( {rs}\right) m = r\left( {sm}\right) ，对于所有 r,s∈R,m∈Mr,s \in R,m \in M ，并且

(c) r(m+n)=rm+rnr\left( {m + n}\right) = {rm} + {rn} ，对于所有 r∈R,m,n∈Mr \in R,m,n \in M 。

如果环 RR 有一个单位元，我们施加额外的公理：

(d) 1m=m{1m} = m ，对于所有 m∈Mm \in M 。

在上述定义中，“左”描述符表示环元素出现在左侧；“右” RR -模可以类似地定义。如果环 RR 是交换的并且 MM 是一个左 RR -模，我们可以通过定义 mr=rm{mr} = {rm} 对于 m∈Mm \in M 和 r∈Rr \in R 来将 MM 变成一个右 RR -模。如果 RR 不是交换的，通常公理 2(b) 在这种定义下不会成立（所以并非每个左 RR -模也是右 RR -模）。除非特别提及，否则术语“模”总是指“左模”。满足公理 2(d) 的模称为单元模，本书中所有的模都将是单元模（这是为了避免诸如对于所有 r∈Rr \in R 和 m∈Mm \in M 有 rm=0{rm} = 0 这样的“异常”情况）。

当 RR 是一个域 FF 时，RR -模的公理与 FF 上的向量空间的公理完全相同，因此

域 FF 上的模与 FF 上的向量空间是相同的。

在给出其他 RR -模的例子之前，我们记录子模的明显定义。

定义

设 RR 是一个环，MM 是一个 RR -模。一个 RR -子模是 MM 的一个子群 NN，它在环元素的作用下是封闭的，即 rn∈N{rn} \in N，对于所有的 r∈R,n∈Nr \in R,n \in N。

因此，MM 的子模就是 MM 的子集，它们在限制运算下自身也是模。特别地，如果 R=FR = F 是一个域，子模与子空间相同。每个 RR -模 MM 都有两个子模 MM 和 0（后者称为平凡子模）。

示例

(1) 设 RR 是任意环。那么 M=RM = R 是一个左 RR -模，其中环元素对模元素的作用就是环 RR 中的通常乘法（类似地，RR 是其自身的右模）。特别地，每个域都可以看作是自身的（1维）向量空间。当 RR 以这种方式被视为自身的左模时，RR 的子模恰好是 RR 的左理想（如果 RR 被视为自身的右 RR -模，它的子模是右理想）。因此，如果 RR 不是交换的，它具有自身的左和右模结构，这些结构可能不同（例如，子模可能不同） - 本节末尾的练习 21 给出了这种情况的一个具体例子。

(2) 设 R=FR = F 是一个域。如上所述，每个 FF 上的向量空间都是一个 FF -模，反之亦然。设 n∈Z+n \in {\mathbb{Z}}^{ + } 并且让

Fn={(a1,a2,…,an)∣ai∈F, for all i}{F}^{n} = \left\{ {\left( {{a}_{1},{a}_{2},\ldots ,{a}_{n}}\right) \mid {a}_{i} \in F,\text{ for all }i}\right\}

（称为仿射nn -空间 над FF）。通过定义逐分量加法和数乘，将Fn{F}^{n}变成一个向量空间：

(a1,a2,…,an)+(b1,b2,…,bn)=(a1+b1,a2+b2,…,an+bn)\left( {{a}_{1},{a}_{2},\ldots ,{a}_{n}}\right) + \left( {{b}_{1},{b}_{2},\ldots ,{b}_{n}}\right) = \left( {{a}_{1} + {b}_{1},{a}_{2} + {b}_{2},\ldots ,{a}_{n} + {b}_{n}}\right)
α(a1,…,an)=(αa1,…,αan),  α∈F.\alpha \left( {{a}_{1},\ldots ,{a}_{n}}\right) = \left( {\alpha {a}_{1},\ldots ,\alpha {a}_{n}}\right) ,\;\alpha \in F.

与欧几里得nn -空间的情况一样（即当F=RF = \mathbb{R}时），仿射nn -空间是FF上的nn维向量空间（我们将在下一章更详细地讨论维数的概念）。

  1. 设RR是一个带有单位元的环，并且n∈Z+n \in {\mathbb{Z}}^{ + }。仿照例2定义
Rn={(a1,a2,…,an)∣ai∈R, for all i}.{R}^{n} = \left\{ {\left( {{a}_{1},{a}_{2},\ldots ,{a}_{n}}\right) \mid {a}_{i} \in R,\text{ for all }i}\right\} .

通过逐分量加法和乘以RR中的元素，将Rn{R}^{n}制成一个RR -模。模Rn{R}^{n}被称为秩为nn的RR上的自由模。（我们很快将看到，在RR -模的背景下，自由模具有与6.3节中看到的自由群相同的“通用性质”。我们也将很快讨论RR -模的直接积。）Rn{R}^{n}的一个明显子模由ith {i}^{\text{th }}分量给出，即由在ith {i}^{\text{th }}分量中具有任意环元素和在所有j≠ij \neq i分量中为零的nn元组组成的集合。

(4) 同一个阿贝尔群可能有多个不同环 RR 的 RR -模结构，并且这些模结构可能携带有用的信息。具体来说，如果 MM 是一个 ⋅R\cdot R -模，并且 SS 是 RR 的一个子环，满足 1S=1R{1}_{S} = {1}_{R} ，那么 MM 也自动地成为一个 SS -模。例如，域 R\mathbb{R} 是一个 R\mathbb{R} -模，一个 Q\mathbb{Q} -模和一个 Z\mathbb{Z} -模。

(5) 如果 MM 是一个 RR -模，对于 R,am=0R,{am} = 0 的某个（双边）理想 II ，对于所有 a∈Ia \in I 和所有 m∈Mm \in M ，我们都称 MM 被 I 所消去。在这种情况下，我们可以通过以下方式将 MM 制成 (R/I)\left( {R/I}\right) -模：对于每个 m∈Mm \in M 和 R/IR/I 中的陪集 r+Ir + I ，让

(r+I)m=rm.\left( {r + I}\right) m = {rm}.

由于 am=0{am} = 0 对于所有 a∈Ia \in I 和所有 m∈Mm \in M ，这是明确定义的，并且可以轻易验证它使 MM 成为一个 (R/I)\left( {R/I}\right) -模。特别是，当 II 是交换环 RR 中的极大理想，并且 IM=0{IM} = 0 时，那么 MM 是域 R/IR/I 上的向量空间（参见以下示例）。

下一个例子的重要性足以使其单独列出。它将成为第12章中我们证明有限生成阿贝尔群基本定理的基础。

示例：（Z-模）

设 R=Z\mathrm{R} = \mathbb{Z} ，设 AA 为任意阿贝尔群（有限或无限），并将 AA 的运算写作 + 。以下方式将 AA 制作成 Z\mathbb{Z} -模：对于任意的 n∈Zn \in \mathbb{Z} 和 a∈Aa \in A 定义

na={a+a+⋯+a(n times ) if n>00 if n=0−a−a−⋯−a(−n times ) if n<0{na} = \left\{ \begin{array}{lll} a + a + \cdots + a & \left( {n\text{ times }}\right) & \text{ if }n > 0 \\ 0 & \text{ if }n = 0 & \\ - a - a - \cdots - a & \left( {-n\text{ times }}\right) & \text{ if }n < 0 \end{array}\right.

（这里 0 是加法群 AA 的单位元）。这个关于整数对 AA 作用的定义使得 AA 成为一个 Z\mathbb{Z} -模，且模公理表明这是 Z\mathbb{Z} 在 AA 上唯一可能的作用，使其成为一个（单位）Z\mathbb{Z} -模。因此每个阿贝尔群都是一个 Z\mathbb{Z} -模。反过来说，如果 MM 是任意 Z\mathbb{Z} -模，更强的 MM 是一个阿贝尔群，所以

Z\mathbb{Z} -模与阿贝尔群相同。

此外，从定义上立即可以看出

Z\mathbb{Z} -子模与子群相同。

注意，对于乘法书写的循环群 ⟨  a  ⟩  \langle \;a\;\rangle \; ，加法符号 na{na} 变为 an{a}^{n} ，也就是说，我们一直使用的事实是 ⟨a⟩\langle a\rangle 是一个右 Z\mathbb{Z} -模（检查这个“指数”符号满足通常的指数法则等价于验证 Z\mathbb{Z} -模公理 - 这在 1.1 节的末尾作为一个练习给出）。注意，由于 Z\mathbb{Z} 是交换的，所以左和右通过环元素的作用给出的模结构是相同的。

如果 AA 是一个包含有限阶元素 xx 的阿贝尔群 nn，那么 nx=0{nx} = 0。因此，与向量空间不同，一个 Z\mathbb{Z} -模可能包含非零元素 xx，使得 nx=0{nx} = 0 对于某些非零环元素 nn 成立。特别是，如果 AA 的阶为 mm，那么根据拉格朗日定理（第3.2节的推论9）mx=0{mx} = 0，对于所有 x∈Ax \in A 成立。注意，此时 AA 是 Z/mZ\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} 上的模。

特别是，如果 pp 是一个质数，且 AA 是一个可加的阿贝尔群，使得 px=0{px} = 0 对于所有 x∈Ax \in A 成立，那么（如例5所述）AA 是一个 Z/pZ\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} -模，即可以被视为域 Fp=Z/pZ{\mathbb{F}}_{p} = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} 上的向量空间。例如，克莱因四元群是 aa （二维）向量空间，其上的 F2.{\mathbb{F}}_{2}.。这些群是第4.4节中讨论的基本阿贝尔 pp -群（特别参见命题17(3)）。

下一个例子同样具有基本的重要性，并将构成我们在第12.2节和12.3节研究矩阵典范形式的基础。

示例：（F[ xx ]-模）

令 FF 为一个域，xx 为一个不定元，RR 为多项式环 F[x]F\left\lbrack x\right\rbrack 。令 VV 为 FF 上的一个向量空间，TT 为从 VV 到 VV 的线性变换（在下一章我们将回顾线性变换的理论 - 对于这个例子，只需要知道线性变换的定义）。我们已经看到 VV 是一个 FF -模；线性映射 TT 将使我们能够将 VV 变为 F[x]F\left\lbrack x\right\rbrack -模。

首先，对于非负整数 nn ，定义

T0=I{T}^{0} = I
Tn=T∘T∘⋯∘T  (n times ){T}^{n} = T \circ T \circ \cdots \circ T\;\left( {n\text{ times }}\right)

其中 II 是从 VV 到 VV 的恒等映射，∘\circ 表示函数复合（因为 TT 的定义域和值域相同，这是有意义的）。此外，对于从 VV 到 VV 的任意两个线性变换 A,BA,B 和元素 α,β∈F\alpha ,\beta \in F ，定义 αA+βB{\alpha A} + {\beta B} 为

(αA+βB)(v)=α(A(v))+β(B(v))\left( {{\alpha A} + {\beta B}}\right) \left( v\right) = \alpha \left( {A\left( v\right) }\right) + \beta \left( {B\left( v\right) }\right)

（即，线性变换的加法和数乘是逐点定义的）。那么 αA+βB{\alpha A} + {\beta B} 很容易看出是从 VV 到 VV 的线性变换，因此线性变换的线性组合仍然是线性变换。

我们现在定义任意多项式在 xx 上的作用。令 p(x)p\left( x\right) 为多项式

p(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0,p\left( x\right) = {a}_{n}{x}^{n} + {a}_{n - 1}{x}^{n - 1} + \cdots + {a}_{1}x + {a}_{0},

其中 a0,…,an∈F{a}_{0},\ldots ,{a}_{n} \in F 。对于每个 v∈Vv \in V ，定义环元素 p(x)p\left( x\right) 在模元素 vv 上的作用为

p(x)v=(anTn+an−1Tn−1+⋯+a1T+a0)(v)p\left( x\right) v = \left( {{a}_{n}{T}^{n} + {a}_{n - 1}{T}^{n - 1} + \cdots + {a}_{1}T + {a}_{0}}\right) \left( v\right)
=anTn(v)+an−1Tn−1(v)+⋯+a1T(v)+a0v= {a}_{n}{T}^{n}\left( v\right) + {a}_{n - 1}{T}^{n - 1}\left( v\right) + \cdots + {a}_{1}T\left( v\right) + {a}_{0}v

(即 p(x)p\left( x\right) 通过将线性变换 TT 替换 xx 在 p(x)p\left( x\right) 中并对 vv 应用得到的线性变换来作用)。换句话说，xx 作为线性变换 TT 作用于 VV，并且我们以自然的方式将这种作用扩展到所有 F[x]F\left\lbrack x\right\rbrack 作用于 VV。容易验证这个关于 F[x]F\left\lbrack x\right\rbrack 作用于 VV 的定义满足所有模公理，并使得 VV 成为一个 F[x]F\left\lbrack x\right\rbrack -模。

域 FF 自然是 F[x]F\left\lbrack x\right\rbrack（常数多项式）的子环，这些域元素的作用按照定义与它们作为常数多项式时的作用相同。换句话说，F[x]F\left\lbrack x\right\rbrack 对 VV 的作用定义与给定的域 FF 对向量空间 VV 的作用是一致的，即这个定义将 FF 的作用扩展到更大的环 F[x]F\left\lbrack x\right\rbrack 的作用。

F[x]F\left\lbrack x\right\rbrack 作用于 VV 的方式取决于 TT 的选择，因此在一般情况下，同一向量空间 VV 上有许多不同的 F[x]F\left\lbrack x\right\rbrack -模结构。例如，如果 T=0T = 0 和 p(x),vp\left( x\right) ,v 如上所述，那么 p(x)v=a0vp\left( x\right) v = {a}_{0}v ，也就是说，多项式 p(x)p\left( x\right) 通过乘以 p(x)p\left( x\right) 的常数项来作用于 vv ，因此 F[x]F\left\lbrack x\right\rbrack -模结构仅仅是 FF -模结构。另一方面，如果 TT 是恒等变换（因此对于所有 nn 和 vv ，Tn(v)=v{T}^{n}\left( v\right) = v ），那么 p(x)v=anv+an−1v+⋯+a0v=(an+⋯+a0)vp\left( x\right) v = {a}_{n}v + {a}_{n - 1}v + \cdots + {a}_{0}v = \left( {{a}_{n} + \cdots + {a}_{0}}\right) v ，现在 p(x)p\left( x\right) 将 vv 乘以 p(x)p\left( x\right) 系数的和。

再举一个具体的例子，设 VV 为仿射 nn -空间 Fn{F}^{n} ，设 TT 为“移位算子”

T(x1,x2,…,xn)=(x2,x3,…,xn,0).T\left( {{x}_{1},{x}_{2},\ldots ,{x}_{n}}\right) = \left( {{x}_{2},{x}_{3},\ldots ,{x}_{n},0}\right) .

设 ei{e}_{i} 为通常的 ith {i}^{\text{th }} 基向量 (0,0,…,0,1,0,…,0)\left( {0,0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0}\right) ，其中 1 位于位置 ii 。那么

Tk(ei)={ei−k if i>k0 if i≤k{T}^{k}\left( {e}_{i}\right) = \left\{ \begin{array}{ll} {e}_{i - k} & \text{ if }i > k \\ 0 & \text{ if }i \leq k \end{array}\right.

因此例如，如果 m<nm < n ，

(amxm+am−1xm−1+⋯+a0)en=(0,…,0,am,am−1,…,a0).\left( {{a}_{m}{x}^{m} + {a}_{m - 1}{x}^{m - 1} + \cdots + {a}_{0}}\right) {e}_{n} = \left( {0,\ldots ,0,{a}_{m},{a}_{m - 1},\ldots ,{a}_{0}}\right) .

从这里我们可以确定任何多项式对任何向量的作用。

从向量空间 F[x]F\left\lbrack x\right\rbrack 上构造一个 F[x]F\left\lbrack x\right\rbrack -模，涉及 VV 和一个从 VV 到 VV 的线性变换 TT ，实际上描述了所有 F[x]F\left\lbrack x\right\rbrack -模；即，一个 F[x]F\left\lbrack x\right\rbrack -模是一个向量空间，附带一个指明 xx 作用的线性变换。这是因为如果 VV 是任意的 F[x]F\left\lbrack x\right\rbrack -模，那么 VV 是一个 FF -模，且环元素 xx 对 VV 的作用是从 VV 到 VV 的线性变换。模的公理确保了 FF 和 xx 对 VV 的作用唯一确定了 F[x]F\left\lbrack x\right\rbrack 中任意元素对 VV 的作用。因此，存在 F[x]F\left\lbrack x\right\rbrack -模集合与 V,TV,T 对的集合之间的一一对应。

{V an F[x]-module }↔{V a vector space over F and T:V→V a linear transformation }\left\{ {V\text{ an }F\left\lbrack x\right\rbrack \text{-module }}\right\} \leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} V\text{ a vector space over }F \\ \text{ and } \\ T : V \rightarrow V\text{ a linear transformation } \end{matrix}\right\}

给定

元素 xx 对 VV 的作用表现为线性变换 TT 。

现在考虑 F[x]F\left\lbrack x\right\rbrack -子模 VV ，其中，如上所述，VV 是任意的 F[x]F\left\lbrack x\right\rbrack -模，而 TT 是由 xx 的作用给出的从 VV 到 VV 的线性变换。一个 F[x]F\left\lbrack x\right\rbrack -子模 WW 必须首先是一个 FF -子模，即 WW 必须是 VV 的向量子空间。其次，WW 必须在环元素 xx 的作用下映射到自身，即我们必须有 T(w)∈WT\left( w\right) \in W ，对于所有的 w∈Ww \in W 。任何满足 T(U)⊆UT\left( U\right) \subseteq U 的 VV 的向量子空间 UU 被称为 TT -稳定或 TT -不变。如果 UU 是 VV 的任意的 TT -稳定子空间，那么对于所有的 n∈Z+n \in {\mathbb{Z}}^{ + } （例如，T(U)⊆UT\left( U\right) \subseteq U 蕴含 T2(U)=T(T(U))⊆T(U)⊆U{T}^{2}\left( U\right) = T\left( {T\left( U\right) }\right) \subseteq T\left( U\right) \subseteq U ）都有 Tn(U)⊆U{T}^{n}\left( U\right) \subseteq U 。此外，任何 TT 的幂的线性组合都会将 UU 映射到 UU ，因此 UU 由任何 TT 的多项式作用保持稳定。因此 UU 是 VV 的一个 F[x]F\left\lbrack x\right\rbrack -子模。这表明

F[x]F\left\lbrack x\right\rbrack -子模 VV 正好是 VV 的 TT -稳定子空间。

在上述双射的意义下，

{W an F[x]-submodule }↔{W a subspace of V and W is T-stable }\left\{ {W\text{ an }F\left\lbrack x\right\rbrack \text{-submodule }}\right\} \leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} W\text{ a subspace of }V \\ \text{ and } \\ W\text{ is }T\text{-stable } \end{matrix}\right\}

构成了 F[x]F\left\lbrack x\right\rbrack -模 VV 与向量空间 VV 以及从 VV 到 VV 的给定线性变换 TT 之间的完整对照表。

例如，如果 TT 是在仿射 nn -空间上定义的移位算子，且 kk 是范围 0≤k≤n0 \leq k \leq n 内的任意整数，那么该子空间

Uk={(x1,x2,…,xk,0,…,0)∣xi∈F}{U}_{k} = \left\{ {\left( {{x}_{1},{x}_{2},\ldots ,{x}_{k},0,\ldots ,0}\right) \mid {x}_{i} \in F}\right\}

显然是 TT -稳定的，因此是 VV 的 F[x]F\left\lbrack x\right\rbrack -子模。

我们强调，即使环 RR 不变，阿贝尔群 MM 也可能有多种不同的 RR -模结构（就像一个给定的群 GG 可以以多种方式作为某些固定集合 Ω\Omega 上的置换群一样）。我们将看到，RR -模的结构反映了 RR 的理想结构。当 RR 是一个域（下一章的主题）时，所有 RR -模将被认为是 RR 的副本的乘积（如上面的示例3所示）。

我们将在第12章中看到，环 F[x]F\left\lbrack x\right\rbrack 的相对简单的理想结构（回想 F[x]F\left\lbrack x\right\rbrack 是一个主理想整环）迫使 VV 的 F[x]F\left\lbrack x\right\rbrack -模结构相应地变得简单，这反过来又为线性变换 TT 提供了大量信息（特别是为 TT 提供了一些漂亮的矩阵表示：它的有理标准形和它的乔丹标准形）。此外，用于分类有限生成 F[x]F\left\lbrack x\right\rbrack -模的相同论证也适用于任何主理想整环 RR，当这些论证用于 R=ZR = \mathbb{Z} 时，我们得到有限生成阿贝尔群的基本定理。这些结果推广了每个有限维向量空间都有一个基的定理。

在本书的第六部分，我们将研究某些非交换环（群环）上的模，并看到这一理论在某种意义上推广了第12章中关于 F[x]F\left\lbrack x\right\rbrack -模的研究以及有限群置换表示的概念。

我们建立了一个与第2.1节中群子群的子模准则类似的子模准则。

命题1.（子模准则）

设 RR 是一个环，MM 是一个 RR -模。如果 NN 是 MM 的一个子集，那么 NN 是 MM 的子模当且仅当

(1) N≠∅N \neq \varnothing ，并且

(2) 对于所有 r∈Rr \in R 和所有 x,y∈Nx,y \in N 。

证明：如果 NN 是一个子模，那么 0∈N0 \in N ，所以 N≠∅N \neq \varnothing 。另外，NN 在加法下封闭，并且在 RR 元素的作用下映射到自身。反之，假设 (1) 和 (2) 成立。设 r=−1r = - 1 并应用子群准则（在加法形式下）以看到 NN 是 MM 的一个子群。特别地，0∈N0 \in N 。现在设 x=0x = 0 并应用假设 (2) 以看到 NN 在 RR 的作用下映射到自身。这证明了命题。

我们以一个重要的定义和一些例子结束本节。

定义

设 RR 是一个带有单位元的交换环。一个 RR -代数是一个带有单位元的环 AA ，以及一个将 1R{1}_{R} 映射到 1A{1}_{A} 的环同态 f:R→Af : R \rightarrow A ，使得 AA 的子环 f(R)f\left( R\right) 包含在 AA 的中心中。

如果 AA 是一个 RR -代数，那么很容易验证 AA 有一个自然的左和右（单位元）RR -模结构，定义为 r⋅a=a⋅r=f(r)ar \cdot a = a \cdot r = f\left( r\right) a 其中 f(r)af\left( r\right) a 只是在环 AA 中的乘法（这也与 af(r){af}\left( r\right) 相同，因为假设 f(r)f\left( r\right) 位于 AA 的中心）。一般来说，一个 RR -代数 AA 可能有其他的左（或右）RR -模结构，但除非另有说明，否则将假定代数上的这种自然模结构。

定义

如果 AA 和 BB 是两个 RR -代数，一个 RR -代数同态（或同构）是一个环同态（或同构）φ:A→B\varphi : A \rightarrow B 将 1A{1}_{A} 映射到 1B{1}_{B} ，使得对于所有的 φ(r⋅a)=r⋅φ(a)\varphi \left( {r \cdot a}\right) = r \cdot \varphi \left( a\right) 和 r∈Rr \in R ，a∈Aa \in A 成立。

示例

设 RR 是一个带有单位元的交换环。

（1）任何带有单位元的环都是一个 Z\mathbb{Z} -代数。

(2) 对于任何具有单位元的环 AA，如果 RR 是 AA 的中心的一个子环，包含 AA 的单位元，那么 AA 是一个 RR -代数。特别地，一个包含 1 的交换环 AA 对于任何包含 1 的 AA 的子环 RR 来说，都是一个 RR -代数。例如，多项式环 R[x]R\left\lbrack x\right\rbrack 是一个 RR -代数，任何变量个数上的 RR 上的多项式环是一个 RR -代数，有限群 GG 的群环 RG{RG} 也是一个 RR -代数（参见第 7.2 节）。

(3) 如果 AA 是一个 RR -代数，那么 AA 的 RR -模结构仅依赖于前一个例子中提到的包含在 AA 的中心中的子环 f(R)f\left( R\right)。如果我们用 RR 的像 f(R)f\left( R\right) 替换 RR，我们会发现“在环同态下”，每个代数 AA 都来源于包含 1A{1}_{A} 的 AA 的中心的一个子环。

(4) 前一个示例的特殊情况发生在 R=FR = F 是一个域时。在这种情况下 FF 与其在 ff 下的像同构，因此我们可以将 FF 本身识别为 AA 的子环。因此，说 AA 是一个域 FF 上的代数，等价于说环 AA 包含域 FF 在其中心，并且 AA 和 FF 的单位元是相同的（这最后一个条件是必要的，参见练习23）。

假设 AA 是一个 RR -代数。那么 AA 是一个具有单位元的环，它是一个（具有单位元的）左 RR -模，满足对于所有 r∈Rr \in R 和 a,b∈Aa,b \in A 的 r⋅(ab)=(r⋅a)b=a(r⋅b)r \cdot \left( {ab}\right) = \left( {r \cdot a}\right) b = a\left( {r \cdot b}\right)（这些都与环 AA 中的积 f(r)abf\left( r\right) {ab} 相等 - 请记住 f(R)f\left( R\right) 包含在 AA 的中心中）。反之，这些关于环 AA 的条件定义了一个 RR -代数，有时被用作 RR -代数的定义（参见练习22）。

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