3.2 陪集和拉格朗日定理

翻斗花园爷爷
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在本节中，我们继续研究商群。由于对于有限群来说，群的一个重要不变量是其阶，我们首先证明有限群的商群的阶可以容易地计算出来：∣G/N∣=∣G∣∣N∣\left| {G/N}\right| = \dfrac{\left| G\right| }{\left| N\right| }。实际上，我们将此作为一个更一般结果的推论，即拉格朗日定理。这个定理是有限群论中最重要的组合结果之一，并将被反复使用。在指出拉格朗日定理的一些简单推论之后，我们研究关于非正规子群的陪集的更微妙问题。

拉格朗日定理的证明是直接且重要的。它与我们在上一节例3中用来计算∣D8/Z(D8)∣\left| {{D}_{8}/Z\left( {D}_{8}\right) }\right| 的推理相同。

定理8(拉格朗日定理)

如果GG是一个有限群，HH是GG的一个子群，那么HH的阶是GG阶的因数，并且GG中HH的左陪集的个数等于∣G∣∣H∣\dfrac{\left| G\right| }{\left| H\right| }。

证明：设∣H∣=n\left| H\right| = n，并设HH在GG中的左陪集的个数为kk。

根据命题4，HH在GG中的左陪集的集合将GG分割。根据左陪集的定义，映射：

H→gH   defined by   h↦ghH \rightarrow {gH}\;\text{ defined by }\;h \mapsto {gh}

是从HH到左陪集gH{gH}的满射。左消去律意味着这个映射是单射，因为gh1=gh2g{h}_{1} = g{h}_{2}意味着h1=h2{h}_{1} = {h}_{2}。这证明了HH和gH{gH}具有相同的阶：

∣gH∣=∣H∣=n\left| {gH}\right| = \left| H\right| = n

由于 GG 被分割成 kk 个不相交的子集，每个子集的基数是 n,  ∣G∣=kn.n,\;\left| G\right| = {kn}.，因此 k=∣G∣n=∣G∣∣H∣k = \dfrac{\left| G\right| }{n} = \dfrac{\left| G\right| }{\left| H\right| }，完成了证明。

指标的定义

如果 GG 是一个群（可能是无限的），并且 H≤GH \leq G，那么 GG 中 HH 的左陪集的数量被称为 HH 在 GG 中的指标，表示为 ∣G:H∣\left| {G : H}\right|。

在有限群的情况下，HH 在 GG 中的指标是 ∣G∣∣H∣\dfrac{\left| G\right| }{\left| H\right| }。对于 GG 无限群，商 ∣G∣∣H∣\dfrac{\left| G\right| }{\left| H\right| } 没有意义。无限群可能有有限或无限的子群指标（例如，{0}\{ 0\} 在 Z\mathbb{Z} 中是无限指标，而 ⟨n⟩\langle n\rangle 在 Z\mathbb{Z} 中对每个 n>0)n > 0) 的指标是 nn）。

我们现在推导拉格朗日定理的一些简单推论。

推论9

如果 GG 是一个有限群且 x∈Gx \in G，那么 xx 的阶数是 GG 阶数的约数。特别地，对于 GG 中的所有 xx 都有 x∣G∣=1{x}^{\left| G\right| } = 1。

证明：根据命题2.2，∣x∣=∣⟨x⟩∣\left| x\right| = \left| {\langle x\rangle }\right|。推论的第一部分来自于将拉格朗日定理应用于 H=⟨x⟩H = \langle x\rangle 。第二个陈述是明显的，因为现在   ∣G∣\;\left| G\right| 是 xx 阶数的倍数。

推论10

如果 GG 是一个素数阶的群 pp，那么 GG 是循环群，因此 G≅ZpG \cong \mathbb{Z}_{p}。

证明：设 x∈G,x≠1x \in G,x \neq 1 。因此 ∣⟨x⟩∣>1\left| {\langle x\rangle }\right| > 1 且 ∣⟨x⟩∣\left| {\langle x\rangle }\right| 整除 ∣G∣\left| G\right| 。由于 ∣G∣\left| G\right| 是质数，我们必须有 ∣⟨x⟩∣=∣G∣\left| {\langle x\rangle }\right| = \left| G\right| ，因此 G=⟨x⟩G = \langle x\rangle 是循环的（以任意非单位元素 xx 作为生成元）。定理 2.4 完成了证明。

有了拉格朗日定理，我们考察一些正规子群的其他例子。

示例

(1) 设 H=⟨(123)⟩≤S3H = \left\langle \left( \begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \end{array}\right) \right\rangle \leq {S}_{3} 且设 G=S3G = {S}_{3} 。我们证明 H⊴S3H \trianglelefteq {S}_{3} 。如第 2.2 节所述，

H≤NG(H)≤GH \leq {N}_{G}\left( H\right) \leq G

由拉格朗日定理，HH 的阶整除 NG(H){N}_{G}\left( H\right) 的阶，NG(H){N}_{G}\left( H\right) 的阶也整除 GG 的阶。由于 GG 的阶为 6，HH 的阶为 3，因此 NG(H){N}_{G}\left( H\right) 的可能值只能是 HH 或 GG 。直接计算得到

(12)(123)(12)=(132)=(123)−1.\left( \begin{array}{ll} 1 & 2 \end{array}\right) \left( \begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \end{array}\right) \left( \begin{array}{ll} 1 & 2 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{lll} 1 & 3 & 2 \end{array}\right) = {\left( \begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \end{array}\right) }^{-1}.

由于 (12) =(12)−1= {\left( {12}\right) }^{-1} ，这个计算表明 (12) 将 HH 的一个生成元共轭为另一个生成元。根据第 2.3 节练习 24，这足以证明 (12)∈NG(H)\left( {12}\right) \in {N}_{G}\left( H\right) 。因此 NG(H)≠H{N}_{G}\left( H\right) \neq H 所以 NG(H)=G{N}_{G}\left( H\right) = G ，即 H⊴S3H \trianglelefteq {S}_{3} ，如所声称的那样。这个论证说明，检查子群的正规性通常可以简化为少数几个计算。下一个示例给出了这个例子的推广。

(2) 设 GG 为任意包含子群 HH 指数为2的群。我们证明 H⊴GH \trianglelefteq G。设 g∈G−Hg \in G - H ，因此，根据假设，GG 中 HH 的两个左陪集是 1H{1H} 和 gH{gH}。由于 1H=H{1H} = H 且陪集分割 GG，我们必须有 gH=G−H{gH} = G - H。现在，GG 中 HH 的两个右陪集是 H1{H1} 和 Hg{Hg}。由于 H1=H{H1} = H，我们再次必须有 Hg=G−H{Hg} = G - H。结合这些得到 gH=Hg{gH} = {Hg}，因此 GG 中 HH 的每个左陪集都是一个右陪集。根据定理6，H⊴GH \trianglelefteq G。根据指数的定义，∣G/H∣=2\left| {G/H}\right| = 2，因此 G/H≅Z2G/H \cong {Z}_{2}。必须注意，HH 在这种情况下是正规子群的原因，并不是因为我们可以为 HH 的左右陪集选择相同的代表元1和 gg，而是因为存在一种鸽巢原理在起作用：由于 1H=H=H1{1H} = H = {H1} 对于任何群 GG 的任意子群 HH，指数假设迫使剩余元素构成剩余的陪集（无论是左陪集还是右陪集）。我们将看到，这个结果本身是我们将在下一章证明的一个结果的特例。

注意这个结果证明了 ⟨i⟩,⟨j⟩\langle i\rangle ,\langle j\rangle 和 ⟨k⟩\langle k\rangle 是 Q8{Q}_{8} 的正规子群，以及 ⟨s,r2⟩,⟨r⟩\left\langle {s,{r}^{2}}\right\rangle ,\langle r\rangle 和 ⟨sr,r2⟩\left\langle {{sr},{r}^{2}}\right\rangle 是 D8{D}_{8} 的正规子群。

(3) “是正规子群”的性质不是传递的。例如，

⟨s⟩⊴⟨s,r2⟩⊴D8\langle s\rangle \trianglelefteq \left\langle {s,{r}^{2}}\right\rangle \trianglelefteq {D}_{8}

(每个子群在下一个中的指标为2)，然而，⟨s⟩\langle s\rangle 在 D8{D}_{8} 中不是正规子群，因为 rsr−1=sr2∉⟨s⟩{rs}{r}^{-1} = s{r}^{2} \notin \langle s\rangle 。

现在我们考察一些非正规子群的例子。虽然在阿贝尔群中每个子群都是正规的，但在非阿贝尔群中并非如此（在某种意义上 Q8{Q}_{8} 是这一规则的唯一例外）。实际上，存在一些群 GG ，其中唯一的正规子群是平凡子群：1和G。这样的群被称为单群（简单并不意味着容易）。单群在研究一般群中扮演着重要角色，这一角色将在第4节中描述。现在我们强调，并不是群 GG 的每个子群在 GG 中都是正规的；实际上，在 GG 中正规子群可能是非常罕见的。寻找给定群的正规子群通常是一个高度非平凡的问题。

示例

(1) 设 H=⟨(12)⟩≤S3H = \left\langle \left( \begin{array}{ll} 1 & 2 \end{array}\right) \right\rangle \leq {S}_{3} 。由于 HH 在 S3{S}_{3} 中的指标为素数3，根据拉格朗日定理，NS3(H){N}_{{S}_{3}}\left( H\right) 的唯一可能性是 HH 或 S3{S}_{3} 。直接计算显示

(13)(12)(13)−1=(13)(12)(13)=(23)∉H\left( \begin{array}{ll} 1 & 3 \end{array}\right) \left( \begin{array}{ll} 1 & 2 \end{array}\right) {\left( \begin{array}{ll} 1 & 3 \end{array}\right) }^{-1} = \left( \begin{array}{ll} 1 & 3 \end{array}\right) \left( \begin{array}{ll} 1 & 2 \end{array}\right) \left( \begin{array}{ll} 1 & 3 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{ll} 2 & 3 \end{array}\right) \notin H

因此 NS3(H)≠S3{N}_{{S}_{3}}\left( H\right) \neq {S}_{3} ，也就是说，HH 不是 S3{S}_{3} 的正规子群。人们也可以通过考虑 HH 的左陪集和右陪集来看到这一点；例如

(13)H={(13),(123)}   and   H(13)={(13),(132)}.\left( {13}\right) H = \{ \left( {13}\right) ,\left( {123}\right) \} \;\text{ and }\;H\left( {13}\right) = \{ \left( {13}\right) ,\left( {132}\right) \} .

由于左陪集 (13)H\left( \begin{array}{ll} 1 & 3 \end{array}\right) H 是包含 (13)\left( \begin{array}{ll} 1 & 3 \end{array}\right) 的唯一的左陪集 HH ，因此右陪集 H(13)H\left( \begin{array}{ll} 1 & 3 \end{array}\right) 不能是一个左陪集（也见练习6）。还应注意，在 S3{S}_{3} 中对 HH 的左陪集进行的“群运算”，即通过乘以代表元来定义，甚至也不是良定义的。例如，考虑两个左陪集 1H{1H} 和 (13)H\left( {13}\right) H 的乘积。元素1和(12)都是陪集 1H{1H} 的代表元，然而 1⋅(13)=(13)1 \cdot \left( {13}\right) = \left( {13}\right) 和 (1  2)⋅(1  3)=(1  3  2)\left( {1\;2}\right) \cdot \left( {1\;3}\right) = \left( {1\;3\;2}\right) 并不是同一个左陪集的元素，如果这些陪集的乘积独立于所选的特定代表元，它们应该是。这是定理6的一个例子，该定理指出，只有当子群是正规子群时，子群的陪集才能形成一个群。

(2)设 G=SnG = {S}_{n} 对于某些 n∈Z+n \in {\mathbb{Z}}^{ + } ，并固定某些 i∈{1,2,…,n}i \in \{ 1,2,\ldots ,n\} 。如第2.2节中，设

Gi={σ∈G∣σ(i)=i}{G}_{i} = \{ \sigma \in G \mid \sigma \left( i\right) = i\}

是点 ii 的稳定子。假设 τ∈G\tau \in G 和 τ(i)=j\tau \left( i\right) = j 。直接由 Gi{G}_{i} 的定义可知，对于所有 σ∈Gi,τσ(i)=j\sigma \in {G}_{i},{\tau \sigma }\left( i\right) = j 。此外，如果 μ∈G\mu \in G 和 μ(i)=j\mu \left( i\right) = j ，那么 τ−1μ(i)=i{\tau }^{-1}\mu \left( i\right) = i ，即 τ−1μ∈Gi{\tau }^{-1}\mu \in {G}_{i} ，所以 μ∈τGi\mu \in \tau {G}_{i} 。这证明了

τGi={μ∈G∣μ(i)=j}\tau {G}_{i} = \{ \mu \in G \mid \mu \left( i\right) = j\}

即，左陪集 τGi\tau {G}_{i} 包含 Sn{S}_{n} 中将 ii 映射到 jj 的置换。我们可以清楚地看到，不同的左陪集之间没有交集，且不同左陪集的数量等于整数 ii 在 GG 作用下不同像的数量，即存在 nn 个不同的左陪集。因此 ∣G:Gi∣=n\left| {G : {G}_{i}}\right| = n。使用相同的记号，设 k=τ−1(i)k = {\tau }^{-1}\left( i\right)，因此 τ(k)=i\tau \left( k\right) = i。通过类似的推理我们可以看到

Giτ={λ∈G∣λ(k)=i}{G}_{i}\tau = \{ \lambda \in G \mid \lambda \left( k\right) = i\}

即，右陪集 Giτ{G}_{i}\tau 包含 Sn{S}_{n} 中将 kk 映射到 ii 的置换。如果 n>2n > 2，对于某些非单位元素 τ\tau，我们有 τGi≠Giτ\tau {G}_{i} \neq {G}_{i}\tau，因为肯定存在将 ii 映射到 jj 但不将 kk 映射到 ii 的置换。因此 Gi{G}_{i} 不是一个正规子群。实际上 NG(Gi)=Gi{N}_{G}\left( {G}_{i}\right) = {G}_{i} 根据第1节的练习30，所以 Gi{G}_{i} 在某种意义上远非 Sn{S}_{n} 中的正规子群。这个例子推广了前一个例子。

(3) 在 D8{D}_{8} 中，唯一的阶为2的正规子群是中心 ⟨r2⟩\left\langle {r}^{2}\right\rangle。

在我们发展理论的过程中，我们将看到更多非正规子群的例子。

拉格朗日定理的完全逆命题是不成立的：即，如果 GG 是一个有限群且 nn 整除 ∣G∣\left| G\right| ，那么 GG 不一定有一个阶为 nn 的子群。例如，设 AA 为正四面体的对称群。由第1.2节的练习9，∣A∣=12.\left| A\right| = {12}. 假设 AA 有一个阶为6的子群 HH 。由于 ∣A∣∣H∣=2,H\frac{\left| A\right| }{\left| H\right| } = 2,H 在 AA 中的指数为2，因此 H⊴AH \trianglelefteq A 且 A/H≅Z2A/H \cong {Z}_{2} 。由于商群的阶为2，商群中每个元素的平方都是单位元，所以对于所有 g∈A,(gH)2=1Hg \in A,{\left( gH\right) }^{2} = {1H} ，即对于所有 g∈A,g2∈Hg \in A,{g}^{2} \in H 。如果 gg 是 AA 中阶为3的元素，我们得到 g=(g2)2∈Hg = {\left( {g}^{2}\right) }^{2} \in H ，即 HH 必须包含 AA 中所有阶为3的元素。这产生了矛盾，因为 ∣H∣=6\left| H\right| = 6 但可以轻易展示出8个正四面体的阶为3的旋转。

拉格朗日定理有一些部分逆命题。对于有限的 abelian groups\textit{abelian groups} ，拉格朗日的完全逆命题是成立的，即每个除数 nn 的阿贝尔群都有一个阶为 nn 的子群（实际上，这个结论在比“阿贝尔”更弱的假设下也成立；我们将在第6章看到这一点）。对于任意有限群成立的部分逆命题如下结果：

定理11(柯西定理)

如果 GG 是一个有限群且 pp 是一个质数，它整除 ∣G∣\left| G\right| ，那么 GG 有一个阶为 pp 的元素。

定理12.(Sylow定理)

如果 GG 是一个阶为 pαm{p}^{\alpha }m 的有限群，其中 pp 是一个质数且 pp 不整除 mm ，那么 GG 有一个阶为 pα{p}^{\alpha } 的子群。

我们以一些涉及陪集的有用结果来结束这一节。

定义

设 HH 和 KK 是一个群的子群，并定义

HK={hk∣h∈H,k∈K}.{HK} = \{ {hk} \mid h \in H,k \in K\} .

命题13

如果 HH 和 KK 是一个群的有限子群，那么

∣HK∣=∣H∣∣K∣∣H∩K∣\left| {HK}\right| = \frac{\left| H\right| \left| K\right| }{\left| H \cap K\right| }

证明：注意到 HK{HK} 是 KK 的左陪集的一个并集，即，

HK=⋃h∈HhK{HK} = \mathop{\bigcup }\limits_{{h \in H}}{hK}

由于 KK 的每个陪集都有 ∣K∣\left| K\right| 个元素，因此只需找到形式为 hK,h∈H{hK},h \in H 的不同左陪集的数量\\(两者相乘即得∣HK∣|HK|)。

但是 h1K=h2K{h}_{1}K = {h}_{2}K 当且仅当 h1,h2∈H{h}_{1},{h}_{2} \in H 时，h2−1h1∈K{h}_{2}^{-1}{h}_{1} \in K 。因此

h1K=h2K  ⇔  h2−1h1∈H∩K  ⇔  h1(H∩K)=h2(H∩K).{h}_{1}K = {h}_{2}K\; \Leftrightarrow \;{h}_{2}^{-1}{h}_{1} \in H \cap K\; \Leftrightarrow \;{h}_{1}\left( {H \cap K}\right) = {h}_{2}\left( {H \cap K}\right) .

因此，形式为 hK{hK} 的不同陪集的数量，对于 h∈Hh \in H ，就是形式为 h(H∩K)h\left( {H \cap K}\right) 的不同陪集的数量，对于 h∈Hh \in H 。后一个数量，根据拉格朗日定理，等于 ∣H∣∣H∩K∣\dfrac{\left| H\right| }{\left| H \cap K\right| } 。因此 HK{HK} 由 ∣H∣∣H∩K∣\dfrac{\left| H\right| }{\left| H \cap K\right| } 个 KK 的不同陪集组成（每个陪集有 ∣K∣\left| K\right| 个元素），这就给出了上述公式。

注意，在命题13中没有假设 HK{HK} 是一个子群。例如，如果 G=S3,H=⟨(12)⟩G = {S}_{3},H = \langle \left( {12}\right) \rangle 和 K=⟨(23)⟩K = \langle \left( {23}\right) \rangle ，那么 ∣H∣=∣K∣=2\left| H\right| = \left| K\right| = 2 和 ∣H∩K∣=1\left| {H \cap K}\right| = 1 ，所以 ∣HK∣=4\left| {HK}\right| = 4 。根据拉格朗日定理 HK{HK} 不能是一个子群。因此，我们必须有 S3=⟨(12),(23)⟩{S}_{3} = \langle \left( {12}\right) ,\left( {23}\right) \rangle 。

命题14

如果 HH 和 KK 是一个群的子群，当且仅当 HK=KH{HK} = {KH} 时，HK{HK} 是一个子群。

证明：首先假设 HK=KH{HK} = {KH} 并设 a,b∈HKa,b \in {HK} 。我们证明 ab−1∈HKa{b}^{-1} \in {HK} ，因此根据子群准则 HK{HK} 是一个子群。设

a=h1k1   and   b=h2k2,a = {h}_{1}{k}_{1}\;\text{ and }\;b = {h}_{2}{k}_{2},

对于某些 h1,h2∈H{h}_{1},{h}_{2} \in H 和 k1,k2∈K{k}_{1},{k}_{2} \in K 。因此 b−1=k2−1h2−1{b}^{-1} = {k}_{2}^{-1}{h}_{2}^{-1} ，所以 ab−1=h1k1k2−1h2−1a{b}^{-1} = {h}_{1}{k}_{1}{k}_{2}^{-1}{h}_{2}^{-1} 。设 k3=k1k2−1∈K{k}_{3} = {k}_{1}{k}_{2}^{-1} \in K 和 h3=h2−1{h}_{3} = {h}_{2}^{-1} 。因此 ab−1=h1k3h3a{b}^{-1} = {h}_{1}{k}_{3}{h}_{3} 。由于 HK=KH{HK} = {KH} ，

k3h3=h4k4,   for some h4∈H,  k4∈K.{k}_{3}{h}_{3} = {h}_{4}{k}_{4},\;\text{ for some }{h}_{4} \in H,\;{k}_{4} \in K.

因此 ab−1=h1h4k4a{b}^{-1} = {h}_{1}{h}_{4}{k}_{4} ，并且由于 h1h4∈H,k4∈K{h}_{1}{h}_{4} \in H,{k}_{4} \in K ，我们得到 ab−1∈HKa{b}^{-1} \in {HK} ，如所期望。

反之，假设 HK{HK} 是 GG 的一个子群。由于 K≤HKK \leq {HK} 和 H≤HKH \leq {HK} ，根据子群的封闭性，KH⊆HK{KH} \subseteq {HK} 。为了证明反向包含，设 hk∈HK{hk} \in {HK} 。由于假设 HK{HK} 是一个子群，写出 hk=a−1{hk} = {a}^{-1} ，对于某些 a∈HKa \in {HK} 。如果 a=h1k1a = {h}_{1}{k}_{1} ，那么

hk=(h1k1)−1=k1−1h1−1∈KH,{hk} = {\left( {h}_{1}{k}_{1}\right) }^{-1} = {k}_{1}^{-1}{h}_{1}^{-1} \in {KH},

完成证明。

注意 HK=KH{HK} = {KH} 并不意味着 HH 的元素与 KK 的元素交换（与该符号可能暗示的相反），而是每个乘积 hk{hk} 都是形式 k′h′{k}^{\prime }{h}^{\prime }（hh 不一定是 h′{h}^{\prime } 也不一定是 kk），反之亦然。例如，如果 G=D2nG = {D}_{2n} ，H=⟨r⟩H = \langle r\rangle 和 K=⟨s⟩K = \langle s\rangle，那么 G=HK=KHG = {HK} = {KH}，因此 HK{HK} 是一个子群，rs=sr−1{rs} = s{r}^{-1} 所以 HH 的元素与 KK 的元素不交换。这是以下充分条件的一个例子，HK{HK} 是一个子群：

推论 15

如果 HH 和 KK 是 GG 和 H≤NG(K)H \leq {N}_{G}\left( K\right) 的子群，那么 HK{HK} 是 GG 的子群。特别地，如果 K⊴GK \trianglelefteq G，那么对于任何 H≤GH \leq G ，HK≤G{HK} \leq G。

证明：我们证明 HK=KH{HK} = {KH}。设 h∈H,k∈Kh \in H,k \in K。根据假设，hkh−1∈K{hk}{h}^{-1} \in K，因此

hk=(hkh−1)h∈KH.{hk} = \left( {{hk}{h}^{-1}}\right) h \in {KH}.

这证明了 HK⊆KH{HK} \subseteq {KH}。类似地，kh=h(h−1kh)∈HK{kh} = h\left( {{h}^{-1}{kh}}\right) \in {HK}，证明了反向包含。现在从之前的命题得出推论。

规范化的定义

如果 AA 是 NG(K){N}_{G}\left( K\right)（或 CG(K){C}_{G}\left( K\right)）的任意子集，我们将说 AA 规范化 KK（或居中 KK）。

用这个术语，推论 15 表明如果 HK{HK} 规范化 KK（类似地，如果 KK 规范化 HH），那么 HK{HK} 是一个子群。

在某些情况下，可以证明一个有限群是它的两个子群的乘积，只需简单地使用命题13中的阶公式。例如，设 G=S4,H=D8G = {S}_{4},H = {D}_{8} 并设 K=⟨(123)⟩K = \langle \left( \begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \end{array}\right) \rangle ，其中我们通过将每个对称性与其在正方形4个顶点上的排列（在某种固定标记下）进行识别，将 D8{D}_{8} 视为 S4{S}_{4} 的一个子群。根据拉格朗日定理， H∩K=1H \cap K = 1 （见练习8）。命题13接着表明 ∣HK∣=24\left| {HK}\right| = {24} 因此我们必须有 HK=S4{HK} = {S}_{4} 。由于 HK{HK} 是一个群， HK=KH{HK} = {KH} 。我们将验证 HH 和 KK 互不正规化留作练习（因此不能使用推论15来得到 HK=KH{HK} = {KH} ）。

最后，在本章中我们一直使用子群的左陪集。同样的组合结果也可以使用右陪集来证明。对于正规子群来说这是平凡的，因为左陪集和右陪集是相同的，但对于非正规子群，一些左陪集不是右陪集（对于任何代表元的选择），因此需要进行一些（简单的）验证。

因此，在一个有限群中，HH 在 GG 中的左陪集的数量等于右陪集的数量，尽管通常左陪集并不一定是右陪集。这对于无限群也成立。

在某些论文中，也可能看到用 G/HG/H 表示 HH 在 GG 中的左陪集的记法，即使 HH 在 GG 中不是正规子群（在这种情况下，G/HG/H 被称为 HH 在 GG 中的左陪集的空间）。我们不会使用这种记法。

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