2.4 子群由群的子集生成

翻斗花园爷爷
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子群由群的子集生成

构成给定群循环子群的方法是通用技术的特例，该技术是通过生成一个任意子集的子群。在循环子群的情况下，取群的单一子集 {x}\{ x\} 并形成所有 xx 的整数次幂，这相当于在群运算和取逆过程中闭合集合 {x}\{ x\} 。得到的子群是包含集合 {x}\{ x\} 的 GG 的最小子群（在包含 {x}\{ x\} 的任何子群 HH 都包含 ⟨x⟩\langle x\rangle 的意义上最小）。换句话说，⟨x⟩\langle x\rangle 是包含 xx 的 GG 的子群集合中的唯一极小元素（按包含关系排序）。在本节中，我们研究当 {x}\{ x\} 被替换为 GG 的任意子集时的类似情况。

在整个数学领域，以下主题反复出现：给定一个对象 GG（如群、域、向量空间等）以及 GG 的一个子集 AA，是否存在 GG 的唯一最小子对象（子群、子域、子空间等），它包含 AA，如果存在，那么这个子对象的元素是如何计算的？学生们可能在研究向量空间时已经遇到过这个问题。当 GG 是一个向量空间（比如说，具有实数标量的）并且 A={v1,v2,…,vn}A = \left\{ {{v}_{1},{v}_{2},\ldots ,{v}_{n}}\right\} 时，存在一个包含 AA 的唯一最小子空间，即 v1,v2,…,vn{v}_{1},{v}_{2},\ldots ,{v}_{n} 的（线性）生成空间，这个生成空间中的每个向量都可以写成 k1v1+k2v2+⋯+knvn{k}_{1}{v}_{1} + {k}_{2}{v}_{2} + \cdots + {k}_{n}{v}_{n} 的形式，对于某些 k1,…,kn∈R{k}_{1},\ldots ,{k}_{n} \in \mathbb{R}。当 AA 是一个单个非零向量 vv 时，{v}\{ v\} 的生成空间就是一个包含 vv 的1维子空间或直线，这个子空间的每个元素都是 kv{kv} 的形式，对于某些 k∈Rk \in \mathbb{R}。这在向量空间理论中是群论中循环子群的类似物。请注意，1维子空间包含 kv{kv}，其中 k∈Rk \in \mathbb{R}，而不仅仅是 kv{kv}，其中 k∈Zk \in \mathbb{Z}；原因是子空间必须对所有向量空间运算（例如，标量乘法）封闭，而不仅仅是向量加法的群运算。

设 GG 为任意群，AA 为 GG 的任意子集。我们现在精确地定义由 AA 生成的 GG 的子群的概念。我们证明，由于任意子群的交集仍然是 GG 的子群，由 AA 生成的子群是包含 AA 的唯一最小子群；它在包含 AA 的所有子群集合中是“最小”的，即它是该集合的最小元素。我们展示了这个子群的元素是通过在给定的子集下闭合群运算（并取逆元）得到的。在文本的后续部分，当我们发展其他代数对象的理论时，我们将参考本节作为证明给定子集包含在唯一最小子对象中的范例，并且这个子对象的元素是通过在子集下闭合定义对象的运算得到的。由于在后几章中会省略细节，学生应该在此阶段获得对这一过程的理解。

为了继续，我们只需要以下内容。

命题 8

如果 A\mathcal{A} 是 GG 的任意非空子群集合，那么所有 A\mathcal{A} 中元素的交集也是 GG 的子群。

证明：这是子群准则的一个简单应用。设

K=⋂H∈AHK = \mathop{\bigcap }\limits_{{H \in \mathcal{A}}}H

由于每个 H∈AH \in \mathcal{A} 都是子群，1∈H1 \in H，所以 1∈K1 \in K，即 K≠∅K \neq \varnothing。如果 a,b∈Ka,b \in K，那么 a,b∈Ha,b \in H，对于所有 H∈AH \in \mathcal{A}。由于每个 HH 都是群，ab−1∈Ha{b}^{-1} \in H，对于所有 HH，因此 ab−1∈Ka{b}^{-1} \in K。命题 1 给出 K≤GK \leq G。

定义

如果 AA 是群 GG 的任一子集，定义

⟨A⟩=⋂A⊆HH≤GH\langle A\rangle = {\bigcap }_{\begin{matrix} {A \subseteq H} \\ {H \leq G} \end{matrix}}H

这被称为由 GG 生成的 AA 的子群。

因此 ⟨A⟩\langle A\rangle 是包含 AA 的所有子群的交集。根据命题 8 应用于集合 A={H≤G∣A⊆H}\mathcal{A} = \{ H \leq G \mid A \subseteq H\} （A\mathcal{A} 非空，因为 G∈AG \in \mathcal{A}），它是 GG 的子群。由于 AA 位于每个 H∈A,AH \in \mathcal{A},A 中，所以 H∈A,AH \in \mathcal{A},A 的交集是 ⟨A⟩\langle A\rangle 的子集。注意 ⟨  A  ⟩  \langle \;A\;\rangle \; 是   A  \;\mathcal{A}\; 的唯一极小元素，如下所示：  ⟨  A  ⟩  \;\langle \;A\;\rangle \; 是包含 AA 的   G  \;G\; 的子群，因此 ⟨A⟩∈A\langle A\rangle \in \mathcal{A} ；并且 A\mathcal{A} 的任何元素都包含 A\mathcal{A} 中所有元素的交集，即包含 ⟨A⟩\langle A\rangle。

当 AA 是有限集 {a1,a2,…,an}\left\{ {{a}_{1},{a}_{2},\ldots ,{a}_{n}}\right\} 时，我们用 ⟨a1,a2,…,an⟩\left\langle {{a}_{1},{a}_{2},\ldots ,{a}_{n}}\right\rangle 表示由 a1,a2,…,an{a}_{1},{a}_{2},\ldots ,{a}_{n} 生成的群，而不是 ⟨{a1,a2,…,an}⟩\left\langle \left\{ {{a}_{1},{a}_{2},\ldots ,{a}_{n}}\right\} \right\rangle。如果 AA 和 BB 是 GG 的两个子集，我们将用 ⟨A,B⟩\langle A,B\rangle 代替 ⟨A∪B⟩\langle A \cup B\rangle。

这种自上而下的方法定义 ⟨A⟩\langle A\rangle 证明了包含 AA 的最小子群的存在性和唯一性，但对于如何构造其中的元素并不太有启发。正如“生成”这个词所暗示的，我们现在定义一个集合，它是 AA 在群运算（以及取逆元的过程）下的闭包，并证明这个集合等于 ⟨A⟩\langle A\rangle。让

Aˉ={a1ϵ1a2ϵ2…anϵn∣n∈Z,n≥0 and ai∈A,ϵi=±1 for each i}\bar{A} = \left\{ {{a}_{1}^{{\epsilon }_{1}}{a}_{2}^{{\epsilon }_{2}}\ldots {a}_{n}^{{\epsilon }_{n}} \mid n \in \mathbb{Z},n \geq 0\text{ and }{a}_{i} \in A,{\epsilon }_{i} = \pm 1\text{ for each }i}\right\}

其中 Aˉ={1}\bar{A} = \{ 1\} 如果 A=∅A = \varnothing ，那么 Aˉ\bar{A} 是所有有限积（称为词）的集合，这些积由 AA 的元素及其逆元组成。注意 ai{a}_{i} 不必是不同的，因此在定义 Aˉ\bar{A} 时 a2{a}^{2} 写作 aa{aa}。还应注意，AA 不假定是有限集（甚至可数集）。

命题 9

Aˉ=⟨A⟩\bar{A} = \langle A\rangle。

证明：我们首先证明 Aˉ\bar{A} 是一个子群。注意 Aˉ≠∅\bar{A} \neq \varnothing（即使 A=∅A = \varnothing）。如果 a,b∈Aˉa,b \in \bar{A} 且 a=a1ϵ1a2ϵ2…anϵna = {a}_{1}^{{\epsilon }_{1}}{a}_{2}^{{\epsilon }_{2}}\ldots {a}_{n}^{{\epsilon }_{n}} 和 b=b1δ1b2δ2…bmδmb = {b}_{1}^{{\delta }_{1}}{b}_{2}^{{\delta }_{2}}\ldots {b}_{m}^{{\delta }_{m}}，那么

ab−1=a1ϵ1a2ϵ2…anϵn⋅bm−δmbm−1−δm−1…b1−δ1a{b}^{-1} = {a}_{1}^{{\epsilon }_{1}}{a}_{2}^{{\epsilon }_{2}}\ldots {a}_{n}^{{\epsilon }_{n}} \cdot {b}_{m}^{-{\delta }_{m}}{b}_{m - 1}^{-{\delta }_{m - 1}}\ldots {b}_{1}^{-{\delta }_{1}}

因此 ab−1a{b}^{-1} 是 AA 的元素乘以幂 ±1\pm 1 的乘积，因此 ab−1∈Aˉa{b}^{-1} \in \bar{A}。命题 1 意味着 Aˉ\bar{A} 是 GG 的子群。

由于每个 a∈Aa \in A 可以写成 a1{a}^{1}，因此 A⊆AˉA \subseteq \bar{A}，因此 ⟨A⟩⊆Aˉ\langle A\rangle \subseteq \bar{A}(因为⟨A⟩\langle A\rangle是包含AA的最小子群)。但是 ⟨A⟩\langle A\rangle 是一个包含 AA 的群，并且由于它在群运算和取逆元的过程中是封闭的，⟨A⟩\langle A\rangle 包含每个形式为 a1ϵ1a2ϵ2…anϵn{a}_{1}^{{\epsilon }_{1}}{a}_{2}^{{\epsilon }_{2}}\ldots {a}_{n}^{{\epsilon }_{n}} 的元素，即 Aˉ⊆⟨A⟩\bar{A} \subseteq \langle A\rangle。这完成了命题的证明。

我们现在用 ⟨A⟩\langle A\rangle 代替 Aˉ\bar{A}，并且可以将 Aˉ\bar{A} 的定义作为 ⟨A⟩\langle A\rangle 的等价定义。如上所述，在这个 ⟨A⟩\langle A\rangle 的等价定义中，形式为 a⋅a,  a⋅a⋅a,  a⋅a−1,  a \cdot a,\;a \cdot a \cdot a,\;a \cdot {a}^{-1},\; 等的乘积可以简化为 a2,  a3,  1,  {a}^{2},\;{a}^{3},\;1,\; 等，因此 ⟨A⟩\langle A\rangle 的另一种写法是

⟨A⟩={a1α1a2α2…anαn∣for each  i,  ai∈A,αi∈Z,ai≠ai+1  and  n∈Z+}.\langle \left. A\right\rangle = \{ {a}_{1}^{{\alpha }_{1}}{a}_{2}^{{\alpha }_{2}}\ldots {a}_{n}^{{\alpha }_{n}} \mid \mathrm{{for}}\ \mathrm{{each}}\;i,\;{a}_{i} \in A,{\alpha }_{i} \in \mathbb{Z},{a}_{i} \neq {a}_{i + 1}\;\mathrm{{and}}\;n \in {\mathbb{Z}}^{ + }\} .

事实上，当 A={x}A = \{ x\} 这是我们对 ⟨A⟩\langle A\rangle 的定义。

如果 GG 是阿贝尔群，我们可以交换 ai{a}_{i} 的位置，从而把给定生成元的所有幂次集中在一起。例如，如果 AA 是阿贝尔群 GG 的有限子集 {a1,a2,…,ak}\left\{ {{a}_{1},{a}_{2},\ldots ,{a}_{k}}\right\}，很容易验证

⟨  A  ⟩={a1α1a2α2…akαk∣αi∈Z for each i}.\langle \;A\;\rangle = \{ {a}_{1}^{{\alpha }_{1}}{a}_{2}^{{\alpha }_{2}}\ldots {a}_{k}^{{\alpha }_{k}} \mid {\alpha }_{i} \in \mathbb{Z}\text{ for each }i\} .

如果在这种情况下我们进一步假设每个 ai{a}_{i} 都有有限阶 di{d}_{i}，对于所有的 ii，那么由于恰好有 di{d}_{i} 个不同的 ai{a}_{i} 的幂次，形式为 a1α1a2α2…akαk{a}_{1}^{{\alpha }_{1}}{a}_{2}^{{\alpha }_{2}}\ldots {a}_{k}^{{\alpha }_{k}} 的不同乘积的总数最多为 d1d2…dk{d}_{1}{d}_{2}\ldots {d}_{k}，即，

∣⟨A⟩∣≤d1d2…dk\left| {\langle A\rangle }\right| \leq {d}_{1}{d}_{2}\ldots {d}_{k}

可能会出现 aαbβ=aγbδ{a}^{\alpha }{b}^{\beta } = {a}^{\gamma }{b}^{\delta } 的情况，即使 aα≠aγ{a}^{\alpha } \neq {a}^{\gamma } 和 bβ≠bδ{b}^{\beta } \neq {b}^{\delta }。当我们研究第5章中的直积时，我们将探讨确切地在什么情况下会发生这种情况。

当 GG 不是阿贝尔群时，情况会变得更加复杂。例如，设 G=D8G = {D}_{8} 并且设 rr 和 ss 是 D8{D}_{8} 的常用生成元。设 a=sa = s ，设 b=rsb = {rs} 并且设 A={a,b}A = \{ a,b\} 。由于 ss 和 r(=rs⋅s)r\left( { = {rs} \cdot s}\right) 都属于 ⟨a,b⟩,G=⟨a,b⟩\langle a,b\rangle ,G = \langle a,b\rangle ，即 GG 也可以由 aa 和 bb 生成。aa 和 bb 的阶都是2，然而 D8{D}_{8} 的阶是8。这意味着不可能将 D8{D}_{8} 的每个元素都写成 aαbβ,α,β∈Z{a}^{\alpha }{b}^{\beta },\alpha ,\beta \in \mathbb{Z} 的形式。更具体地说，aba{aba} 的乘积不能简化为 aαbβ{a}^{\alpha }{b}^{\beta } 形式的乘积。实际上，如果 G=D2nG = {D}_{2n} 对于任意的 n>2n > 2 ，并且 r,s,a,br,s,a,b 如上定义，仍然有

∣a∣=∣b∣=2,  D2n=⟨a,b⟩   and   ∣D2n∣=2n.\left| a\right| = \left| b\right| = 2,\;{D}_{2n} = \langle a,b\rangle \;\text{ and }\;\left| {D}_{2n}\right| = {2n}.

这意味着对于大的 nn ，长乘积 abab…ab{abab}\ldots {ab} 不能进一步简化。这说明了与阿贝尔群（或者更准确地说，循环群）的情况不同，一旦我们知道了生成集元素中的阶，甚至不能限定（有限）群的阶。

这个现象的另一个例子是 Sn{S}_{n} ：

Sn=⟨(12),(123…n)⟩.{S}_{n} = \langle \left( {12}\right) ,\left( {{123}\ldots n}\right) \rangle .

因此 Sn{S}_{n} 由一个阶为2的元素和一个阶为 nn 的元素生成，然而 ∣Sn∣=n\left| {S}_{n}\right| = n ！（我们在发展了一些更多技术后，将证明这些陈述）。

最后一个例子强调了这样一个事实，如果 GG 是非阿贝尔群，那么由 GG 中多于一个元素生成的 GG 的子群可能非常复杂。设

G=GL2(R),  a=(0110),  b=(021/20)G = G{L}_{2}\left( \mathbb{R}\right) ,\;a = \left( \begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) ,\;b = \left( \begin{matrix} 0 & 2 \\ 1/2 & 0 \end{matrix}\right)

因此 a2=b2=1{a}^{2} = {b}^{2} = 1 但 ab=(1/2002){ab} = \left( \begin{matrix} 1/2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}\right) 。很容易看出 ab{ab} 具有无限阶，所以 ⟨a,b⟩\langle a,b\rangle 是由 GL2(R)G{L}_{2}\left( \mathbb{R}\right) 的两个阶为2的元素生成的无限子群。

这些例子说明，当 ∣A∣≥2\left| A\right| \geq 2 时，通常很难计算出由 AA 生成的子群的阶，更不用说任何其他结构性质了。因此，通过随机选择子集 AA 并尝试写出（或关于）⟨A⟩\langle A\rangle 的元素（或其他信息）来获取非阿贝尔群子群的信息是不切实际的。对于某些“精心挑选”的子集 AA ，即使是非阿贝尔群 GG ，我们也将在理论和计算上利用由 AA 生成的子群。这种情况下的一种例子可能是当我们想要找到包含 ⟨x⟩\langle x\rangle 的 GG 的一个子群；我们可能寻找某些与 xx 可交换的元素 yy （即 y∈CG(x)y \in {C}_{G}\left( x\right) ）并形成 ⟨x,y⟩\langle x,y\rangle 。很容易验证，后一个群是阿贝尔群，所以其阶被 ∣x∣∣y∣\left| x\right| \left| y\right| 所限制。或者，我们也可以在 NG(⟨x⟩){N}_{G}\left( {\langle x\rangle }\right) 中取 yy ——在这种情况下，相同的阶限制仍然成立，而且 ⟨x,y⟩\langle x,y\rangle 的结构也不太复杂（我们将在下一章看到）。

对于非阿贝尔群产生的复杂性，当我们研究其他基本代数系统时通常不会那么严重，因为额外的代数结构被强加了。

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