1.4 矩阵群 1.5 四元数群

矩阵群

在这一节中，我们引入了矩阵群的概念，其中的系数来自域。这个群族的例子将在第一部分中用于说明目的，并在关于向量空间的章节中进一步研究。

一个域是“最小”的数学结构，在其中我们可以进行所有的算术运算 $+ , - , \times$ ，以及 $\div$（非零元素的除法），因此特别地，每个非零元素都必须有一个乘法逆元。稍后我们将更深入地研究域，在本文本的这部分中，我们遇到的唯一域 $F$ 将是 $\mathbb{Q},\mathbb{R}$ 和 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ ，其中 $p$ 是一个质数。例子 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 是一个有限域，为了强调它是一个域，我们将用 ${\mathbb{F}}_{p}$ 来表示它。为了完整性，我们在下面给出了域的精确定义。

定义

(1) 一个域是一个集合 $F$ ，以及在该集合上定义的两个二元运算 + 和 $\cdot$ ，使得 $\left( {F, + }\right)$ 是一个阿贝尔群(将其单位元称为 0)并且 $\left( {F-\{ 0\} , \cdot }\right)$ 也是一个阿贝尔群，并且以下分配律成立：

(2) 对于任何域 $F$ ，设 ${F}^{ \times } = F - \{ 0\}$ 。

当标量来自 $\mathbb{R}$ 时，所有的向量空间理论、矩阵和线性变换理论以及行列式理论都是成立的，同理，当标量来自任意域 $F$ 时，这些理论也是成立的。当我们在第一部分使用这个理论时，我们将明确指出我们假设的关于域的事实。

对于每个 $n \in {\mathbb{Z}}^{ + }$ ，设 $G{L}_{n}\left( F\right)$ 是所有 $n \times n$ 矩阵的集合，这些矩阵的元素来自 $F$ 并且行列式不为零，即，

$G{L}_{n}\left( F\right) = \{ A \mid A$ 是一个 $n \times n$ 矩阵，其元素来自 $F$ 并且 $\det \left( A\right) \neq 0\} ,$

其中任意矩阵 $A$ 的行列式（其元素来自 $F$）可以通过与 $F = \mathbb{R}$ 相同的公式计算得出。对于任意的 $n \times n$ 矩阵 $A$ 和 $B$，令 ${AB}$ 为通过 $F = \mathbb{R}$ 相同规则计算出的这些矩阵的乘积。这个乘积是结合的。另外，由于 $\det \left( {AB}\right) = \det \left( A\right) \cdot \det \left( B\right)$，如果 $\det \left( A\right) \neq 0$ 且 $\det \left( B\right) \neq 0$，那么 $\det \left( {AB}\right) \neq 0$，因此 $G{L}_{n}\left( F\right)$ 在矩阵乘法下是封闭的。进一步地，$\det \left( A\right) \neq 0$ 当且仅当 $A$ 有一个矩阵逆（这个逆可以通过与 $F = \mathbb{R}$ 相同的伴随公式计算得出），所以每个 $A \in G{L}_{n}\left( F\right)$ 在 $G{L}_{n}\left( F\right)$ 中都有一个逆，${A}^{-1}$。

其中 $I$ 是 $n \times n$ 单位矩阵。因此 $G{L}_{n}\left( F\right)$ 在矩阵乘法下是一个群，称为 n 阶的一般线性群。

以下结果将在模部分证明，但为了方便现在记录如下：

(1)如果 $F$ 是一个域且 $\left| F\right| < \infty$，那么 $\left| F\right| = {p}^{m}$ 对于某个素数 $p$ 和整数 $m$；

(2)如果 $\left| F\right| = q < \infty$，那么 $\left| {G{L}_{n}\left( F\right) }\right| = \left( {{q}^{n} - 1}\right) \left( {{q}^{n} - q}\right) \left( {{q}^{n} - {q}^{2}}\right) \ldots \left( {{q}^{n} - {q}^{n - 1}}\right)$。

四元数群

四元数群 ${Q}_{8}$ 定义为

乘积 $\cdot$ 按如下方式计算：

如往常一样，我们今后将用 ${ab}$ 表示 $a \cdot b$ 。验证结合律是繁琐的（我们稍后会通过较少的计算方法证明这一点），但其他公理很容易验证。注意 ${Q}_{8}$ 是一个阶为8的非交换群。