4.3 自共轭作用下的群自身作用

自共轭作用下的群自身作用

在本节中 $G$ 是任意的群，我们首先考虑 $G$ 对其自身（即 $A = G$ ）的共轭作用：

其中 ${ga}{g}^{-1}$ 在群 $G$ 中按通常方式计算。这个定义满足群作用的两个公理，因为

以及

对于所有的 ${g}_{1},{g}_{2} \in G$ 和所有的 $a \in G$ 。

共轭的定义

若存在某个 $g \in G$，使得 $b = {ga}{g}^{-1}$（即当且仅当它们在 $G$ 对其自身共轭作用下的同一轨道中），则称 $G$ 中的两个元素 $a$ 和 $b$ 在 $G$ 中是共轭的。 $G$ 对其自身共轭作用下的轨道称为 $G$ 的共轭类。

示例

(1) 如果 $G$ 是一个阿贝尔群，那么 $G$ 对其自身的共轭作用是平凡作用：$g \cdot a = a$ ，对于所有的 $g,a \in G$ ，且对于每个 $a \in G$ ，$a$ 的共轭类是 $\{ a\}$ 。

(2) 如果 $\left| G\right| > 1$ ，那么与左乘作用不同，$G$ 不通过对自身的共轭作用进行传递，因为 {1} 总是一个共轭类（即此作用的轨道）。更一般地，单个元素子集 $\{ a\}$ 是一个共轭类，当且仅当 ${ga}{g}^{-1} = a$ 对于所有的 $g \in G$ ，当且仅当 $a$ 在 $G$ 的中心中。

(3) 在 ${S}_{3}$ 中，可以直接计算出共轭类是 $\{ 1\} ,\{ \left( {1–2}\right) ,\left( {1–3}\right) ,\left( {2–3}\right) \}$ 和 $\{ \left( \begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \end{array}\right) ,\left( \begin{array}{lll} 1 & 3 & 2 \end{array}\right) \}$ 。我们很快将发展出更容易计算共轭类的方法，特别是在对称群中。

正如在群通过左乘作用于自身的情况中，共轭作用也可以推广。如果 $S$ 是 $G$ 的任意子集，定义

一个群 $G$ 通过定义 $g \cdot S = {gS}{g}^{-1}$ 对任意 $g \in G$ 和 $S \in \mathcal{P}\left( G\right)$ 作用于自身所有子集的集合 $\mathcal{P}\left( G\right)$ 。如上所述，这定义了 $G$ 在 $\mathcal{P}\left( G\right)$ 上的群作用。注意，如果 $S$ 是单元素集合 $\{ s\}$ ，那么 $g \cdot S$ 是单元素集合 $\left\{ {{gs}{g}^{-1}}\right\}$ ，因此 $G$ 在所有子集上的作用可以看作是 $G$ 通过共轭作用于自身的扩展。

定义

若存在某个 $g \in G$ 使得 $T = {gS}{g}^{-1}$ （即，当且仅当它们在 $G$ 通过共轭作用于其子集的同一轨道中），则称 $G$ 的两个子集 $S$ 和 $T$ 在 $G$ 中是共轭的。

我们现在将命题2应用于 $G$ 的共轭作用。命题2证明了如果 $S$ 是 $G$ 的一个子集，那么 $S$ 的共轭类的数量等于 $S$ 的稳定子 ${G}_{S}$ 的指数 $\left| {G : {G}_{S}}\right|$ 。对于共轭作用

是 $S$ 在 $G$ 中的正规化子。我们将此总结为

命题6

一个子集 $S$ 在一个群 $G$ 中的共轭类的数量是该子集正规化子的指数。特别地，一个元素 $s$ 在 $G$ 中的共轭类的数量是该元素中心化子的指数 $s,\left| {G : {C}_{G}\left( s\right) }\right|$。

证明：命题的第二个断言来自于以下观察 ${N}_{G}\left( {\{ s\} }\right) = {C}_{G}\left( s\right) .$。

$G$ 对自身的共轭作用将其划分为 $G$ 的共轭类，其阶可以由命题6计算。由于这些共轭类的阶之和等于 $G$ 的阶，我们得到了这些阶之间的重要关系。

定理7（类方程）

设 $G$ 是一个有限群，${g}_{1},{g}_{2},\ldots ,{g}_{r}$ 是 $G$ 中不包含在中心 $Z\left( G\right)$ 中的不同共轭类的代表元。那么

证明：如上例2所述，如果且仅当 $x \in Z\left( G\right)$ ，元素 $\{ x\}$ 是大小为1的共轭类，因为那时对于所有 $g \in G$ 有 ${gx}{g}^{-1} = x$。设 $Z\left( G\right) = \{ 1,{z}_{2},...,{z}_{m}\}$ ，设 ${\mathcal{K}}_{1},{\mathcal{K}}_{2},\ldots ,{\mathcal{K}}_{r}$ 是 $G$ 中不包含在中心中的共轭类，设 ${g}_{i}$ 是 ${\mathcal{K}}_{i}$ 的代表元。那么 $G$ 的所有共轭类的完整集合由以下给出

由于这些划分了 $G$ ，我们有

其中 $\left| {\mathcal{K}}_{i}\right|$ 由命题6给出。这证明了类方程。

特别注意类方程右边的所有项都是群的阶的因数，因为它们是 $G$ 的子群的指数。这限制了它们可能的值（例如，参见练习6）。

示例

(1) 在阿贝尔群中，类方程不提供任何信息，因为共轭是平凡作用，所有共轭类的大小都是1。

(2) 在任何群 $G$ 中，我们有 $\langle g\rangle \leq {C}_{G}\left( g\right)$ ；这个观察有助于最小化共轭类的计算。例如，在四元数群 ${Q}_{8}$ 中，我们可以看到 $\langle i\rangle \leq {C}_{{Q}_{8}}\left( i\right) \leq {Q}_{8}$ 。由于 $i \notin Z\left( {Q}_{8}\right)$ 和 $\left| {{Q}_{8} : \langle i\rangle }\right| = 2$ ，我们必须有 ${C}_{{Q}_{8}}\left( i\right) = \langle i\rangle$ 。因此 $i$ 在 ${Q}_{8}$ 中恰好有2个共轭，即 $i$ 和 $- i = {ki}{k}^{-1}$ 。${Q}_{8}$ 中的其他共轭类也可以类似地确定，并且是

前两个类形成 $Z\left( {Q}_{8}\right)$ ，这个群的类方程是

(3) 在 ${D}_{8}$ 中，我们还可能利用指数为2的三个子群是阿贝尔群的事实，迅速看出如果 $x \notin Z\left( {D}_{8}\right)$ ，那么 $\left| {{C}_{{D}_{8}}\left( x\right) }\right| = 4$ 。${D}_{8}$ 的共轭类是

$\{ 1\} ,\;\left\{ {r}^{2}\right\} ,\;\left\{ {r,{r}^{3}}\right\} ,\;\left\{ {s,s{r}^{2}}\right\} ,\;\left\{ {{sr},s{r}^{3}}\right\} .$

前两个类形成 $Z\left( {D}_{8}\right)$ ，这个群的类方程是

在讨论更多共轭的例子之前，我们先给出类方程的两个重要推论。类方程的第一个应用是证明阶为素数幂的群具有非平凡中心，这是研究阶为素数幂的群（我们将在第6章回到这一点）的起点。

定理8

如果 $p$ 是一个素数，$P$ 是一个阶为素数幂 ${p}^{\alpha }$ 的群，对于某个 $\alpha \geq 1$ ，那么 $P$ 有一个非平凡中心：$Z\left( P\right) \neq 1$ 。

证明：由类方程

其中 ${g}_{1},\ldots ,{g}_{r}$ 是不同非中心共轭类的代表。根据定义，${C}_{P}\left( {g}_{i}\right) \neq P$ 对于 $i = 1,2,\ldots ,r$ 因此 $p$ 整除 $\left| {P : {C}_{P}\left( {g}_{i}\right) }\right|$ 。既然 $p$ 也整除 $\left| P\right|$ ，那么可以推出 $p$ 整除 $\left| {Z\left( P\right) }\right|$ ，因此中心必须是非平凡的。

推论 9

如果 $\left| P\right| = {p}^{2}$ 对于某个素数 $p$ ，那么 $P$ 是阿贝尔群。更准确地说，$P$ 与 ${Z}_{{p}^{2}}$ 或 ${Z}_{p} \times {Z}_{p}$ 同构。

证明：由于 $Z\left( P\right) \neq 1$ 根据定理，因此可以推出 $P/Z\left( P\right)$ 是循环群。由练习 36，第 3.1 节，$P$ 是阿贝尔群。如果 $P$ 有一个阶为 ${p}^{2}$ 的元素，那么 $P$ 是循环群。因此假设 $P$ 的每个非单位元素都有阶 $p$ 。设 $x$ 是 $P$ 的任意非单位元素，并设 $y \in P - \langle x\rangle$ 。由于 $\left| {\langle x,y\rangle }\right| > \left| {\langle x\rangle }\right| = p$ ，我们必须有 $P = \langle x,y\rangle$ 。$x$ 和 $y$ 都有阶 $p$ ，所以 $\langle x\rangle \times \langle y\rangle = {Z}_{p} \times {Z}_{p}$ 。现在直接推出映射 $\left( {{x}^{a},{y}^{b}}\right) \mapsto {x}^{a}{y}^{b}$ 是从 $\langle x\rangle \times \langle y\rangle$ 到 $P$ 的同构。这完成了证明。

${S}_{n}$ 中的共轭

我们接下来考虑对称群中的共轭。熟悉线性代数的读者会认识到，在矩阵群 $G{L}_{n}\left( F\right)$ 中，共轭与“基变换”相同：$A \mapsto {PA}{P}^{-1}$ 。在 ${S}_{n}$ 中的情况是类似的：

命题 10

设 $\sigma ,\tau$ 是对称群 ${S}_{n}$ 的元素，并假设 $\sigma$ 有循环分解

那么 ${\tau \sigma }{\tau }^{-1}$ 有循环分解

即，${\tau \sigma }{\tau }^{-1}$ 是通过将 $\sigma$ 的循环分解中的每个条目 $i$ 替换为条目 $\tau \left( i\right)$ 而得到的。

证明：观察到如果 $\sigma \left( i\right) = j$，那么

因此，如果有序对 $i,j$ 出现在 $\sigma$ 的循环分解中，那么有序对 $\tau \left( i\right) ,\tau \left( j\right)$ 将出现在 ${\tau \sigma }{\tau }^{-1}$ 的循环分解中。这完成了证明。

示例

设 $\sigma = \left( {12}\right) \left( {345}\right) \left( {6789}\right)$ 并且让 $\tau = \left( {1357}\right) \left( {2468}\right)$。那么

定义

(1) 如果 $\sigma \in {S}_{n}$ 是长度为 ${n}_{1},{n}_{2},\ldots ,{n}_{r}$ 的不相交循环的乘积（包括它的1-循环），那么整数 ${n}_{1},{n}_{2},\ldots ,{n}_{r}$ 被称为 $\sigma$ 的循环类型。

(2) 如果 $n \in {\mathbb{Z}}^{ + }$，对 $n$ 的划分是任何非递减的正整数序列，其和为 $n$。

注意，根据上一节的结果，排列的循环类型是唯一的。例如，$m$ -循环在 ${S}_{n}$ 中的循环类型是 $1,1,\ldots ,1,m$，其中 $m$ 前面有 $n - m$ 个1。

命题11

如果 ${S}_{n}$ 的两个元素在 ${S}_{n}$ 中共轭，当且仅当它们具有相同的循环类型。${S}_{n}$ 的共轭类数量等于 $n$ 的划分数量。

证明：根据命题10，共轭排列具有相同的循环类型。反之，假设排列 ${\sigma }_{1}$ 和 ${\sigma }_{2}$ 具有相同的循环类型。将循环按非递增长度排序，包括1-循环（如果 ${\sigma }_{1}$ 和 ${\sigma }_{2}$ 中有几个循环长度相同，则有几种排序方式）。忽略括号，每个循环分解是一个列表，其中从1到 $n$ 的所有整数恰好出现一次。定义 $\tau$ 为一个函数，它将 ${\sigma }_{1}$ 列表中的 ${i}^{\text{th }}$ 整数映射到 ${\sigma }_{2}$ 列表中的 ${i}^{\text{th }}$ 整数。因此 $\tau$ 是一个排列，由于括号在分隔循环分解的每个列表中的位置相同，命题10确保 $\tau {\sigma }_{1}{\tau }^{-1} = {\sigma }_{2}$ ，因此 ${\sigma }_{1}$ 和 ${\sigma }_{2}$ 是共轭的。

由于 ${S}_{n}$ 的共轭类与允许的循环类型之间存在双射，并且 ${S}_{n}$ 中每个排列的循环类型是 $n$ 的一个划分，命题的第二个断言随之成立，从而完成了证明。

示例

(1) 设 ${\sigma }_{1} = \left( 1\right) \left( \begin{array}{ll} 3 & 5 \end{array}\right) \left( \begin{array}{ll} 8 & 9 \end{array}\right) \left( \begin{array}{llll} 2 & 4 & 7 & 6 \end{array}\right)$ 并且 ${\sigma }_{2} = \left( 3\right) \left( \begin{array}{ll} 4 & 7 \end{array}\right) \left( \begin{array}{ll} 8 & 1 \end{array}\right) \left( \begin{array}{llll} 5 & 2 & 6 & 9 \end{array}\right)$ 。然后通过 $\tau \left( 1\right) = 3,\tau \left( 3\right) = 4,\tau \left( 5\right) = 7,\tau \left( 8\right) = 8$ 等定义 $\tau$ 。

并且 $\tau {\sigma }_{1}{\tau }^{-1} = {\sigma }_{2}$ 。

(2) 如果在上一个示例中，我们将 ${\sigma }_{2}$ 重新排序为 ${\sigma }_{2} = \left( 3\right) \left( {81}\right) \left( {47}\right) \left( {5269}\right)$ ，通过交换两个长度为2的循环，那么上述对应的 $\tau$ 由 $\tau \left( 1\right) = 3,\tau \left( 3\right) = 8,\tau \left( 5\right) = 1,\tau \left( 8\right) = 4$ 等定义，这给出了排列

再次以 $\tau {\sigma }_{1}{\tau }^{-1} = {\sigma }_{2}$ ，这表明有许多元素可以将 ${\sigma }_{1}$ 共轭为 ${\sigma }_{2}$ 。

(3) 如果 $n = 5$ ，则5的划分以及共轭类的代表元（不写出1-循环）如下表所示：

Partition of 5	Representative of Conjugacy Class
1, 1, 1, 1, 1	1
1,1,1,2	(12)
1,1 ,3	(123)
1,4	(1 2 3 4)
5	(1 2 3 4 5)
1,2,2	(1 2)(3 4)
2,3	$\left( \begin{array}{ll} 1 & 2 \end{array}\right) \left( \begin{array}{lll} 3 & 4 & 5 \end{array}\right)$

命题11和命题6可以用来展示 ${S}_{n}$ 中某些元素的中心化子。例如，如果 $\sigma$ 是 ${S}_{n}$ 中的一个 $m$ -循环，那么 $\sigma$ 的共轭数（即 $m$ -循环的数目）是

根据命题6，这是 $\sigma : \frac{\left| {S}_{n}\right| }{\left| {C}_{{S}_{n}}\left( \sigma \right) \right| }$ 的中心化子的指数。由于 $\left| {S}_{n}\right| = n$ ! 我们得到

元素 $\sigma$ 显然与 $1,\sigma ,{\sigma }^{2},\ldots ,{\sigma }^{m - 1}$ 交换。它也与 ${S}_{n}$ 中任何与 $\sigma$ 的循环不相交的排列交换，并且有 (n - m)! 个这种类型的排列（在 $\sigma$ 中未出现的数字的全对称群）。这两类元素之积已经解释了 $m \cdot \left( {n - m}\right)$ ! 与 $\sigma$ 交换的元素。根据上面的阶数计算，这是 $\sigma$ 在 ${S}_{n}$ 中的完整中心化子。具体来说，

如果 $\sigma$ 是 ${S}_{n}$ 中的一个 $m$ -循环，那么 ${C}_{{S}_{n}}\left( \sigma \right) = \left\{ {{\sigma }^{i}\tau \mid 0 \leq i \leq m - 1,\tau \in {S}_{n - m}}\right\}$

其中 ${S}_{n - m}$ 表示 ${S}_{n}$ 的子群，该子群固定 $m$ -循环 $\sigma$ 中出现的所有整数（如果 $m = n$ 或 $m = n - 1$ ，则为恒等子群）。

例如，$\sigma = \left( \begin{array}{lll} 1 & 3 & 5 \end{array}\right)$ 在 ${S}_{7}$ 中的中心化子是子群

注意 $\tau \in {S}_{A}$ ，其中 $A = \{ 2,4,6,7\}$ ，因此有4!种选择 $\tau$ ，中心化子的阶数为 $3 \cdot 4! = {72}$ 。

我们将在下一个练习和第5章中讨论 ${S}_{n}$ 中其他元素的中心化子。

我们可以利用关于 ${S}_{n}$ 共轭类的讨论来给出 ${A}_{5}$ 简单性的组合证明。我们首先观察到群 $G$ 的正规子群是 $G$ 共轭类的并集，即，

如果 $H \trianglelefteq G$ ，那么对于 $G$ 的每一个共轭类 $\mathcal{K}$ ，要么 $\mathcal{K} \subseteq H$ 要么 $\mathcal{K} \cap H = \varnothing$ 。

这是因为如果 $x \in \mathcal{K} \cap H$ ，那么 ${gx}{g}^{-1} \in {gH}{g}^{-1}$ 对于所有 $g \in G$ 。由于 $H$ 是正规子群， ${gH}{g}^{-1} = H$ ，因此 $H$ 包含了 $x$ 的所有共轭，即 $\mathcal{K} \subseteq H$ 。定理 12。${A}_{5}$ 是一个简单群。

证明：我们首先计算出 ${A}_{5}$ 的共轭类及其阶。命题 11 不能直接应用，因为即使在 ${S}_{5}$ 中共轭的相同循环类型的两个元素在 ${A}_{5}$ 中也不一定是共轭的。${S}_{n}$ 到 ${A}_{n}$ 的类之间的关系在练习 19 到 22 中进行了详细分析。

我们已经知道，可以取偶排列的循环类型的代表为

在 ${S}_{5}$ 中已经确定了 3-循环和 5-循环的中心化子，并且通过检查这些元素中有哪些包含在 ${A}_{5}$ 中，我们发现

这些群的阶分别是 3 和 5（指数为 20 和 12），因此 ${A}_{5}$ 中有 20 个不同的 (123) 共轭和 12 个不同的 (12345) 共轭。由于 ${S}_{5}$ 中总共有二十个 3-循环（练习 16，第 1.3 节），并且所有这些都位于 ${A}_{5}$ 中，我们发现

在 ${A}_{5}$ 中，所有二十个3-循环都是共轭的。

在 ${A}_{5}$ 中总共有二十四个5-循环，但只有12个不同的5-循环的共轭体 (1 2 3 4 5)。因此，某些5-循环 $\sigma$ 在 ${A}_{5}$ 中不与 (1 2 3 4 5) 共轭（实际上，(13524) 在 ${A}_{5}$ 中不与 (12345) 共轭，因为命题11的证明方法表明，任何将 (1 2 3 4 5) 共轭为 (1 3 5 2 4) 的 ${S}_{5}$ 元素都必须是奇排列）。如上所述，我们可以看到 $\sigma$ 在 ${A}_{5}$ 中也有12个不同的共轭体，因此

5-循环在 ${A}_{5}$ 中位于两个共轭类中，每个类包含12个元素。

由于3-循环和5-循环涵盖了所有奇数阶的非单位元素，因此 ${A}_{5}$ 中剩余的15个非单位元素必须具有阶数2，因此具有循环类型 (2,2)。容易看出 (1 2)(3 4) 与 (1 3)(2 4) 交换，但与 ${A}_{5}$ 中任何奇数阶的元素不交换。因此 $\left| {{C}_{{A}_{5}}\left( {\left( {12}\right) \left( {34}\right) }\right) }\right| = 4$ 。因此 (12)(34) 在 ${A}_{5}$ 中有15个不同的共轭体，因此

${A}_{5}$ 中所有15个阶数为2的元素都与 $\left( {12}\right) \left( {34}\right)$ 共轭。

总结来说，${A}_{5}$ 的共轭类具有阶数1、15、20、12和12。

现在，假设 $H$ 是 ${A}_{5}$ 的正规子群。那么，正如我们上面观察到的，$H$ 将是 ${A}_{5}$ 共轭类的并集。那么 $H$ 的阶数既是 60（${A}_{5}$ 的阶数）的约数，也是某些整数集合 $\{ 1,{12},{12},{15},{20}\}$（${A}_{5}$ 中共轭类的大小）的和。快速检查显示唯一可能的情况是 $\left| H\right| = 1$ 或 $\left| H\right| = {60}$，因此 ${A}_{5}$ 没有适当的非平凡正规子群。

右群作用

如第 1.7 节所述，在作用的定义中，群元素出现在集合元素的左侧，因此我们的作用概念更精确地可以称为左群作用。可以类似地定义群 $G$ 在非空集合 $A$ 上的右群作用，作为一个从 $A \times G$ 到 $A$ 的映射，表示为 $a \cdot g$ 对于 $a \in A$ 和 $g \in G$，它满足以下公理：

（1）$\left( {a \cdot {g}_{1}}\right) \cdot {g}_{2} = a \cdot \left( {{g}_{1}{g}_{2}}\right)$ 对于所有的 $a \in A$ 和 ${g}_{1},{g}_{2} \in G$，以及

（2）$a \cdot 1 = a$ 对于所有的 $a \in A$。

在群论的大部分文献中，共轭被写成使用以下记号的右群作用：

同样，对于 $G$ 的子集 $S$，定义 ${S}^{g} = {g}^{-1}{Sg}$。在这种记法中，右作用的两个公理验证如下：

和

对于所有 ${g}_{1},{g}_{2},a \in G$ 。因此，这个群对自己右侧作用的两个公理采取了熟悉的“指数法则”的形式。（注意，群元素 $a$ 的整数幂 ${a}^{n}$ 可以通过指数的性质容易地与共轭 ${a}^{g}$ 区分开来：$n \in \mathbb{Z}$ 但 $g \in G$ 。）由于共轭在群论中如此普遍，这种记法是一种有用且高效的简写（与总是写出 ${ga}{g}^{-1}$ 或 $g \cdot a$ 以表示共轭的左侧作用相比）。

对于任意的群作用，验证如果给定一个 $G$ 在 $A$ 上的左群作用，那么由 $a \cdot g = {g}^{-1} \cdot a$ 定义的映射 $A \times G \rightarrow A$ 是一个右群作用，这是一个简单的练习。反之，给定一个 $G$ 在 $A$ 上的右群作用，我们可以通过 $g \cdot a = a \cdot {g}^{-1}$ 形成一个左群作用。将这些对称为相应的群作用。换句话说，对于相应的群作用，$g$ 在左侧的作用方式与 ${g}^{-1}$ 在右侧的作用方式相同。这对于共轭作用尤其明显，因为“$g$ 对 $a$ 的左共轭”，即 ${ga}{g}^{-1}$ ，与“${g}^{-1}$ 对 $a$ 的右共轭”，即 ${a}^{{g}^{-1}}$ ，是同一个群元素。因此，一个群的两个元素或子集是“左共轭”当且仅当它们是“右共轭”，因此“共轭”关系对于左和右的相应作用是相同的。更一般地，也是一个练习（练习1），可以看出对于任何相应的左和右作用，轨道是相同的。

我们一直使用左作用，因为它们与在左侧应用函数的表示法兼容（即，与表示法 $\varphi \left( g\right)$ 兼容）；这样，在子群的左陪集上的左乘法是一个左作用。同样，在子群的右陪集上的右乘法是一个右作用，并且相关的排列表示 $\varphi$ 是一个同态，前提是函数 $\varphi : G \rightarrow {S}_{A}$ 写在右侧为 $\left( {{g}_{1}{g}_{2}}\right) \varphi$（并且还要求 ${S}_{A}$ 中的排列写在右侧作为从 $A$ 到自身的函数）。有些情况下，一个集合允许一个群 $G$ 的两种作用：一种自然地在左侧，另一种在右侧，因此熟悉这两种类型的作用是有用的。