4.2 凯莱定理

翻斗花园爷爷
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通过左乘法自身作用 — 凯莱定理

在这一节中 GG 是任意的群，我们首先考虑 GG 通过左乘法作用于其自身（即 A=GA = G）：

g⋅a=ga   for all g∈G,a∈Gg \cdot a = {ga}\;\text{ for all }g \in G,a \in G

其中 ga{ga} 表示群中两个元素 gg 和 aa 的乘积（如果 GG 是加法表示，则该作用将写作 g⋅a=g+ag \cdot a = g + a 并称为左平移）。我们在第1.7节中看到这满足群作用的两个公理。

当 GG 是一个有限群，其阶为 nn 时，为了描述由此作用产生的置换表示，方便地用整数 1,2,…,n1,2,\ldots ,n 标记 GG 的元素。这样，GG 的元素被列为 g1,g2,…,gn{g}_{1},{g}_{2},\ldots ,{g}_{n}，对于每个 g∈Gg \in G，置换 σg{\sigma }_{g} 可以描述为索引 1,2,…,n1,2,\ldots ,n 的置换，如下所示：

σg(i)=j   if and only if   ggi=gj.{\sigma }_{g}\left( i\right) = j\;\text{ if and only if }\;g{g}_{i} = {g}_{j}.

对群元素的另一种标记将给出 σg{\sigma }_{g} 作为 {1,2,…,n}\{ 1,2,\ldots ,n\} 的置换的不同描述。

示例

设 G={1,a,b,c}G = \{ 1,a,b,c\} 为克莱因四元群，其群表在第2.5节中给出。将群元素 1,a,b,c1,a,b,c 分别标记为1,2,3,4。在此标记下，我们计算由群元素 aa 的左乘法作用引起的置换 σa{\sigma }_{a}。

a⋅1=a1=a and so σa(1)=2a \cdot 1 = {a1} = a\ \text{and so}\ {\sigma }_{a}\left( 1\right) = 2
a⋅a=aa=1 and so σa(2)=1a \cdot a = {aa} = 1\text{ and so }{\sigma }_{a}\left( 2\right) = 1
a⋅b=ab=c and so σa(3)=4a \cdot b = {ab} = c\ \text{and so}\ {\sigma }_{a}\left( 3\right) = 4
a⋅c=ac=b and so σa(4)=3.a \cdot c = {ac} = b\ \text{and so}\ {\sigma }_{a}\left( 4\right) = 3\text{.}

使用这种对 GG 元素的标记，我们可以看到 σa=(12)(34){\sigma }_{a} = \left( \begin{array}{ll} 1 & 2 \end{array}\right) \left( \begin{array}{ll} 3 & 4 \end{array}\right) 。在由克莱因四元群对自己进行左乘作用的排列表示中，同样可以计算出

a↦σa=(12)(34)  b↦σb=(13)(24)  c↦σc=(14)(23),a \mapsto {\sigma }_{a} = \left( {12}\right) \left( {34}\right) \;b \mapsto {\sigma }_{b} = \left( {13}\right) \left( {24}\right) \;c \mapsto {\sigma }_{c} = \left( {14}\right) \left( {23}\right) ,

这明确给出了在这种标记下与该作用相关的排列表示 G→S4G \rightarrow {S}_{4}。

很容易看出（我们很快将在更一般的背景下证明这一点），一个群对自己进行左乘作用总是可传递且忠实的，且任何点的稳定子是单位子群（这些事实可以通过检查上述例子来验证）。

我们现在考虑群通过左乘作用在元素集合上的一般化。设 HH 是 GG 的任意子群，AA 是 GG 中所有左陪集的集合。定义 GG 对 AA 的作用为

g⋅aH=gaH   for all g∈G,aH∈Ag \cdot {aH} = {gaH}\;\text{ for all }g \in G,{aH} \in A

其中 gaH{gaH} 是以 ga{ga} 为代表的左陪集。可以轻易验证这满足群作用的两个公理，即 GG 确实通过左乘作用在 HH 的左陪集上。在 HH 是 GG 的单位子群的特殊情况下，陪集 aH{aH} 就是 {a}\{ a\} ，如果我们把元素 aa 与集合 {a}\{ a\} 等同起来，那么单位子群的左陪集的左乘作用与 GG 对自己进行左乘作用是相同的。

当 HH 在 GG 中的指数 mm 为有限时，为了描述这种作用下的置换表示，方便将 HH 的左陪集用整数 1,2,…,m1,2,\ldots ,m 标记。这样，HH 在 GG 中的不同左陪集可以列为 a1H,a2H,…,amH{a}_{1}H,{a}_{2}H,\ldots ,{a}_{m}H，对于每个 g∈Gg \in G，置换 σg{\sigma }_{g} 可以描述为指标 1,2,…,m1,2,\ldots ,m 的置换，如下所示：

σg(i)=j   if and only if   gaiH=ajH.{\sigma }_{g}\left( i\right) = j\;\text{ if and only if }\;g{a}_{i}H = {a}_{j}H.

对群元素的另一种标记将给出 σg{\sigma }_{g} 作为 {1,2,…,m}\{ 1,2,\ldots ,m\} 的置换的不同描述（参见练习）。

示例

设 G=D8G = {D}_{8} 并且让 H=⟨s⟩H = \langle s\rangle 。将不同的左陪集 1H,rH,r2H,r3H{1H},{rH},{r}^{2}H,{r}^{3}H 分别用整数 1,2,3,4 标记。在这种标记下，我们计算左乘群元素 ss 作用在 HH 的左陪集上所诱导的置换 σs{\sigma }_{s}：

s⋅1H=sH=1Hs \cdot \dfrac{1}{H} = \dfrac{s}{H} = \dfrac{1}{H} 因此 σs(1)=1{\sigma }_{s}\left( 1\right) = 1

s⋅rH=sr⁡H=r3Hs \cdot {rH} = \operatorname{sr}H = {r}^{3}H 因此 σs(2)=4{\sigma }_{s}\left( 2\right) = 4

s⋅r2H=sr2H=r2Hs \cdot {r}^{2}H = s{r}^{2}H = {r}^{2}H 因此 σs(3)=3{\sigma }_{s}\left( 3\right) = 3

s⋅r3H=sr3H=rHs \cdot {r}^{3}H = s{r}^{3}H = {rH} 因此 σs(4)=2{\sigma }_{s}\left( 4\right) = 2 。

在这种标记下，我们得到 HH 的左陪集的 σs=(24){\sigma }_{s} = \left( \begin{array}{ll} 2 & 4 \end{array}\right) 。在 D8{D}_{8} 作用于 ⟨s⟩\langle s\rangle 的左陪集上的左乘作用对应的置换表示中，同样可以计算出 σr=(1234){\sigma }_{r} = \left( \begin{array}{llll} 1 & 2 & 3 & 4 \end{array}\right) 。注意置换表示是一个同态，所以一旦确定了它在 D8{D}_{8} 的生成元上的值，就可以确定它在任何其他元素上的值（例如，σsr2=σsσr2{\sigma }_{s{r}^{2}} = {\sigma }_{s}{\sigma }_{r}^{2} ）。

定理3

设 GG 是一个群，HH 是 GG 的一个子群，并且 GG 通过左乘作用于 GG 中 HH 的左陪集的集合 AA 。设 πH{\pi }_{H} 是由此作用产生的相关排列表示。那么

(1) GG 在 AA 上作用是传递的

(2) 在 GG 中关于点 1H∈A{1H} \in A 的稳定子是子群 HH

(3) 作用的核（即 πH{\pi }_{H} 的核）是 ∩x∈GxHx−1{ \cap }_{x \in G}{xH}{x}^{-1}，并且 ker⁡πH\ker {\pi }_{H} 是包含在 GG 中的 HH 的最大正规子群。

证明：为了证明 GG 在 AA 上作用是传递的，设 aH{aH} 和 bH{bH} 是 AA 中的任意两个元素，并且设 g=ba−1g = b{a}^{-1} 。那么 g⋅aH=(ba−1)aH=bHg \cdot {aH} = \left( {b{a}^{-1}}\right) {aH} = {bH}，因此 AA 中的两个任意元素 aH{aH} 和 bH{bH} 位于同一个轨道中，这证明了 (1)。对于 (2)，根据定义，点 lH{lH} 的稳定子是 {g∈G∣g⋅1H=1H},\{ g \in G \mid g \cdot {1H} = {1H}\} ,，即 {g∈G∣gH=H}=H.\{ g \in G \mid {gH} = H\} = H.

根据 πH{\pi }_{H} 的定义，我们有

ker⁡πH={g∈G∣gxH=xH for all x∈G}\ker {\pi }_{H} = \left\{ {g \in G \mid {gxH} = {xH}\text{ for all }x \in G}\right\}
={g∈G∣(x−1gx)H=H for all x∈G}= \left\{ {g \in G \mid \left( {{x}^{-1}{gx}}\right) H = H\text{ for all }x \in G}\right\}
={g∈G∣x−1gx∈H for all x∈G}= \left\{ {g \in G \mid {x}^{-1}{gx} \in H\text{ for all }x \in G}\right\}
={g∈G∣g∈xHx−1 for all x∈G}=⋂x∈GxHx−1,= \left\{ {g \in G \mid g \in {xH}{x}^{-1}\text{ for all }x \in G}\right\} = \mathop{\bigcap }\limits_{{x \in G}}{xH}{x}^{-1},

这证明了 (3) 的第一个断言。 (3) 的第二个断言来自于首先观察到 ker⁡πH⊴G\ker {\pi }_{H} \trianglelefteq G 和 ker⁡πH≤H\ker {\pi }_{H} \leq H 。如果现在 NN 是 GG 中包含在 HH 中的任意正规子群，那么对于所有 x∈Gx \in G 我们有 N=xNx−1≤xHx−1N = {xN}{x}^{-1} \leq {xH}{x}^{-1}，因此

N≤⋂x∈GxHx−1=ker⁡πHN \leq \mathop{\bigcap }\limits_{{x \in G}}{xH}{x}^{-1} = \ker {\pi }_{H}

这表明 ker⁡πH\ker {\pi }_{H} 是包含在 HH 中的 GG 的最大正规子群。

推论 4.（凯莱定理）

每个群同构于某个对称群的一个子群。如果 GG 是一个阶为 nn 的群，那么 GG 同构于 Sn{S}_{n} 的一个子群。

证明：设 H=1H = 1 并应用前一定理得到 GG 到 SG{S}_{G} 的同态（在这里，我们将单位子群的陪集与 GG 的元素标识为相同）。由于这个同态的核包含在 H=1,GH = 1,G 中，所以它同构于在 SG{S}_{G} 中的像。

注意 GG 同构于对称群的一个子群，而不是整个对称群本身。例如，我们展示了克莱因四元群与 ⟨(12)(34),(13)(24)⟩\langle \left( {12}\right) \left( {34}\right) ,\left( {13}\right) \left( {24}\right) \rangle 的子群 S4{S}_{4} 的同构。回忆对称群的子群被称为置换群，因此凯莱定理表明每个群同构于一个置换群。左乘 GG 的元素（H=1H = 1 的陪集）所提供的置换表示称为 GG 的左正则表示。

下一个结果推广了我们关于指数为2的子群正规性的结果。

推论5

如果 GG 是一个阶为 nn 的有限群，且 pp 是 ∣G∣\left| G\right| 的最小素因子，那么任何指数为 pp 的子群都是正规子群。

注意：一般来说，阶为 nn 的群不一定有指数为 pp 的子群（例如，A4{A}_{4} 没有指数为2的子群）。

证明：假设 H≤GH \leq G 和 ∣G:H∣=p\left| {G : H}\right| = p 。令 πH{\pi }_{H} 是由在 GG 中 HH 的左陪集上的乘法所提供的置换表示，令 K=ker⁡πHK = \ker {\pi }_{H} 并且令 ∣H:K∣=k\left| {H : K}\right| = k 。那么 ∣G:K∣=∣G:H∣∣H:K∣=pk\left| {G : K}\right| = \left| {G : H}\right| \left| {H : K}\right| = {pk} 。由于 HH 有 pp 个左陪集，根据第一同构定理，G/KG/K 与 Sp{S}_{p} 的一个子群（即 GG 在 πH{\pi }_{H} 下的像）同构。由拉格朗日定理，pk=∣G/K∣{pk} = \left| {G/K}\right| 整除 p!.p!. 。因此 k∣p!p=(p−1)k \mid \frac{p!}{p} = \left( {p - 1}\right) !。但是 (p - 1)! 的所有素数因子都小于 pp ，并且由 pp 的最小性，kk 的每个素数因子都大于或等于 pp 。这迫使 k=1k = 1 ，所以 H=K⊴GH = K \trianglelefteq G ，证明完成。

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