4.1 群作用与置换表示

群作用与置换表示

在本节中，我们给出群作用的基本理论，然后将这一理论应用于 ${S}_{n}$ 的子群作用于 $\{ 1,2,\ldots ,n\}$，以证明 ${S}_{n}$ 的每个元素都有一个唯一的循环分解。在第2和第3节中，我们将一般理论应用于两种其他具体的群作用，以导出一些重要结果。

设 $G$ 是作用于非空集合 $A$ 的一个群。回顾第1.7节，对于每个 $g \in G$，映射

是 $A$ 的一个置换。我们还在第1.7节中看到，与 $G$ 作用于 $A$ 相关有一个同态：

称为与给定作用相关的置换表示。回顾在第1.7节和2.2节中引入的与群作用相关的一些附加术语。

定义

(1)作用的核是 $G$ 中作用于 $A : \{ g \in G \mid g \cdot a = a$ 的每个元素都为平凡的元素集合 $a \in A\}$。

(2) 对于每一个 $a \in A$，在 $G$ 中 $a$ 的稳定子是 $G$ 中固定元素 $a : \{ g \in G \mid g \cdot a = a\}$ 的元素集合，记作 ${G}_{a}$。

(3) 如果一个作用的核是单位元，则该作用是忠实的。

注意，作用的核与相关排列表示的核完全相同；特别是，核是 $G$ 的正规子群。两个群元素在 $A$ 上诱导相同的排列当且仅当它们在核的同一个陪集中（当且仅当它们在排列表示 $\varphi$ 的同一个纤维中）。特别是，$G$ 在 $A$ 上的作用也可以视为商群 $G/\ker \varphi$ 在 $A$ 上的忠实作用。回顾第2.2节，$G$ 中一个元素 $a$ 的稳定子是 $G$ 的一个子群。如果 $a$ 是 $A$ 的一个固定元素，那么作用的核包含在稳定子 ${G}_{a}$ 中，因为作用的核是 $G$ 中稳定每个点的元素集合，即 ${ \cap }_{a \in A}{G}_{a}$。

示例

(1) 设 $n$ 是一个正整数。$G = {S}_{n}$ 群通过 $\sigma \cdot i = \sigma \left( i\right)$ 对集合 $A = \{ 1,2,\ldots ,n\}$ 进行作用，对于所有 $i \in \{ 1,\ldots ,n\}$。与此作用相关的排列表示是恒等映射 $\varphi : {S}_{n} \rightarrow {S}_{n}$。这个作用是忠实的，对于每个 $i \in \{ 1,\ldots ,n\}$，稳定子 ${G}_{i}$（固定 $i$ 的所有排列的子群）同构于 ${S}_{n - 1}$（参见练习15，第3.2节）。

(2) 令 $G = {D}_{8}$ 作用于由正方形的四个顶点组成的集合 $A$ 。按顺时针方向将这些顶点标记为1,2,3,4，如图1.2节的图2所示。令 $r$ 为正方形顺时针旋转 $\pi /2$ 弧度的旋转，令 $s$ 为通过顶点1和3的直线的反射。那么由 $r$ 和 $s$ 给出的顶点排列是

注意，由于排列表示是一个同态，对应于 ${sr}$ 的四个顶点的排列是 ${\sigma }_{sr} = {\sigma }_{s}{\sigma }_{r} = \left( \begin{array}{ll} 1 & 4 \end{array}\right) \left( \begin{array}{ll} 2 & 3 \end{array}\right)$ 。${D}_{8}$ 对正方形四个顶点的作用是忠实的，因为只有恒等对称能固定所有四个顶点。任何顶点 $a$ 的稳定子是 ${D}_{8}$ 中由关于通过 $a$ 和正方形中心的直线的反射生成的阶为2的子群（例如，顶点1的稳定子是 $\langle s\rangle$ ）。

(3) 按前一个例子中的方式标记正方形的四个顶点，现在令 $A$ 为由相对顶点的无序对组成的集合： $A = \{ \;\{ 1,3\} \;,\;\{ 2,4\} \;\} .$ 然后 ${D}_{8}$ 也作用于这个集合 $A$ ，因为正方形的每个对称都把一对相对顶点映射到另一对相对顶点。旋转 $r$ 交换对 $\{ 1,3\}$ 和 $\{ 2,4\}$ ；反射 $s$ 固定两对相对顶点。因此，如果我们分别将 $\{ 1,3\}$ 和 $\{ 2,4\}$ 标记为1和2，那么由 $r$ 和 $s$ 给出的 $A$ 的排列是

这个 ${D}_{8}$ 的动作是不可靠的：它的核是 $\left\langle {s,{r}^{2}}\right\rangle$ 。此外，对于每个 $a \in A$ ，在 ${D}_{8}$ 中 $a$ 的稳定子与该动作的核是相同的。

(4) 将正方形的四个顶点标记如例2所示，现在让 $A$ 是以下顶点无序对集合：$\left\{ {\{ 1,2\} ,\{ 3,4\} }\right\}$ 。群 ${D}_{8}$ 不在这个集合 $A$ 上作用，因为 $\{ 1,2\} \in A$ 但 $r \cdot \{ 1,2\} = \{ 2,3\} \notin A$ 。

动作与到对称群的同态之间的关系可能是可逆的。具体来说，给定任何非空集合 $A$ 和群 $G$ 到 ${S}_{A}$ 的任何同态 $\varphi$ ，我们通过定义获得 $G$ 在 $A$ 上的一个动作

对于所有 $g \in G$ 和所有 $a \in A$ 。这个动作的核与 $\ker \varphi$ 相同。与这个动作相关的排列表示正好是给定的同态 $\varphi$ 。这证明了以下结果。

命题1

对于任何群 $G$ 和任何非空集合 $A$ ，存在 $G$ 在 $A$ 上的动作与 $G$ 到 ${S}_{A}$ 的同态之间的双射。

根据命题1，排列表示的定义可以被重新表述。

定义

如果 $G$ 是一个群，那么 $G$ 的排列表示是 $G$ 到某个非空集合 $A$ 的对称群 ${S}_{A}$ 的任何同态。我们说 $G$ 在 $A$ 上的给定动作提供了或诱导了 $G$ 的相关排列表示。

我们可以将排列表示视为线性变换矩阵表示的类似物。在 $A$ 是一个包含 $n$ 元素的有限集的情况下，我们有 ${S}_{A} \cong {S}_{n}$（参见第1.6节），因此，通过固定 $A$ 元素的标记，我们可以将排列视为群 ${S}_{n}$ 的元素（这正是我们在上面的例2和例3中所做的），就像固定向量空间的一个基允许我们将线性变换视为矩阵一样。

我们现在证明一个关于群作用的组合结果，当我们将其应用于后续章节中的特定作用时，这将产生重要的后果。

命题2

设 $G$ 是作用在非空集 $A$ 上的群。由以下关系定义的 $A$ 上的关系

是一个等价关系。对于每个 $a \in A$ ，包含 $a$ 的等价类中的元素数量是 $\left| {G : {G}_{a}}\right|$ ，即 $a$ 的稳定子的指数。

证明：我们首先证明 $\sim$ 是一个等价关系。根据作用的公理2，对于所有的 $a \in A$ ，$a = 1 \cdot a$ ，即 $a \sim a$ ，关系是自反的。如果 $a \sim b$ ，那么对于某个 $b \in G$ ，有 $a = g \cdot b$ ，因此

即 $b \sim a$ ，关系是对称的。最后，如果 $a \sim b$ 且 $b \sim c$ ，那么 $a = g \cdot b$ 且 $b = h \cdot c$ ，对于某个 $g,h \in G$ ，所以

因此 $a \sim c$ ，关系是传递的。

为了证明命题的最后一个陈述，我们展示了 ${G}_{a}$ 在 $G$ 中的左陪集与 $a$ 等价类中的元素之间的一一对应。设 ${\mathcal{C}}_{a}$ 为 $a$ 的类，所以

假设 $b = g \cdot a \in {\mathcal{C}}_{a}$ 。那么 $g{G}_{a}$ 是 ${G}_{a}$ 在 $G$ 中的一个左陪集。映射

是从 ${\mathcal{C}}_{a}$ 到 ${G}_{a}$ 在 $G$ 中的左陪集集合的映射。这个映射是满射，因为对于任何 $g \in G$ ，元素 $g \cdot a$ 是 ${\mathcal{C}}_{a}$ 的一个元素。由于 $g \cdot a = h \cdot a$ 当且仅当 ${h}^{-1}g \in {G}_{a}$ 当且仅当 $g{G}_{a} = h{G}_{a}$ ，该映射也是单射，因此是一一对应。这完成了证明。

根据命题2，一个群 $G$ 作用在集合 $A$ 上将 $A$ 划分为 $G$ 作用下的不相交等价类。这些类被赋予一个名称：

定义

设 $G$ 为作用在非空集合 $A$ 上的群。

(1)等价类 $\{ g \cdot a \mid g \in G\}$ 被称为包含 $G$ 的轨道。

(2)如果 $G$ 在 $A$ 上的作用是传递的，则只有一个轨道，即对于任意两个元素 $a,b \in A$ ，存在某个 $g \in G$ 使得 $a = g \cdot b$ 。

示例

设 $G$ 为作用在集合 $A$ 上的群。

(1) 如果 $G$ 在 $A$ 上作用是平凡的，那么 ${G}_{a} = G$ 对于所有 $a \in A$ ，轨道是 A 的元素。这种作用当且仅当 $\left| A\right| = 1$ 时是传递的。

(2) 对称群 $G = {S}_{n}$ 在其通常的置换作用 $A = \{ 1,2,\ldots ,n\}$ 上是传递的。注意，在 $G$ 中任何点 $i$ 的稳定子群在 ${S}_{n}$ 中的指数为 $n = \left| A\right|$。

(3) 当群 $G$ 作用于集合 $A$ 时，$G$ 的任何子群也作用于 $A$。如果 $G$ 在 $A$ 上是传递的，$G$ 的子群不一定在 $A$ 上也是传递的。例如，如果 $G =$ $\langle \left( {12}\right) ,\left( {34}\right) \rangle \leq {S}_{4}$，那么 $G$ 在 $\{ 1,2,3,4\}$ 上的轨道是 $\{ 1,2\}$ 和 $\{ 3,4\}$，并且不存在 $G$ 中的元素能够将 2 变为 3。下面关于循环分解的讨论表明，当 $\langle \sigma \rangle$ 是 ${S}_{n}$ 的任何循环子群时，$\langle \sigma \rangle$ 的轨道由循环分解 $\sigma$ 中各个循环出现的数字集合组成（例如，$\langle \left( {12}\right) \left( {345}\right) \rangle$ 的轨道是 $\{ 1,2\}$ 和 $\{ 3,4,5\}$）。

(4) 群 ${D}_{8}$ 在正方形的四个顶点上传递作用，并且任何顶点的稳定子群是阶数为 2（指数为 4）的子群，由通过该点的对称线上的反射生成。

(5) 群 ${D}_{8}$ 也作用于一对对顶点的集合上。在这种作用中，任何点的稳定子群是 $\left\langle {s,{r}^{2}}\right\rangle$（指数为 2）。

循环分解

我们现在证明对称群 ${S}_{n}$ 的每个元素都有在1.3节中描述的唯一循环分解。设 $A = \{ 1,2,\ldots ,n\}$ ，设 $\sigma$ 是 ${S}_{n}$ 的一个元素，并且设 $G = \langle \sigma \rangle$ 。那么 $\langle \sigma \rangle$ 作用于 $A$ ，因此，根据命题2，它将 $\{ 1,2,\ldots ,n\}$ 划分为一个唯一的（不相交的）轨道集合。设 $\mathcal{O}$ 是这些轨道之一，并且设 $x \in \mathcal{O}$ 。通过（命题2的）证明应用于 $A = \mathcal{O}$ ，我们可以看到 ${G}_{x}$ 在 $G$ 中的左陪集与 $\mathcal{O}$ 的元素之间存在双射，具体由以下给出：

由于 $G$ 是一个循环群，${G}_{x} \trianglelefteq G$ 并且 $G/{G}_{x}$ 是一个阶数为 $d$ 的循环群，其中 $d$ 是使得 ${\sigma }^{d} \in {G}_{x}$ 成立的最小正整数（参见3.1节命题7后的示例2）。另外，$d = \left| {G : {G}_{x}}\right| = \left| \mathcal{O}\right|$ 。因此 ${G}_{x}$ 在 $G$ 中的不同陪集是

这表明 $\mathcal{O}$ 的不同元素是

以这种方式对 $\mathcal{O}$ 的元素进行排序表明 $\sigma$ 循环 $\mathcal{O}$ 的元素，即在大小为 $d,\sigma$ 的轨道上作为一个 $d$ -循环起作用。这证明了每个 $\sigma \in {S}_{n}$ 存在循环分解。

$\langle \sigma \rangle$ 的轨道由 $\sigma$ 唯一确定。唯一可变的是轨道的列出顺序。在每个轨道 $\mathcal{O}$ 中，我们可以以任何元素作为代表。选择 ${\sigma }^{i}\left( x\right)$ 而不是 $x$ 作为初始代表仅仅将以 $\mathcal{O}$ 的元素的顺序产生。

这是对原始列表的循环置换（向前 $i - 1$ 项）。因此，上面的循环分解在循环的重新排列和每个循环内整数的循环置换下是唯一的。

对称群的子群被称为置换群。对于任何 $G$ 的子群 ${S}_{n}$，$G$ 的轨道将指的是它在 $\{ 1,2,\ldots ,n\}$ 上的轨道。在 ${S}_{n}$ 中的元素 $\sigma$ 的轨道将意味着群 $\langle \sigma \rangle$ 的轨道（即其循环分解中包含的整数集合）。