2.5 一个群的子群格

一个群的子群格

在这一节中，我们描述了一个与群相关的图，它描绘了其子群之间的关系。这个图称为群的子群格 ${}^{2}$，是“可视化”群的一种好方法 - 它当然比群表更能照亮群的结构。我们将在群论的章节中，使用格图或它们的某部分来描述特定的群和一般群的某些性质。此外，一个群的子群格在伽罗瓦理论中也将扮演重要角色。

给定有限群的子群格 $G$ 的构建如下：从底部开始绘制 $G$ 的所有子群，以 1 开始，顶部以 $G$ 结束，粗略地说，阶数较大的子群在页面上的位置高于阶数较小的子群。使用以下规则在子群之间向上绘制路径：如果 $A \leq B$ 且在 $A$ 和 $B$ 之间没有其他子群，则从 $A$ 到 $B$ 有一条向上的线。因此，如果 $A \leq B$ ，则存在一条（可能是多条）从 $A$ 到 $B$ 的向上路径，穿过一系列中间子群（如果 $B \geq A$ ，则也存在一条从 $B$ 到 $A$ 的向下路径）。子群在页面上的初始定位，在先验上是有些任意的，但通常（通过实践）可以选择以产生一个简单的图形。注意，对于 $G$ 的任意一对子群 $H$ 和 $K$，唯一包含它们的 smallest 子群，即 $\langle H,K\rangle$（称为 $H$ 和 $K$ 的连接），可以通过以下方式从格中读出：从 $H$ 和 $K$ 向上追踪路径，直到达到一个共同的子群 $A$，该子群包含 $H$ 和 $K$（注意 $G$ 本身总是包含所有子群，所以至少存在一个这样的 $A$）。为了确保 $A = \langle H,K\rangle$，请确保没有 ${A}_{1} \leq A$（由从 $A$ 到 ${A}_{1}$ 的向下路径指示）同时包含 $H$ 和 $K$（否则，用 ${A}_{1}$ 替换 $A$ 并重复该过程以查看 ${A}_{1} = \langle H,K\rangle$）。通过一个对称的过程，可以读出 $G$ 中同时包含 $H$ 和 $K$ 的最大子群，即它们的交集（根据命题 8，它是一个子群）。

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${}^{2}$ The term "lattice" has a precise mathematical meaning in terms of partially ordered sets.

术语“格子”在偏序集方面具有精确的数学含义。

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此过程存在一些限制，特别是它本身不能用于无限群。即使是相对较小的有限群，格子也可能相当复杂（参见M. Hall和J. Senior所著的《阶数群》（Groups of Order ${2}^{n},n \leq 6$），Macmillan，1964年，其中有一些令人头疼的例子）。在本节末尾，我们将描述如何绘制格子的一部分，即使是对于无限群也可以使用。

注意，同构群具有相同的格子（即相同的方向图）。不同构的群也可能有相同的格子（对于两个16阶的群来说就是如此——参见以下练习）。由于子群的格子只是我们将要在群的描述符中携带的数据的一部分，这不会是一个严重的问题（实际上，这甚至可能有助于观察两个不同构的群是否具有一些共同的性质）。

示例

除了循环群（示例1）之外，我们尚未证明以下格子是正确的（例如，包含给定群的所有子群或具有正确的连接和交集）。目前，我们将这些事实视为已知，随着我们在文本中构建更多的理论，我们将把这些证明作为练习，以证明这些确实是正确的。

（1）对于 $G = {Z}_{n} \cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ，根据定理7，$G$ 的子群格子是 $n$ 的除数格子（即，$n$ 的除数写在一张页面上，$n$ 在底部，1在顶部，如果 $b \mid a$ ，则从 $a$ 到 $b$ 有向上的路径）。以下是一些不同 $n$ 值的具体示例。

一般而言，如果 $p$ 是一个质数，那么 $\mathbb{Z}/{p}^{n}\mathbb{Z}$ 的格子是

(2) 克莱因四元群（Viergruppe），${V}_{4}$，是阶数为4的群，其乘法表为

注意 ${V}_{4}$ 是阿贝尔群且不与 ${Z}_{4}$ 同构（为什么？）。我们将看到 ${D}_{8}$ 有一个与 ${V}_{4}$ 同构的子群副本，因此不需要验证上述定义的二进制运算满足结合律。

(4) 使用我们通常对 ${D}_{8} = \langle r,s\rangle$ 的表示，${D}_{8}$ 的格子是

(5) ${Q}_{8}$ 的子群格子是

(6) ${D}_{16}$ 的格子不是一个平面图（不能在不交叉的条件下绘制在平面上）。一种绘制方式是

在许多理论证明和具体示例中，我们只对给定群的两个（或一些小数量的）子群及其相互关系的信息感兴趣。为了图形化地表示这些，我们将绘制一个 $\begin{matrix} \text{sublattice} & \text{of the entire group lattice} & \text{which contains the relevant joins and intersections.} \end{matrix}$ 在这样的子格中，一条不间断的线通常并不意味着线的端点之间没有子群。这些群的子格在我们处理无限群时也将被使用。例如，如果我们只想讨论 $\left\langle {s{r}^{2},{r}^{4}}\right\rangle$ 和 $\left\langle {r}^{2}\right\rangle$ 这两个 ${D}_{16}$ 子群之间的关系，我们将绘制子格

注意 $\left\langle {s,{r}^{2}}\right\rangle$ 和 $\left\langle {r}^{4}\right\rangle$ 分别是这两个子群在 ${D}_{16}$ 中的并集和交集。

最后，给定一个群的子群格，相对容易计算正规化和中心化子。例如，在 ${D}_{8}$ 中我们可以看到 ${C}_{{D}_{8}}\left( s\right) = \left\langle {s,{r}^{2}}\right\rangle$ ，因为我们首先计算出 ${r}^{2} \in {C}_{{D}_{8}}\left( s\right)$ （见第2节）。这证明了 $\left\langle {s,{r}^{2}}\right\rangle \leq {C}_{{D}_{8}}\left( s\right)$ （注意，一个元素总是属于它自己的中心化子）。唯一包含 $\left\langle {s,{r}^{2}}\right\rangle$ 的子群是它自身和所有 ${D}_{8}$ 。我们不能有 ${C}_{{D}_{8}}\left( s\right) = {D}_{8}$ ，因为 $r$ 与 $s$ 不交换（即，$r \notin {C}_{{D}_{8}}\left( s\right)$）。这仅留下了 ${C}_{{D}_{8}}\left( s\right)$ 的声明可能性。