2.1 子群定义与示例

定义与示例

解析任何由一组公理定义的数学对象结构的基本方法之一是研究那些同样满足这些公理的对象的子集。我们通过讨论群的子群来开始这个程序。解析结构的另一种基本方法是研究对象的商；商群的概念，粗略地说，是一种将一个群压缩到较小的群的方法，将在下一章中讨论。当我们研究群的子群和商群、环的子环和商环、向量空间的子空间和商空间等时，这两个主题将贯穿全文。

定义

设 $G$ 是一个群。如果 $H$ 是 $G$ 的非空子集，且 $H$ 在乘法和逆元下封闭（即，$x,y \in H$ 蕴含 ${x}^{-1} \in H$ 和 ${xy} \in H)$），那么 $H$ 是 $G$ 的子群，写作 $H ≤G$

$G$ 的子群只是 $G$ 的子集，它们自身关于在 $G$ 中定义的运算构成群，即，$G$ 上的二元运算限制在 $H$ 上给出一个在 $H$ 上结合的、有单位元和每个元素都有逆元的二元运算。

当我们说 $H$ 是 $G$ 的子群时，我们总是指的是群 $H$ 的运算是群 $G$ 的运算在 $H$ 上的限制（一般而言，子集 $H$ 可能具有相对于在 $H$ 上限制的 $G$ 的运算以外的某种运算的结构，参见下面的示例 5(a)）。正如我们对于限制在子集上的函数所做的那样，我们将用相同的符号表示 $G$ 的运算和子群 $H$ 的运算。如果 $H \leq G$ 和 $H \neq G$，我们将写 $H < G$ 以强调包含是真包含。

如果 $H$ 是 $G$ 的子群，那么由于 $H$ 的运算是在 $H$ 上限制的 $G$ 的运算，子群 $H$ 中的任何方程也可以视为群 $G$ 中的方程。因此，$G$ 的消去法则意味着 $H$ 的单位元与 $G$ 的单位元相同（特别地，每个子群必须包含 1，即 $G$ 的单位元），$H$ 中元素 $x$ 的逆元与将 $x$ 作为 $G$ 的元素时的逆元相同（因此，符号 ${x}^{-1}$ 是不明确的）。

示例

(1) $\mathbb{Z} \leq \mathbb{Q}$ 和 $\mathbb{Q} \leq \mathbb{R}$ 以加法为运算。

(2) 任何群 $G$ 都有两个子群：$H = G$ 和 $H = \{ 1\}$；后者称为平凡子群，今后将用 1 表示。

(3) 如果 $G = {D}_{2n}$ 是阶数为 ${2n}$ 的二面体群，令 $H$ 为 $\left\{ {1,r,{r}^{2},\ldots ,{r}^{n - 1}}\right\}$ ，即 $G$ 中所有旋转的集合。由于两个旋转的乘积仍然是一个旋转，且旋转的逆也是一个旋转，因此 $H$ 是 ${D}_{2n}$ 的一个阶数为 $n$ 的子群。

(4) 偶数集合是所有整数在加法下的一个子群。

(5) 一些不是子集的子群示例：

(a) $\mathbb{Q} - \{ 0\}$ 在乘法下不是 $\mathbb{R}$ 在加法下的子群，尽管它们都是群且 $\mathbb{Q} - \{ 0\}$ 是 $\mathbb{R}$ 的一个子集；$\mathbb{Q} - \{ 0\}$ 上的乘法运算不是 $\mathbb{R}$ 上加法运算的限制。

(b) ${\mathbb{Z}}^{ + }$ （在加法下）不是 $\mathbb{Z}$ （在加法下）的子群，因为尽管 ${\mathbb{Z}}^{ + }$ 在加法下封闭，但它不包含 $\mathbb{Z}$ 的单位元素 0，且尽管 $\mathbb{Z}$ 中的每个 $x \in {\mathbb{Z}}^{ + }$ 都有一个加法逆元 $- x$ ，$- x \notin {\mathbb{Z}}^{ + }$ ，即 ${\mathbb{Z}}^{ + }$ 在取逆元的运算下不封闭（特别是 ${\mathbb{Z}}^{ + }$ 在加法下不是一个群）。类似地，$\left( {\mathbb{Z}-\{ 0\} , \times }\right)$ 不是 $\left( {\mathbb{Q}-\{ 0\} , \times }\right)$ 的子群。

(c) ${D}_{6}$ 不是 ${D}_{8}$ 的子群，因为前者甚至不是后者的子集。

(6) “是子群”的关系是传递的：如果 $H$ 是群 $G$ 的一个子群，且 $K$ 是 $H$ 的一个子群，那么 $K$ 也是 $G$ 的一个子群。

如我们在第1章所见，即使对于简单的例子，验证任意给定的二元运算是否满足所有群公理（尤其是结合律）也可能是繁琐的。然而，一旦我们知道我们有一个群，检查它的一个子集是否是（或不是）子群的任务就会简单得多，因为我们需要检查的只是乘法下的封闭性和取逆元下的封闭性。下一个命题表明，这些可以合并为一个单一的测试，并且还表明对于有限群来说，检查乘法下的封闭性就足够了。

命题1.

（子群准则）一个集合 $H$ 是群 $G$ 的子群当且仅当

（1）$H \neq \varnothing$ ，并且

（2）对于所有的 $x,y \in H,x{y}^{-1} \in H$ 。

此外，如果 $H$ 是有限的，那么检查 $H$ 非空并且乘法下封闭就足够了。

证明：如果 $H$ 是 $G$ 的子群，那么显然（1）和（2）成立，因为 $H$ 包含 $G$ 的单位元以及它的每个元素的逆元，并且因为 $H$ 在乘法下封闭。

还需反过来证明，如果 $H$ 同时满足（1）和（2），那么 $H \leq G$ 。设 $x$ 是 $H$ 中的任意元素（根据性质（1），这样的 $x$ 存在）。设 $y = x$ 并应用性质（2）推导出 $1 = x{x}^{-1} \in H$ ，因此 $H$ 包含 $G$ 的单位元。接着，再次根据（2），由于 $H$ 包含 1，而 $x,H$ 包含元素 $1{x}^{-1}$ ，即 ${x}^{-1} \in H$ ，并且 $H$ 在取逆元下是封闭的。最后，如果 $x$ 和 $y$ 是 $H$ 中的任意两个元素，那么根据我们刚刚证明的，$H$ 包含 $x$ 和 ${y}^{-1}$ ，所以根据（2），$H$ 也包含 $x{\left( {y}^{-1}\right) }^{-1} = {xy}$ 。因此 $H$ 在乘法下也是封闭的，这证明了 $H$ 是 $G$ 的一个子群。

现在假设 $H$ 是有限的，并且在乘法下封闭，设 $x$ 是 $H$ 中的任意元素。那么在 $x,{x}^{2},{x}^{3},\ldots$ 中只有有限个不同的元素，所以 ${x}^{a} = {x}^{b}$ 对于某些整数 $a,b$ ，有 $b > a$ 。如果 $n = b - a$ ，那么 ${x}^{n} = 1$ ，因此特别是每个元素 $x \in H$ 都有有限阶。那么 ${x}^{n - 1} = {x}^{-1}$ 是 $H$ 的一个元素，因此 $H$ 在逆元下也是自动封闭的。