1.7 群作用

群作用

在这一节中，我们引入群在集合上作用的精确定义，并给出一些例子。群作用将是一个强大的工具，我们将用它来证明抽象群的定理以及解析具体例子的结构。此外，"作用"的概念是本文中一个反复出现的主题，作为一种通过观察代数对象如何作用于其他结构来研究该对象的方法。

定义

群 $G$ 在集合 $A$ 上的作用是一个从 $G \times A$ 到 $A$ 的映射（写作 $g \cdot a$ ，对于所有 $g \in G$ 和 $a \in A$ ）满足以下性质：

(1) ${g}_{1} \cdot \left( {{g}_{2} \cdot a}\right) = \left( {{g}_{1}{g}_{2}}\right) \cdot a$ ，对于所有 ${g}_{1},{g}_{2} \in G,a \in A$ ，

(2) $1 \cdot a = a$ ，对于所有 $a \in A$ 。

我们将立即变得不那么正式，说 $G$ 是作用在集合 $A$ 上的一个群。表达式 $g \cdot a$ 通常在不会与群的运算混淆时简单地写作 ${ga}$（请记住，$\cdot$ 不是一个二元运算，且 ${ga}$ 总是 $A$ 的一个成员）。注意在性质（1）方程的左侧，${g}_{2} \cdot a$ 是 $A$ 的一个元素(这是由映射的定义决定的)，因此对其进行 ${g}_{1}$ 的作用是有意义的。在这个方程的右侧，乘积 $\left( {{g}_{1}{g}_{2}}\right)$ 在 $G$ 中取值，得到的群元素作用于集合元素 $a$。

在给出群作用的一些例子之前，我们先做一些观察。设群 $G$ 作用于集合 $A$。对于每个固定的 $g \in G$，我们得到一个映射 ${\sigma }_{g}$，定义为

我们证明了两个重要的事实：

（i）对于每个固定的 $g \in G,{\sigma }_{g}$，它是 $A$ 的一个排列，

（ii）由 $g \mapsto {\sigma }_{g}$ 定义的从 $G$ 到 ${S}_{A}$ 的映射是一个同态。

为了看出 ${\sigma }_{g}$ 是 $A$ 的一个排列，我们证明作为从 $A$ 到 $A$ 的集合映射，它有一个两边逆元，即 ${\sigma }_{{g}^{-1}}$（根据第0.1节的命题1，它是排列）。

命题1. 设 $f : A \rightarrow B$ 。

映射 $f$ 是双射当且仅当存在 $g : B \rightarrow A$，使得 $f \circ g$ 是 $B$ 上的恒等映射且 $g \circ f$ 是 $A$ 上的恒等映射。映射 $g$ 必然是唯一的，我们称 $g$ 为 $f$ 的双边逆（或简称为逆）。

集合 $A$ 的一个排列简单地是从 $A$ 到其自身的双射。

对于所有的 $a \in A$

这证明了 ${\sigma }_{{g}^{-1}} \circ {\sigma }_{g}$ 是从 $A$ 到 $A$ 的恒等映射。由于 $g$ 是任意的，我们可以交换 $g$ 和 ${g}^{-1}$ 的角色，以得到 ${\sigma }_{g} \circ {\sigma }_{{g}^{-1}}$ 也是 $A$ 上的恒等映射。因此 ${\sigma }_{g}$ 有一个两边逆元，因此它是 $A$ 的一个排列。

为了验证上述断言 (ii)，设 $\varphi : G \rightarrow {S}_{A}$ 由 $\varphi \left( g\right) = {\sigma }_{g}$ 定义。注意部分 (i) 显示 ${\sigma }_{g}$ 确实是 ${S}_{A}$ 的一个元素。为了证明 $\varphi$ 是一个同态，我们必须证明 $\varphi \left( {{g}_{1}{g}_{2}}\right) = \varphi \left( {g}_{1}\right) \circ \varphi \left( {g}_{2}\right)$（回忆 ${S}_{A}$ 在函数复合下是一个群）。排列 $\varphi \left( {{g}_{1}{g}_{2}}\right)$ 和 $\varphi \left( {g}_{1}\right) \circ \varphi \left( {g}_{2}\right)$ 相等当且仅当它们在每一个元素 $a \in A$ 上的值都相同。对于所有 $a \in A$

这证明了上述断言 (ii)。

直观上，$G$ 对集合 $A$ 的群作用意味着 $G$ 中的每个元素 $g$ 都以与 $G$ 中的群操作一致的方式在 $A$ 上作为排列作用；上述断言 (i) 和 (ii) 使其精确化。上述从 $G$ 到 ${S}_{A}$ 的同态称为与给定作用关联的排列表示。容易看出这个过程是可逆的，在意义上，如果 $\varphi : G \rightarrow {S}_{A}$ 是从群 $G$ 到集合 $A$ 上的对称群中的任意同态，那么由 $G \times A$ 到 $A$ 定义的映射由

满足 $G$ 在 $A$ 上的群作用性质。因此，群 $G$ 在集合 $A$ 上的作用与从 $G$ 到对称群 ${S}_{A}$ 的同态之间存在双射对应（即，本质上是相同的概念，只是用不同的术语表述）。

即这证明了

凯莱定理：每个群都与一个置换群同构

我们还应该注意到，作用的定义可能更精确地命名为左作用，因为群元素出现在集合元素的左侧。我们可以类似地定义右作用的概念。

示例

设 $G$ 为一个群，$A$ 为一个非空集合。在以下每个示例中，验证作用的性质（1）和（2）作为练习留给读者。

(1)设 ${ga} = a$ 对于所有 $g \in G,a \in A$ 。作用性质（1）和（2）立即得出。这种作用称为平凡作用，$G$ 被认为在 A 上作用平凡。注意 $G$ 的不同元素在 $A$ 上诱导出相同的排列（在这种情况下是恒等排列）。相关的排列表示 $G \rightarrow {S}_{A}$ 是平凡同态，它将 $G$ 的每个元素映射到恒等元。

如果 $G$ 在集合 $B$ 上作用，并且 $G$ 的不同元素在 $B$ 上诱导出不同的排列，那么这种作用被称为忠实的。因此，忠实作用是关联的排列表示为单射的作用。

$G$ 在 $B$ 上的作用的核定义为 $\{ g \in G \mid {gb} = b$ 对于所有 $b \in B\} ,$，即 $G$ 中固定 $B$ 所有元素的元素。对于平凡作用，作用的核是 $G$ 的所有元素，并且当 $\left| G\right| > 1$ 时，这种作用不是忠实的。

(2) 向量空间 $V$ 在一个域 $F$ 上的公理包括两个公理，即乘法群 ${F}^{ \times }$ 作用于集合 $V$ 。因此，向量空间是乘法群的熟悉例子，这些群在域上具有更多的结构（特别是，$V$ 必须是一个阿贝尔群），这些结构可以被利用。在 $V = {\mathbb{R}}^{n}$ 和 $F = \mathbb{R}$ 的特殊情况下，作用由以下指定

对于所有 $\alpha \in \mathbb{R},\left( {{r}_{1},{r}_{2},\ldots ,{r}_{n}}\right) \in {\mathbb{R}}^{n}$ ，其中 $\alpha {r}_{i}$ 只不过是两个实数的乘法。

(3) 对于任何非空集合 $A$ ，对称群 ${S}_{A}$ 通过 $\sigma \cdot a = \sigma \left( a\right)$ 作用于 $A$ ，对于所有 $\sigma \in {S}_{A},a \in A$ 。相关的排列表示是从 ${S}_{A}$ 到其自身的恒等映射。

(4) 如果我们固定一个正则 $n$ 边形的顶点标记，${D}_{2n}$ 的每个元素 $\alpha$ 通过对称 $\alpha$ 对应顶点的置换方式产生一个 $\{ 1,2,\ldots ,n\}$ 的排列 ${\sigma }_{\alpha }$ 。由 $\left( {\alpha ,i}\right) \rightarrow {\sigma }_{\alpha }\left( i\right)$ 定义的从 ${D}_{2n} \times \{ 1,2,\ldots ,n\}$ 到 $\{ 1,2,\ldots ,n\}$ 的映射定义了 ${D}_{2n}$ 在 $\{ 1,2,\ldots ,n\}$ 上的群作用。为了与群作用的表示法一致，我们现在可以省略正式且繁琐的表示法 ${\sigma }_{\alpha }\left( i\right)$ ，而用 ${\alpha i}$ 代替。注意，这个作用是忠实的：正则 $n$ 边形的不同对称性诱导顶点的不同排列。

当$n=3$时，${D}_{6}$对三角形的三个（标记的）顶点的作用给出了从${D}_{6}$到${S}_{3}$的内射同态。由于这些组具有相同的顺序，这个映射也必须是满射的，即同构：${D}_{6}\cong{S}_{3}$。这是我们在前一节中通过生成器和关系建立的相同事实的另一个证明。几何上，它说三角形顶点的任何排列都是对称的。对于任何$n$-gon与$n\geq 4$都不成立类似的声明（仅仅出于顺序考虑，我们不能让${D}_{2n}$与${S}_{n}$对于任何$n\geq 4$同构）。

(5)设$G$为任意群，设$A=G$。通过$g\cdot a={ga}$定义从$G\times A$到$A$的映射，对于$G$中的每个$g$和$A$中的每个$a$，其中右侧的${ga}$是群$G$中的$g$和$a$的乘积。这给出了一个关于自身的$G$的群作用，其中$G$中的每个(固定的)$g$通过左乘法排列$G$的元素：

（或者，如果$G$中运算是加法，我们得到$a\mapsto g+a$并称此为左平移）。这个作用被称为$G$对自身的左正则作用。根据消去律，这个作用是忠实的（检查这个）。