1.2 二面体群1.2 DIHEDRAL GROUPS 1.2 二面体群 An important family of

二面体群

群的一个重要例子类别是元素为几何对象对称性的群。当几何对象是规则平面图形时，最简单的子类别出现了。

对于每一个 $n \in {\mathbb{Z}}^{ + },n \geq 3$ ，令 ${D}_{2n}$ 为正 $n$ 边形的对称集，其中对称是任何刚体运动，这种运动可以通过复制 $n$ 边形，在三维空间中以任何方式移动这个副本，然后将副本放回原 $n$ 边形上，使其完全覆盖。更准确地说，我们可以通过首先为 $n$ 的顶点选择一个标记来描述对称，例如如下图中所示。

然后，每一个对称性 $s$ 都可以唯一地由对应的排列 $\sigma$ 来描述 $\{ 1,2,3,\ldots ,n\}$ ，其中如果对称性 $s$ 将顶点 $i$ 放在原来顶点 $j$ 的位置，那么 $\sigma$ 就是将 $i$ 发送到 $j$ 的排列。例如，如果 $s$ 是绕着 $n$ 边形的中心顺时针旋转 ${2\pi }/n$ 弧度，那么 $\sigma$ 就是将 $i$ 发送到 $i + 1,1 \leq i \leq n - 1$ 的排列，以及 $\sigma \left( n\right) = 1$ 。现在通过定义 ${st}$ 对于 $s,t \in {D}_{2n}$ 来构成一个群，这个对称性是通过先对 $n$ 边形应用 $t$ ，然后应用 $s$ 得到的（注意，我们将对称性视为 $n$ 边形上的函数，所以 ${st}$ 只不过是函数的复合 - 按照通常的方式从右到左读取）。如果 $s,t$ 分别对顶点产生排列 $\sigma ,\tau$ ，那么 ${st}$ 产生 $\sigma \circ \tau$ 。在 ${D}_{2n}$ 上的二元运算是结合的，因为函数的复合是结合的。 ${D}_{2n}$ 的单位元是单位对称性（它使所有顶点固定不动），用 1 表示， $s \in {D}_{2n}$ 的逆元是反转 $s$ 的所有刚体运动的对称性（所以如果 $s$ 对顶点产生排列 $\sigma$ ， ${s}^{-1}$ 就产生排列 ${\sigma }^{-1}$ ）。在接下来的段落中我们证明

\left| {D}_{2n}\right| = {2n}

因此 ${D}_{2n}$ 被称为阶数为 ${2n}$ 的二面体群。在一些文献中，这个群被写作 ${D}_{n}$ ；然而， ${D}_{2n}$ （其中下标表示群的阶数而不是顶点的数量）在群论文献中更为常见。

为了找到阶数 $\left| {D}_{2n}\right|$ ，观察到对于任意顶点 $i$ ，存在一个对称操作将顶点 1 移动到位置 $i$ 。由于顶点 2 与顶点 1 相邻，顶点 2 必须位于位置 $i + 1$ 或 $i - 1$ （其中 $n + 1$ 是 1， $1 - 1$ 是 $n$ ，即顶点的整数标签按 ${\;\operatorname{mod}\;n}$ 读取）。此外，通过将第一个对称操作与关于通过顶点 $i$ 和 $n$ 边形中心的直线的反射相结合，可以看出顶点 2 可以通过某种对称操作移动到位置 $i + 1$ 或 $i - 1$ 。因此，在应用对称操作后，顶点 1,2 的有序对可能有 $n \cdot 2$ 个位置。由于对称是刚体运动，一旦确定了顶点 1,2 有序对的位置，对称操作对所有剩余顶点的作用就完全确定了。因此，正 $n$ 边形恰好有 ${2n}$ 个对称。此外，我们可以具体展示 ${2n}$ 个对称。这些对称是 $n$ 个绕中心旋转 ${2\pi i}/n$ 弧度的旋转， $0 \leq i \leq n - 1$ ，以及通过 $n$ 条对称线的反射（如果 $n$ 是奇数，每条对称线通过一个顶点和相对边的中心点；如果 $n$ 是偶数，有 $n/2$ 条对称线通过两个相对顶点， $n/2$ 条对称线垂直平分两个相对边）。例如，如果 $n = 4$ ，并在 $x,y$ 平面的原点画一个正方形，对称线是

$x=0\left({y\text{轴}}\right)、y=0\left({x\text{轴}}\right),y=x$ 和 $y=-x$ （请注意，通过原点的“反射”不是反射，而是 $\pi$ 弧度的旋转）。

由于二面体群将在整个文本中广泛用作示例，我们修复了一些符号并提到了一些计算，这将简化未来的计算，并有助于将 ${D}_{2n}$ 视为一个抽象群（而不是在每个实例中都必须返回几何设置）。修复一个以 $x， y$ 平面的原点为中心的规则 $n$ -gon，并以顺时针方式从1到 $n$ 连续标记顶点。设 $r$ 是通过 ${2\pi}/n$ 弧度围绕原点的顺时针旋转。设 $s$ 是通过顶点1和原点的对称线的反射（我们对每个 $n$ 使用相同的字母，但上下文总是使 $n$ 清晰）。我们将以下计算的细节作为练习（在大多数情况下，我们将使用 ${D}_{6}$ 和 ${D}_{8}$ ，因此读者可能希望先尝试 $n=3$ 和 $n=4$ 的这些练习）：

(1) $1,r,{r}^{2},\ldots ,{r}^{n - 1}$ 都不相同且 ${r}^{n} = 1$ ,所以 $\left| r\right| = n$ .

(2) $\left| s\right| = 2$ .

(3) $s \neq {r}^{i}$ 对任意的 $i$ .

(4) $s{r}^{i} \neq s{r}^{j}$ ,for all $0 \leq i,j \leq n - 1$ with $i \neq j$ ,so

{D}_{2n} = \left\{ {1,r,{r}^{2},\ldots ,{r}^{n - 1},s,{sr},s{r}^{2},\ldots ,s{r}^{n - 1}}\right\}

即，对于某些 $k=0$ 或1和0 $\leq i\leq n-1$ ，每个元素都可以唯一地以 ${s}^{k}{r}^{i}$ 的形式编写。

(5) ${rs} = s{r}^{-1}$ . [首先计算出排列 $s$ 对 $\{ 1,2,\ldots ,n\}$ 的影响，然后分别计算出这个方程两边的每个部分对顶点 1 和 2 的作用。] 这特别表明 $r$ 和 $s$ 不交换，因此 ${D}_{2n}$ 是非阿贝尔的。

(6) ${r}^{i}s = s{r}^{-i}$ ,对所有 $0 \leq i \leq n$ 。[通过对 $i$ 进行归纳，并使用 ${r}^{i + 1}s = r\left( {{r}^{i}s}\right)$ 的事实以及之前的计算结果。] 这表明了如何将 $s$ 与 $r$ 的幂交换。

完成这些计算后，我们现在观察到 ${D}_{2n}$ 的完整乘法表可以仅用 $r$ 和 $s$ 表示，即 ${D}_{2n}$ 的所有元素都有一个（唯一的）表示形式 ${s}^{k}{r}^{i},k = 0$ 或 1 和 $0 \leq i \leq n - 1$ ，并且这种形式的两个元素相乘的产品可以用仅有的“关系”（1）、（2）和（6）（将所有指数模 $n$ 简化）简化为相同形式。例如，如果 $n = {12}$ ，

\left( {s{r}^{9}}\right) \left( {s{r}^{6}}\right) = s\left( {{r}^{9}s}\right) {r}^{6} = s\left( {s{r}^{-9}}\right) {r}^{6} = {s}^{2}{r}^{-9 + 6} = {r}^{-3} = {r}^{9}.

生成元和关系

群 ${D}_{2n}$ 提供了一种简单且简洁的方法。我们可以类似地引入任意群的生成元和关系的概念。在正式证明之前尽早了解这些概念是有用的，因为它们为描述和计算许多群提供了一种简单的方式。生成元将在第 2.4 节中详细讨论，而当我们在第 6.3 节引入自由群的概念时，这两个概念都将被严格处理。

一个群 $S$ 的子集 $G$ 具有这样的性质： $G$ 的每个元素都可以写成 $S$ 的元素及其逆元的（有限）乘积，这样的子集被称为 $G$ 的生成元集。我们用符号 $G = \langle S\rangle$ 来表示这一点，并说 $G$ 由 $S$ 生成，或者说 $S$ 生成 $G$ 。例如，整数 1 是整数加法群 $\mathbb{Z}$ 的生成元，因为每个整数都可以表示为有限个 +1 和 -1 的和，所以 $\mathbb{Z} = \langle 1\rangle$ 。根据 ${D}_{2n}$ 的性质 (4)，集合 $S = \{ r,s\}$ 是 ${D}_{2n}$ 的生成元集，所以 ${D}_{2n} = \langle r,s\rangle$ 。我们稍后会看到，在一个有限群 $G$ 中，如果 $G$ 的每个元素都是 $S$ 的元素的有限乘积（即，不需要包含 $S$ 元素的逆元），那么集合 $S$ 就生成了 $G$ 。

在一个一般群 $G$ 中，生成元满足的任何方程都被称为 $G$ 中的关系。因此，在 ${D}_{2n}$ 中，我们有关系： ${r}^{n} = 1,{s}^{2} = 1$ 和 ${rs} = s{r}^{-1}$ 。此外，在 ${D}_{2n}$ 中，这三个关系还具有额外的性质，即群元素之间的任何其他关系都可以从这三个关系中推导出来（这并不是立即显而易见的；这是由于我们可以仅使用这三个关系来确定两个群元素何时相等的事实得出的）。

一般而言，如果某个群 $G$ 由一个子集 $S$ 生成，并且存在某些关系集合，比如说 ${R}_{1},{R}_{2},\ldots ,{R}_{m}$ （这里每个 ${R}_{i}$ 是 $S \cup \{ 1\} )$ 元素之间的一个方程，使得 $S$ 元素之间的任何关系都可以从这些关系中推导出来），我们将称这些生成元和关系为 $G$ 的一个表示，并写作

G = \left\langle {S \mid {R}_{1},{R}_{2},\ldots ,{R}_{m}}\right\rangle .

那么，对于二面体群 ${D}_{2n}$ 的一个表示（使用上述生成元和关系）就是

{D}_{2n} = \left\langle {r,s \mid {r}^{n} = {s}^{2} = 1,{rs} = s{r}^{-1}}\right\rangle . \tag{1.1}

我们将看到，使用这个表示来描述 ${D}_{2n}$ （而不是总是回归到原始的几何描述）将大大简化对这些群的操作。

表示法为描述许多群提供了一种简单的方式，但是有一些细节需要考虑。其中之一是，在任意的表示中，可能很难（甚至不可能）判断群的两个元素（用给定的生成元表示）是否相等。因此，可能不明显所表示的群的阶是什么，甚至群是有限的还是无限的！例如，可以证明 $\left\langle {{x}_{1},{y}_{1} \mid {x}_{1}^{2} = {y}_{1}^{2} = {\left( {x}_{1}{y}_{1}\right) }^{2} = 1}\right\rangle$ 是一个阶为4的群的表示，而 $\left\langle {{x}_{2},{y}_{2} \mid {x}_{2}^{3} = {y}_{2}^{3} = {\left( {x}_{2}{y}_{2}\right) }^{3} = 1}\right\rangle$ 是一个无限群的表示（参见练习）。

另一个细节是，即使在相当简单的表示中，也可能因为关系以某种不明显的方式相互交织而发生“塌陷”，即可能存在“隐藏的”或隐含的关系，这些关系没有在表示中明确给出，而是指定关系的后果。这种塌陷使得通常很难确定所表示的群的大小的一个下界。例如，假设有人模仿 ${D}_{2n}$ 的表示，试图通过定义来创建另一个群：

{X}_{2n} = \left\langle {x,y \mid {x}^{n} = {y}^{2} = 1,{xy} = y{x}^{2}}\right\rangle . \tag{1.2}

"换位"关系 ${xy} = y{x}^{2}$ 决定了如何交换 $y$ 和 $x$ （即如何将 $y$ 从 $x$ 的右边“移动”到左边），以便在这个群 ${D}_{2n}$ 中，就像在群中一样，这个群中的每个元素都可以写成 ${y}^{k}{x}^{i}$ 的形式，所有 $y$ 的幂都在左边，所有 $x$ 的幂都在右边。此外，根据前两个关系，任何 $x$ 和 $y$ 的幂都可以简化，使得 $i$ 位于 0 和 $n - 1$ 之间，而 $k$ 是 0 或 1。因此，有人可能会认为 ${X}_{2n}$ 又是一个阶为 ${2n}$ 的群。但情况并非如此，因为在这个群中存在一个从关系 $x = x{y}^{2}$ （由于 ${y}^{2} = 1$ ）通过反复应用换位关系和结合律将 $y$ 移到左边得到的“隐藏”关系：

x = x{y}^{2} = \left( {xy}\right) y = \left( {y{x}^{2}}\right) y = \left( {yx}\right) \left( {xy}\right) = \left( {yx}\right) \left( {y{x}^{2}}\right)

= y\left( {xy}\right) {x}^{2} = y\left( {y{x}^{2}}\right) {x}^{2} = {y}^{2}{x}^{4} = {x}^{4}.

由于 ${x}^{4} = x$ ，根据消去律可知 ${x}^{3} = 1$ 在 ${X}_{2n}$ 中，从上面的讨论可知，对于任何 $n$ ， ${X}_{2n}$ 的阶至多为 6。甚至可能进一步简化，这取决于 $n$ 的值（见练习）。

另一个例子是考虑以下表示：

Y = \left\langle {u,v \mid {u}^{4} = {v}^{3} = 1,{uv} = {v}^{2}{u}^{2}}\right\rangle . \tag{1.3}

在这种情况下，很诱人猜测 $Y$ 是一个阶为 12 的群，但同样存在额外的隐含关系。实际上，这个群 $Y$ 退化为阶为 1 的平凡群，即 $u$ 和 $v$ 满足额外的关系 $u = 1$ 和 $v = 1$ （证明大纲见练习）。

这种折叠不会出现在 ${D}_{2n}$ 的呈现中，因为我们通过独立的（几何）方法证明了存在一个阶为 ${2n}$ 的群，生成元为 $r$ 和 $s$ 并满足（1）中的关系。因此，只具有这些关系的群必须至少有 ${2n}$ 阶。另一方面，很容易看出（使用上面 ${X}_{2n}$ 的同样论证方式和 ${rs} = s{r}^{-1}$ 的交换关系）任何由（1）中的生成元和关系定义的群其阶至多为 ${2n}$ 。因此，具有呈现（1）的群其阶恰好为 ${2n}$ ，并且这个群确实是正 $n$ 边形的对称群。

我们对于呈现（1）拥有的额外信息是存在一个已知阶的群满足这些信息。相比之下，我们对满足（2）或（3）中的关系的任何群没有独立的了解。没有这样的独立“下界”信息，我们甚至可能无法确定一个给定的呈现是否仅描述了平凡群，如（3）中所示。

虽然在一般情况下，在通过呈现规定群时需要极为小心，但对于已知群使用呈现是一种强大的概念和计算工具。关于呈现的额外结果，包括更详尽的例子，出现在第6.3节中。