1.1 群基本公理与示例

基本公理与示例

在这一节中，我们介绍了第一部分将要研究的基本代数结构，并给出了一些示例。

定义

(1)集合 $G$ 上的二元运算 $\star$ 是一个函数 $\star : G \times G \rightarrow G$。对于任何 $a,b \in G$，我们将写 $a \star b$ 表示 $\star \left( {a,b}\right)$。

(2) 集合 $\star$ 上的二元运算 $G$ 是结合的，如果对于所有 $a,b,c \in G$ 我们有 $a \star \left( {b \star c}\right) = \left( {a \star b}\right) \star c.$

(3) 如果 $\star$ 是集合 $G$ 上的二元运算，我们说集合 $G$ 中的元素 $a$ 和 $b$ 是可交换的，如果 $a \star b = b \star a$

示例

(1) + (通常的加法) 是 $\mathbb{Z}$（或 $\mathbb{Q},\mathbb{R}$ ,或 $\mathbb{C}$ 分别）上的可交换二元运算。

(2) $\times$ (通常的乘法) 是 $\mathbb{Z}$（或 $\mathbb{Q},\mathbb{R}$ ,或 $\mathbb{C}$ 分别）上的可交换二元运算。

(3) - (通常的减法) 是 $\mathbb{Z}$ 上的非可交换二元运算，其中 $- \left( {a,b}\right) =$ $a - b$ 。映射 $a \mapsto - a$ 不是一个二元运算（不是二元的）。

(4) - 不是 ${\mathbb{Z}}^{ + }$（也不是 ${\mathbb{Q}}^{ + },{\mathbb{R}}^{ + }$ ）上的二元运算，因为对于 $a,b \in {\mathbb{Z}}^{ + }$ 和 $a < b$ ， $a - b \notin {\mathbb{Z}}^{ + },$ ，也就是说，- 不将 ${\mathbb{Z}}^{ + } \times {\mathbb{Z}}^{ + }$ 映射到 ${\mathbb{Z}}^{ + }.$

(5) 在 3 维空间 ${\mathbb{R}}^{3}$ 中取两个向量的向量叉积是一个既不是结合的也不是可交换的二元运算。

假设 $\star$ 是集合 $G$ 上的二元运算，且 $H$ 是 $G$ 的一个子集。如果 $\star$ 在 $H$ 上的限制是 $H$ 上的二元运算，即对于所有 $a,b \in H,a \star b \in H$ ，那么 $H$ 被称为在 $\star$ 下是封闭的。注意到如果 $\star$ 是 $G$ 上的结合律（分别地，交换律）的二元运算，并且 $\star$ 在 $G$ 的某个子集 $H$ 上的限制是 $H$ 上的二元运算，那么 $\star$ 在 $H$ 上也是自动地满足结合律（分别地，交换律）。

定义

(1) 一个群是一个有序对 $\left( {G, \star }\right)$，其中 $G$ 是一个集合，$\star$ 是 $G$ 上的二元运算，满足以下公理：

(i) $\left( {a \star b}\right) \star c = a \star \left( {b \star c}\right)$，对于所有 $a,b,c \in G$，即 $\star$ 是结合的，

(ii) 在 $G$ 中存在一个元素 $e$，称为 $G$ 的单位元，使得对于所有 $a \in G$ 我们有 $a \star e = e \star a = a$，

(iii) 对于每个 $a \in G$，在 $G$ 中存在一个元素 ${a}^{-1}$，称为 $a$ 的逆元，使得 $a \star {a}^{-1} = {a}^{-1} \star a = e$。

(2) 如果 $a \star b = b \star a$ 对于所有 $a,b \in G$，那么群 $\left( {G, \star }\right)$ 被称为阿贝尔群（或交换群）。

我们将立即变得不那么正式，如果 $G$ 在 $\star$ 下是一个群（或者当操作 $\star$ 从上下文中清晰时，只说 $G$ 是一个群）。此外，我们说 $G$ 是一个有限群，如果 $G$ 还是一个有限集。注意，公理（ii）确保一个群总是非空的。

示例

(1) $\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R}$ 和 $\mathbb{C}$ 在加法 + 下是群，具有 $e = 0$ 和 ${a}^{-1} = - a$ ，对于所有 $a$ .

(2) $\mathbb{Q} - \{ 0\} ,\mathbb{R} - \{ 0\} ,\mathbb{C} - \left\{ 0\right\} ,{\mathbb{Q}}^{ + },{\mathbb{R}}^{ + }$ 在 $\times$ 下是群，具有 $e = 1$ 和 ${a}^{-1} = \dfrac{1}{a}$ ，对于所有 $a$ 。然而需要注意的是，$\mathbb{Z} - \{ 0\}$ 在 $\times$ 下不是一个群，因为尽管 $\times$ 是 $\mathbb{Z} - \{ 0\}$ 上的一个结合的二元运算，但元素 2（例如）在 $\mathbb{Z} - \{ 0\}$ 中没有逆元。

我们忽略了一个事实，即结合律在这些熟悉的例子中成立。对于 $\mathbb{Z}$ 在加法下，这是自然数加法的结合公理的结果。对于 $\mathbb{Q}$ 在加法下的结合律，是由 $\mathbb{Z}$ 的结合律得出的——当我们从 $\mathbb{Z}$ 严格构造 $\mathbb{Q}$ 时（参见图7.5节），将概述这一证明。对于 $\mathbb{R}$ 和 $\mathbb{C}$ 在加法下的结合律，在初等分析课程中，通过完成 $\mathbb{Q}$ 的构造来证明——最终，结合性再次是 $\mathbb{Z}$ 结合性的结果。乘法的结合公理也可以通过类似的发展建立，首先从 $\mathbb{Z}$ 开始。由于 $\mathbb{R}$ 和 $\mathbb{C}$ 将主要用于说明目的，并且我们不会从 $\mathbb{Q}$ 构造 $\mathbb{R}$（尽管我们将从 $\mathbb{R}$ 构造 $\mathbb{C}$），我们将假定 $\mathbb{R}$ 和 $\mathbb{C}$ 的结合律（在加法和 $\times$ 下）是已知的。

示例（续）

(3)向量空间 $V$ 的公理包括那些指定 $\left( {V, + }\right)$ 是阿贝尔群（加法运算称为向量加法）的公理。因此，任何像 ${\mathbb{R}}^{n}$ 这样的向量空间，特别是，是一个加法群。

(4) 因为 $n \in {\mathbb{Z}}^{ + },\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 在余数类加法运算下是一个阿贝尔群。我们将在在更一般的情况下证明这个二元运算 + 是良定义且满足结合律；现在我们将其视为自然。该群中的单位元素是 $\overline{0}$，对于每一个 $\bar{a} \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$，$\bar{a}$ 的逆元是 $\overline{-a}$。从此，当我们谈论群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 时，将默认群运算是类的加法 ${\;\operatorname{mod}\;n}$。

(5) 对于 $n \in {\mathbb{Z}}^{ + }$，集合 ${\left( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\right) }^{ \times }$ 是具有模 $n$ 乘法逆元的等价类 $\bar{a}$ 的集合，是一个阿贝尔群，其运算是余数类的乘法。同样，我们暂时将这个运算视为是良定义且满足结合律。该群的单位元是 $\overline{1}$，根据 ${\left( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\right) }^{ \times }$ 的定义，每个元素都有一个乘法逆元。以后，当我们谈论群 ${\left( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\right) }^{ \times }$ 时，将默认群运算是类的乘法 ${\;\operatorname{mod}\;n}$。

(6) 如果 $\left( {A, \star }\right)$ 和 $\left( {B,\diamond }\right)$ 是群，我们可以形成一个新群 $A \times B$，称为它们的直积，其元素是笛卡尔积中的那些元素

其运算定义为逐分量进行：

例如，如果我们取 $A = B = \mathbb{R}$（两个运算都是加法），$\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ 就是熟悉的欧几里得平面。证明两个群的直积仍然是一个群的证明留作一个直接的练习（稍后）——证明 $A \times B$ 中的每个群公理成立是两个 $A$ 和 $B$ 中的公理成立以及 $A \times B$ 中的运算逐分量定义的结果。

应该清楚地区分两个群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$（在加法下）和 ${\left( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\right) }^{ \times }$（在乘法下），尽管后者是前者的子集 - 上标 $\times$ 将始终表示该运算是乘法。

在继续更复杂示例之前，我们证明了两个基本结果，特别是这些结果使我们能够讨论元素的单位元和逆元。

命题 1.

如果 $G$ 是在运算 $\star$ 下的群，那么

(1) $G$ 的单位元是唯一的

(2) 对于每个 $a \in G,{a}^{-1}$ 其逆元是唯一确定的

(3) ${\left( {a}^{-1}\right) }^{-1} = a$ 对于所有 $a \in G$

(4) ${\left( a \star b\right) }^{-1} = \left( {b}^{-1}\right) \star \left( {a}^{-1}\right)$

(5) 对于任何 ${a}_{1},{a}_{2},\ldots ,{a}_{n} \in G$ ，${a}_{1} \star {a}_{2} \star \cdots \star {a}_{n}$ 的值与表达式的括号方式无关（这被称为广义结合律）。

证明： (1) 如果 $f$ 和 $g$ 都是单位元，那么根据群定义的公理 (ii) $f \star g = f$（取 $a = f$ 和 $e = g$）。由同一公理 $f \star g = g$（取 $a = g$ 和 $e = f$）。因此 $f = g$，单位元是唯一的。

(2) 假设 $b$ 和 $c$ 都是 $a$ 的逆元，并设 $e$ 是 $G$ 的单位元。根据公理 (iii)， $a \star b = e$ 和 $c \star a = e$。因此

(3) 为了证明 ${\left( {a}^{-1}\right) }^{-1} = a$ 确实是证明 $a$ 是 ${a}^{-1}$ 的逆的问题（因为根据部分 (2) $a$ 有唯一的逆）。阅读 ${a}^{-1}$ 的定义，并将 $a$ 和 ${a}^{-1}$ 的角色在心中互换，显示出 $a$ 满足 ${a}^{-1}$ 逆的定义属性，因此 $a$ 是 ${a}^{-1}$ 的逆。

(4) 设 $c = {\left( a \star b\right) }^{-1}$ ，根据 $c,\left( {a \star b}\right) \star c = e$ 的定义。由结合律

两边同时乘以 ${a}^{-1}$ 得到

左边的结合律和右边 $e$ 的定义给出

所以

因此

现在两边同时乘以 ${b}^{-1}$ 并类似简化：

如所声称的。

(5) 这留作一个使用 $n$ 进行归纳的好练习。首先证明结果对 $n = 1,2$ 和 3 成立，然后假设对任何 $k < n$ ，任何 $k$ 元素乘积的括号，${b}_{1} \star {b}_{2} \star \cdots \star {b}_{k}$ 都可以简化（不改变乘积的值）为如下形式

现在论证 ${a}_{1} \star {a}_{2} \star \cdots \star {a}_{n}$ 的任何括号乘积必须分解为 2 个子乘积，比如说 $\left( {{a}_{1} \star {a}_{2} \star \cdots \star {a}_{k}}\right) \star \left( {{a}_{k + 1} \star {a}_{k + 2} \star \cdots \star {a}_{n}}\right)$ ，每个子乘积以某种方式括号。将归纳假设应用于这两个子乘积，最后将结果简化为 ${a}_{1} \star \left( {{a}_{2} \star \left( {{a}_{3} \star \left( {\cdots \star {a}_{n}}\right) }\right) \ldots }\right)$ 的形式以完成归纳。

注意在命题 1 的证明过程中，我们小心地不改变任何乘积的顺序（除非由公理 (ii) 和 (iii) 允许），因为 $G$ 可能是非交换的。

记号：

(1) 对于一个抽象群 $G$ ，在整个计算过程中不断书写运算符 $\star$ 是令人厌烦的。因此（除非必要），我们的抽象群 $G,H$ 等将总是用运算符 $\cdot$ 表示，$a \cdot b$ 将总是写作 ${ab}$ 。鉴于广义结合律，三个或更多群元素的乘积将不使用括号（尽管运算仍然是二元运算）。最后，对于抽象群 $G$ （运算 $\cdot$），我们用 1 表示 $G$ 的单位元。

(2) 对于任何群 $G$ （隐含运算$\cdot$），以及 $x \in G$ 和 $n \in {\mathbb{Z}}^{ + }$，由于乘积 ${xx}\cdots x$（$n$ 项）不依赖于它的括号方式，我们将用 ${x}^{n}$ 表示它。用 ${x}^{-1}{x}^{-1}\cdots {x}^{-1}$（$n$ 项）表示 ${x}^{-n}$。设 ${x}^{0} = 1$ 为 $G$ 的单位元。

这种新的记法简洁宜人。当然，当我们处理具体的群时，我们将使用自然的（给定的）运算。例如，当运算是加法时，单位元将用 0 表示，对于任何元素 $a$，其逆元 ${a}^{-1}$ 将写作 $- a$，$a + a + \cdots + a$ （$n$ 项）将写作 ${na}; - a - a\cdots - a$（$n$ 项）将写作 $- {na}$，${0a} = 0$。

命题 2

设 $G$ 为一个群，且 $a,b \in G$。方程 ${ax} = b$ 和 ${ya} = b$ 对于 $x,y \in G$ 有唯一解。特别地，左消去律和右消去律在 $G$ 中成立，即，

(1) 如果 ${au} = {av}$，那么 $u = v$，并且

(2) 如果 ${ub} = {vb}$ ，那么 $u = v$ 。

证明：我们可以通过在左侧两边同时乘以 ${a}^{-1}$ 并简化来解 ${ax} = b$ ，得到 $x = {a}^{-1}b$ 。由于 ${a}^{-1}$ 是唯一的，因此 $x$ 的唯一性得证。类似地，如果 ${ya} = b,y = b{a}^{-1}$ 。如果 ${au} = {av}$ ，在左侧两边同时乘以 ${a}^{-1}$ 并简化得到 $u = v$ 。类似地，右消去律也成立。

命题2的一个推论是，如果 $a$ 是 $G$ 的任意元素，并且对于某些 $b \in G,{ab} = e$ 或 ${ba} = e$ ，那么 $b = {a}^{-1}$ ，即我们不需要证明两个方程都成立。另外，如果对于某些 $b \in G,{ab} = a$ （或 ${ba} = a$ ），那么 $b$ 必须是 $G$ 的单位元，即我们不需要对所有 $x \in G$ 检查 ${bx} = {xb} = x$ 。

定义

对于 $G$ 是一个群，$x \in G$ 定义 $x$ 的阶为最小的正整数 $n$ ，使得 ${x}^{n} = 1$ ，并记这个整数为 $\left| x\right|$ 。在这种情况下，$x$ 被说成是 $n$ 阶的。如果没有 $x$ 的正幂是单位元，那么 $x$ 的阶被定义为无穷大，并且 $x$ 被说成是无限阶的。

$x$ 的阶的符号不应与绝对值符号混淆（当 $G \subseteq \mathbb{R}$ 我们需要小心区分这两个）。选择相同的符号来表示元素的阶和表示集合的基数（或阶）可能看起来是不明智的，然而，我们将看到，群中元素的阶与所有它的（不同的）幂的集合的基数是相同的，所以这两个“阶”的用法自然相关联。

示例

(1) 群中的一个元素阶为1当且仅当它是单位元。

(2) 在加法群 $\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$ 中，每个非零（即非单位）元素都有无限阶。

(3) 在乘法群 $\mathbb{R} - \{ 0\}$ 或 $\mathbb{Q} - \{ 0\}$ 中，元素 -1 的阶为2，所有其他非单位元素都有无限阶。

(4) 在加法群 $\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$ 中，元素 $\bar{6}$ 的阶为3，因为 $\bar{6} \neq \bar{0},\bar{6} + \bar{6} = \overline{12} = \overline{3} \neq \overline{0}$ ，但是 $\bar{6} + \bar{6} + \bar{6} = \overline{18} = \bar{0}$ ，这是该群中的单位元。记住，在加法群中，一个元素的幂是该元素的整数倍。同样，元素 $\overline{5}$ 的阶是9，因为45是5的最小正倍数，且能被9整除。

(5) 在乘法群 ${\left( \mathbb{Z}/7\mathbb{Z}\right) }^{ \times }$ 中，元素 $\bar{2}$ 的幂是 $\bar{2},\bar{4}.\ \ \bar{8}$ 是该群中的单位元，所以 $\bar{2}$ 的阶为3。类似地，元素 $\bar{3}$ 的阶为6，因为 ${3}^{6}$ 是3的最小正幂，且在模7下同余于1。

定义

设 $G = \left\{ {{g}_{1},{g}_{2},\ldots ,{g}_{n}}\right\}$ 为一个有限群，其中 ${g}_{1} = 1$ 。$G$ 的乘法表或群表是 $n \times n$ 矩阵，其 $i,j$ 条目是群元素 ${g}_{i}{g}_{j}$ 。

对于一个有限群来说，乘法表在某种意义上包含了关于该群的所有信息。然而，在计算上，它是一个难以处理的对象（因为其大小是群阶的平方），在视觉上也不是一个用于确定群属性的有用对象。人们可能会将群表视为拥有一个包含国家内所有城市之间距离的表格的类似物。这样的表格是有用的，本质上它捕捉了所有的距离关系，但地图（最好是标有所有距离的地图）是更容易使用的工具。我们对群论（特别是有限群）的初步发展的一部分，是指向以更概念化的方式可视化群内部结构。