SciPy 1.12 中文文档（四十四）

原文：docs.scipy.org/doc/scipy-1.12.0/index.html

`scipy.special.pdtr`

原文链接：docs.scipy.org/doc/scipy-1.12.0/reference/generated/scipy.special.pdtr.html#scipy.special.pdtr

scipy.special.pdtr(k, m, out=None) = <ufunc 'pdtr'>

泊松累积分布函数

定义为泊松分布随机变量事件率为(m)时小于或等于(k)的概率。更具体地说，这实际上等于[1]

[\exp(-m) \sum_{j = 0}^{\lfloor{k}\rfloor} \frac{m^j}{j!}.]

参数：

k数组样式

发生次数（非负实数）

m数组样式

形状参数（非负实数）

outndarray，可选

可选的输出数组以获得函数结果

标量或者 ndarray

泊松累积分布函数的值

另请参见

pdtrc

泊松生存函数

pdtrik

相对于k

pdtri

相对于m的pdtr的反函数

参考文献

[1]

zh.wikipedia.org/wiki/泊松分布

示例

>>> import numpy as np
>>> import scipy.special as sc

这是一个累积分布函数，因此随着k趋向于无穷大，它单调地收敛到 1。

>>> sc.pdtr([1, 10, 100, np.inf], 1)
array([0.73575888, 0.99999999, 1\.        , 1\.        ])

在整数处不连续，在整数之间保持恒定。

>>> sc.pdtr([1, 1.5, 1.9, 2], 1)
array([0.73575888, 0.73575888, 0.73575888, 0.9196986 ])

`scipy.special.pdtrik`

原文：docs.scipy.org/doc/scipy-1.12.0/reference/generated/scipy.special.pdtrik.html#scipy.special.pdtrik

scipy.special.pdtrik(p, m, out=None) = <ufunc 'pdtrik'>

相对于 m 的 pdtr 的逆。

参数：

m array_like

形状参数（非负实数）

p array_like

概率

out ndarray，可选

函数结果的可选输出数组

标量或 ndarray

发生次数 k 满足 pdtr(k, m) = p 的数量

另见

pdtr

Poisson 累积分布函数

pdtrc

Poisson 生存函数

pdtri

相对于 m 的逆函数 pdtr 的逆

`scipy.special.pdtr`

原文链接：docs.scipy.org/doc/scipy-1.12.0/reference/generated/scipy.special.pdtr.html#scipy.special.pdtr

scipy.special.pdtr(k, m, out=None) = <ufunc 'pdtr'>

泊松累积分布函数。

定义为泊松分布随机变量事件率为 (m) 小于或等于 (k) 的概率。更具体地说，这将变为 [1]

[\exp(-m) \sum_{j = 0}^{\lfloor{k}\rfloor} \frac{m^j}{j!}.]

参数：

k类似数组

出现次数（非负实数）

m类似数组

形状参数（非负实数）

out数组，可选

函数结果的可选输出数组

标量或数组

泊松累积分布函数的值

另请参见

pdtrc

泊松生存函数

pdtrik

相对于 k 的 pdtr 的逆

pdtri

相对于 m 的 pdtr 的逆

参考文献

[1]

en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution

示例

>>> import numpy as np
>>> import scipy.special as sc

这是一个累积分布函数，因此随着 k 趋向无穷大，它单调收敛于 1。

>>> sc.pdtr([1, 10, 100, np.inf], 1)
array([0.73575888, 0.99999999, 1\.        , 1\.        ])

在整数处不连续，在整数之间恒定。

>>> sc.pdtr([1, 1.5, 1.9, 2], 1)
array([0.73575888, 0.73575888, 0.73575888, 0.9196986 ])

`scipy.special.stdtr`

原文：docs.scipy.org/doc/scipy-1.12.0/reference/generated/scipy.special.stdtr.html#scipy.special.stdtr

scipy.special.stdtr(df, t, out=None) = <ufunc 'stdtr'>

学生 t 分布累积分布函数

返回积分：

[\frac{\Gamma((df+1)/2)}{\sqrt{\pi df} \Gamma(df/2)} \int_{-\infty}^t (1+x²/df)^{-(df+1)/2}, dx]

参数：

df数组样式

自由度

t数组样式

积分的上限

out ndarray，可选

函数结果的可选输出数组

标量或 ndarray

t 的学生 CDF 的值

另请参阅

stdtridf

与df相关的 stdtr 的逆

stdtrit

与t相关的 stdtr 的逆

scipy.stats.t

学生 t 分布

注

学生 t 分布也可以作为scipy.stats.t使用。与scipy.stats.t的cdf方法相比，直接调用stdtr可以提高性能（见下面的最后一个示例）。

示例

计算df=3时在t=1处的函数。

>>> import numpy as np
>>> from scipy.special import stdtr
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> stdtr(3, 1)
0.8044988905221148

绘制三个不同自由度的函数。

>>> x = np.linspace(-10, 10, 1000)
>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> parameters = [(1, "solid"), (3, "dashed"), (10, "dotted")]
>>> for (df, linestyle) in parameters:
...     ax.plot(x, stdtr(df, x), ls=linestyle, label=f"$df={df}$")
>>> ax.legend()
>>> ax.set_title("Student t distribution cumulative distribution function")
>>> plt.show()

../../_images/scipy-special-stdtr-1_00_00.png

通过为df提供 NumPy 数组或列表，可以同时计算多个自由度的函数。

>>> stdtr([1, 2, 3], 1)
array([0.75      , 0.78867513, 0.80449889])

通过为df和t提供适合广播的形状的数组，可以同时在几个不同的自由度上计算几个点的函数值。在 3 个自由度的情况下，为 4 个点计算stdtr，得到一个形状为 3x4 的数组。

>>> dfs = np.array([[1], [2], [3]])
>>> t = np.array([2, 4, 6, 8])
>>> dfs.shape, t.shape
((3, 1), (4,))

>>> stdtr(dfs, t)
array([[0.85241638, 0.92202087, 0.94743154, 0.96041658],
 [0.90824829, 0.97140452, 0.98666426, 0.99236596],
 [0.93033702, 0.98599577, 0.99536364, 0.99796171]])

t 分布也可以作为scipy.stats.t使用。直接调用stdtr比调用scipy.stats.t的cdf方法要快得多。为了获得相同的结果，必须使用以下参数化方式：scipy.stats.t(df).cdf(x) = stdtr(df, x)。

>>> from scipy.stats import t
>>> df, x = 3, 1
>>> stdtr_result = stdtr(df, x)  # this can be faster than below
>>> stats_result = t(df).cdf(x)
>>> stats_result == stdtr_result  # test that results are equal
True

`scipy.special.stdtridf`

原文链接：docs.scipy.org/doc/scipy-1.12.0/reference/generated/scipy.special.stdtridf.html#scipy.special.stdtridf

scipy.special.stdtridf(p, t, out=None) = <ufunc 'stdtridf'>

stdtr的逆与 df

返回参数 df，使得 stdtr(df, t) 等于 p。

参数：

p，类似于数组

概率

t，类似于数组

积分的上限

out，可选项

函数结果的可选输出数组

df，标量或数组

值 df，使得 stdtr(df, t) == p

参见

stdtr

学生 t 分布函数

stdtrit

t的逆 stdtr

scipy.stats.t

学生 t 分布

示例

计算一个参数集的学生 t 累积分布函数。

>>> from scipy.special import stdtr, stdtridf
>>> df, x = 5, 2
>>> cdf_value = stdtr(df, x)
>>> cdf_value
0.9490302605850709

验证当给定 CDF 值和 x 时，stdtridf 恢复原始值 df。

>>> stdtridf(cdf_value, x)
5.0

`scipy.special.stdtr`

原文链接：docs.scipy.org/doc/scipy-1.12.0/reference/generated/scipy.special.stdtr.html#scipy.special.stdtr

scipy.special.stdtr(df, t, out=None) = <ufunc 'stdtr'>

学生 t 分布累积分布函数

返回积分：

[\frac{\Gamma((df+1)/2)}{\sqrt{\pi df} \Gamma(df/2)} \int_{-\infty}^t (1+x²/df)^{-(df+1)/2}, dx]

参数：

dfarray_like

自由度

tarray_like

积分的上界

outndarray，可选

用于输出函数结果的可选输出数组

标量或 ndarray

t 处的学生 t CDF 值

另见

stdtridf

stdtr 的逆函数关于df

stdtrit

stdtr 的逆函数关于t

scipy.stats.t

学生 t 分布

注意

学生 t 分布也可以作为scipy.stats.t调用。与scipy.stats.t的cdf方法相比，直接调用stdtr可以提高性能（见下面的最后一个例子）。

示例

在df=3和t=1处计算函数。

>>> import numpy as np
>>> from scipy.special import stdtr
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> stdtr(3, 1)
0.8044988905221148

绘制三种不同自由度的函数。

>>> x = np.linspace(-10, 10, 1000)
>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> parameters = [(1, "solid"), (3, "dashed"), (10, "dotted")]
>>> for (df, linestyle) in parameters:
...     ax.plot(x, stdtr(df, x), ls=linestyle, label=f"$df={df}$")
>>> ax.legend()
>>> ax.set_title("Student t distribution cumulative distribution function")
>>> plt.show()

../../_images/scipy-special-stdtr-1_00_00.png

通过为df提供 NumPy 数组或列表，可以同时计算几个自由度的函数：

>>> stdtr([1, 2, 3], 1)
array([0.75      , 0.78867513, 0.80449889])

可以通过为df和t提供广播兼容形状的数组，在几个不同自由度同时计算几个点的函数。计算 3 自由度下 4 点的stdtr，得到形状为 3x4 的数组。

>>> dfs = np.array([[1], [2], [3]])
>>> t = np.array([2, 4, 6, 8])
>>> dfs.shape, t.shape
((3, 1), (4,))

>>> stdtr(dfs, t)
array([[0.85241638, 0.92202087, 0.94743154, 0.96041658],
 [0.90824829, 0.97140452, 0.98666426, 0.99236596],
 [0.93033702, 0.98599577, 0.99536364, 0.99796171]])

学生 t 分布也可以作为scipy.stats.t调用。直接调用stdtr比调用scipy.stats.t的cdf方法速度要快得多。为了得到相同的结果，必须使用以下参数化方式：scipy.stats.t(df).cdf(x) = stdtr(df, x)。

>>> from scipy.stats import t
>>> df, x = 3, 1
>>> stdtr_result = stdtr(df, x)  # this can be faster than below
>>> stats_result = t(df).cdf(x)
>>> stats_result == stdtr_result  # test that results are equal
True

`scipy.special.stdtrit`

原文：docs.scipy.org/doc/scipy-1.12.0/reference/generated/scipy.special.stdtrit.html#scipy.special.stdtrit

scipy.special.stdtrit(df, p, out=None) = <ufunc 'stdtrit'>

学生 t 分布的p分位数。

此函数是学生 t 分布累积分布函数的逆，返回t，使得stdtr(df, t) = p。

返回参数t，使得 stdtr(df, t)等于p。

参数：

dfarray_like

自由度

parray_like

概率

outndarray，可选

可选的输出数组用于函数结果

t标量或 ndarray

根据stdtr(df, t) == p计算使得t等于p的值。

另请参阅

stdtr

学生 t 分布的累积分布函数

stdtridf

df的 stdtr 的逆

scipy.stats.t

学生 t 分布

注释

学生 t 分布也可以作为scipy.stats.t使用。直接调用stdtrit相对于scipy.stats.t的ppf方法可以提高性能（见下面的最后一个例子）。

示例

stdtrit表示学生 t 分布的累积分布函数的逆，该函数可作为stdtr获得。在此，我们计算df在x=1时的累积分布函数。stdtrit然后返回 1，直到浮点误差给出相同的值用于df和计算的累积分布函数值。

>>> import numpy as np
>>> from scipy.special import stdtr, stdtrit
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> df = 3
>>> x = 1
>>> cdf_value = stdtr(df, x)
>>> stdtrit(df, cdf_value)
0.9999999994418539

绘制三个不同自由度的函数。

>>> x = np.linspace(0, 1, 1000)
>>> parameters = [(1, "solid"), (2, "dashed"), (5, "dotted")]
>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> for (df, linestyle) in parameters:
...     ax.plot(x, stdtrit(df, x), ls=linestyle, label=f"$df={df}$")
>>> ax.legend()
>>> ax.set_ylim(-10, 10)
>>> ax.set_title("Student t distribution quantile function")
>>> plt.show()

../../_images/scipy-special-stdtrit-1_00_00.png

通过提供df的 NumPy 数组或列表，可以同时计算几个自由度的函数。

>>> stdtrit([1, 2, 3], 0.7)
array([0.72654253, 0.6172134 , 0.58438973])

通过提供形状兼容进行广播的df和p数组，可以同时计算几个不同自由度的点的函数值。在 3 个自由度的情况下为 4 个点计算stdtrit，返回形状为 3x4 的数组。

>>> dfs = np.array([[1], [2], [3]])
>>> p = np.array([0.2, 0.4, 0.7, 0.8])
>>> dfs.shape, p.shape
((3, 1), (4,))

>>> stdtrit(dfs, p)
array([[-1.37638192, -0.3249197 ,  0.72654253,  1.37638192],
 [-1.06066017, -0.28867513,  0.6172134 ,  1.06066017],
 [-0.97847231, -0.27667066,  0.58438973,  0.97847231]])

学生 t 分布也可以作为scipy.stats.t使用。直接调用stdtrit比调用scipy.stats.t的ppf方法更快。要获得相同的结果，必须使用以下参数化：scipy.stats.t(df).ppf(x) = stdtrit(df, x)。

>>> from scipy.stats import t
>>> df, x = 3, 0.5
>>> stdtrit_result = stdtrit(df, x)  # this can be faster than below
>>> stats_result = t(df).ppf(x)
>>> stats_result == stdtrit_result  # test that results are equal
True

`scipy.special.chdtr`

原文：docs.scipy.org/doc/scipy-1.12.0/reference/generated/scipy.special.chdtr.html#scipy.special.chdtr

scipy.special.chdtr(v, x, out=None) = <ufunc 'chdtr'>

卡方累积分布函数。

返回自由度为v的卡方概率密度函数左尾（从 0 到x）下的面积：

[\frac{1}{2^{v/2} \Gamma(v/2)} \int_0^x t^{v/2 - 1} e^{-t/2} dt]

这里(\Gamma)是 Gamma 函数；见gamma。此积分可用正则化的下不完全 Gamma 函数gammainc表示为gammainc(v / 2, x / 2)。[1]

参数：

varray_like

自由度。

xarray_like

积分的上界。

outndarray, optional

可选的输出数组以获取函数结果。

标量或 ndarray

累积分布函数的值。

另请参阅

chdtrc, chdtri, chdtriv, gammainc

参考文献

[1]

卡方分布，www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3666.htm

示例

>>> import numpy as np
>>> import scipy.special as sc

可以用正则化的下不完全 Gamma 函数表示。

>>> v = 1
>>> x = np.arange(4)
>>> sc.chdtr(v, x)
array([0\.        , 0.68268949, 0.84270079, 0.91673548])
>>> sc.gammainc(v / 2, x / 2)
array([0\.        , 0.68268949, 0.84270079, 0.91673548])

`scipy.special.chdtrc`

原文：docs.scipy.org/doc/scipy-1.12.0/reference/generated/scipy.special.chdtrc.html#scipy.special.chdtrc

scipy.special.chdtrc(v, x, out=None) = <ufunc 'chdtrc'>

卡方生存函数。

返回自由度为 v 的卡方概率密度函数右尾部分（从 x 到无穷大）下面积分的面积：

[\frac{1}{2^{v/2} \Gamma(v/2)} \int_x^\infty t^{v/2 - 1} e^{-t/2} dt]

这里 (\Gamma) 是 Gamma 函数；参见gamma。这个积分可以用常规化的上不完全 Gamma 函数gammaincc表示为 gammaincc(v / 2, x / 2)。[1]

参数：

v 数组型

自由度。

x 数组型

积分的下限。

out ndarray，可选

可选输出数组的函数结果。

返回值：

标量或 ndarray

生存函数的值。

参见

chdtr, chdtri, chdtriv, gammaincc

参考文献

[1]

卡方分布，www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3666.htm

示例

>>> import numpy as np
>>> import scipy.special as sc

可以用常规化的上不完全 Gamma 函数表示。

>>> v = 1
>>> x = np.arange(4)
>>> sc.chdtrc(v, x)
array([1\.        , 0.31731051, 0.15729921, 0.08326452])
>>> sc.gammaincc(v / 2, x / 2)
array([1\.        , 0.31731051, 0.15729921, 0.08326452])

`scipy.special.chdtri`

原文：docs.scipy.org/doc/scipy-1.12.0/reference/generated/scipy.special.chdtri.html#scipy.special.chdtri

scipy.special.chdtri(v, p, out=None) = <ufunc 'chdtri'>

相对于x，与chdtrc相反。

返回x，使得chdtrc(v, x) == p。

参数：

varray_like

自由度。

parray_like

概率。

outndarray，可选

函数结果的可选输出数组。

x标量或 ndarray

使卡方随机变量的概率（自由度为v）大于x的值等于p。

另请参阅

chdtrc，chdtr，chdtriv

参考文献

[1]

卡方分布，www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3666.htm

示例

>>> import scipy.special as sc

它反转了chdtrc。

>>> v, p = 1, 0.3
>>> sc.chdtrc(v, sc.chdtri(v, p))
0.3
>>> x = 1
>>> sc.chdtri(v, sc.chdtrc(v, x))
1.0

`scipy.special.chdtrc`

原文链接：docs.scipy.org/doc/scipy-1.12.0/reference/generated/scipy.special.chdtrc.html#scipy.special.chdtrc

scipy.special.chdtrc(v, x, out=None) = <ufunc 'chdtrc'>

卡方生存函数。

返回卡方概率密度函数右尾（从 x 到无穷大）下的面积，具有 v 自由度：

[\frac{1}{2^{v/2} \Gamma(v/2)} \int_x^\infty t^{v/2 - 1} e^{-t/2} dt]

这里 (\Gamma) 是伽马函数；参见 gamma。这个积分可以用正则化的上不完全伽马函数 gammaincc 表示为 gammaincc(v / 2, x / 2)。 [1]

参数：

varray_like

自由度。

xarray_like

积分的下界。

outndarray, 可选

该函数结果的可选输出数组。

标量或 ndarray

生存函数的值。

见下文

chdtr, chdtri, chdtriv, gammaincc

参考文献

[1]

卡方分布，www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3666.htm

示例

>>> import numpy as np
>>> import scipy.special as sc

可以用正则化的上不完全伽马函数来表示。

>>> v = 1
>>> x = np.arange(4)
>>> sc.chdtrc(v, x)
array([1\.        , 0.31731051, 0.15729921, 0.08326452])
>>> sc.gammaincc(v / 2, x / 2)
array([1\.        , 0.31731051, 0.15729921, 0.08326452])

`scipy.special.chdtriv`

原文链接：docs.scipy.org/doc/scipy-1.12.0/reference/generated/scipy.special.chdtriv.html#scipy.special.chdtriv

scipy.special.chdtriv(p, x, out=None) = <ufunc 'chdtriv'>

关于v的chdtr的反函数。

返回v，使得chdtr(v, x) == p。

参数：

parray_like

卡方随机变量小于或等于x的概率。

xarray_like

非负输入。

outndarray，可选

可选的输出数组，用于存储函数结果。

标量或 ndarray

自由度。

另见

chdtr, chdtrc, chdtri

参考文献

[1]

卡方分布，www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3666.htm

示例

>>> import scipy.special as sc

它反转chdtr。

>>> p, x = 0.5, 1
>>> sc.chdtr(sc.chdtriv(p, x), x)
0.5000000000202172
>>> v = 1
>>> sc.chdtriv(sc.chdtr(v, x), v)
1.0000000000000013

`scipy.special.chdtr`

原文：docs.scipy.org/doc/scipy-1.12.0/reference/generated/scipy.special.chdtr.html#scipy.special.chdtr

scipy.special.chdtr(v, x, out=None) = <ufunc 'chdtr'>

卡方累积分布函数。

返回自由度为v的卡方概率密度函数左尾（从 0 到x）下的面积：

[\frac{1}{2^{v/2} \Gamma(v/2)} \int_0^x t^{v/2 - 1} e^{-t/2} dt]

这里(\Gamma)是 Gamma 函数；参见gamma。这个积分可以用正则化的下不完全 Gamma 函数gammainc表示为gammainc(v / 2, x / 2)。[1]

参数：

varray_like

自由度。

xarray_like

积分的上界。

outndarray，可选

函数结果的可选输出数组。

标量或 ndarray

累积分布函数的值。

另请参见

chdtrc，chdtri，chdtriv，gammainc

参考文献

[1]

卡方分布，www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3666.htm

示例

>>> import numpy as np
>>> import scipy.special as sc

可以用正则化的下不完全 Gamma 函数表示。

>>> v = 1
>>> x = np.arange(4)
>>> sc.chdtr(v, x)
array([0\.        , 0.68268949, 0.84270079, 0.91673548])
>>> sc.gammainc(v / 2, x / 2)
array([0\.        , 0.68268949, 0.84270079, 0.91673548])

`scipy.special.chndtr`

原文：docs.scipy.org/doc/scipy-1.12.0/reference/generated/scipy.special.chndtr.html#scipy.special.chndtr

scipy.special.chndtr(x, df, nc, out=None) = <ufunc 'chndtr'>

非中心卡方累积分布函数

累积分布函数由以下公式给出：

[P(\chi^{\prime 2} \vert \nu, \lambda) =\sum_{j=0}^{\infty} e^{-\lambda /2} \frac{(\lambda /2)^j}{j!} P(\chi^{\prime 2} \vert \nu + 2j),]

其中 (\nu > 0) 是自由度 (df)，(\lambda \geq 0) 是非中心参数 (nc)。

参数：

x array_like

积分的上限；必须满足x >= 0

df array_like

自由度；必须满足df > 0

nc array_like

非中心参数；必须满足nc >= 0

out ndarray，可选

可选的输出数组，用于存储函数结果

返回值：

x 标量或者 ndarray

非中心卡方累积分布函数的值。

另请参阅

chndtrix, chndtridf, chndtrinc

`scipy.special.chndtridf`

原文链接：docs.scipy.org/doc/scipy-1.12.0/reference/generated/scipy.special.chndtridf.html#scipy.special.chndtridf

scipy.special.chndtridf(x, p, nc, out=None) = <ufunc 'chndtridf'>

chndtr 的逆函数 vs df

使用搜索找到一个值为 df 的值，以得到所需的 p 值。

参数：

x 数组或类似数组

积分的上界；必须满足 x >= 0

p 数组或类似数组

概率；必须满足 0 <= p < 1

nc 数组或类似数组

非中心参数；必须满足 nc >= 0

out ndarray，可选

函数结果的可选输出数组

df 标量或者 ndarray

自由度

另请参阅

chndtr, chndtrix, chndtrinc

`scipy.special.chndtr`

原文：docs.scipy.org/doc/scipy-1.12.0/reference/generated/scipy.special.chndtr.html#scipy.special.chndtr

scipy.special.chndtr(x, df, nc, out=None) = <ufunc 'chndtr'>

非中心卡方分布累积分布函数

累积分布函数由以下给出：

[P(\chi^{\prime 2} \vert \nu, \lambda) =\sum_{j=0}^{\infty} e^{-\lambda /2} \frac{(\lambda /2)^j}{j!} P(\chi^{\prime 2} \vert \nu + 2j),]

其中 (\nu > 0) 是自由度 (df)，(\lambda \geq 0) 是非中心参数 (nc)。

参数：

xarray_like

积分的上限；必须满足 x >= 0

dfarray_like

自由度；必须满足 df > 0

ncarray_like

非中心参数；必须满足 nc >= 0

outndarray, 可选

可选的输出数组用于函数结果

x标量或数组

非中心卡方分布累积分布函数的值。

另见

chndtrix, chndtridf, chndtrinc

`scipy.special.chndtrinc`

原文链接：docs.scipy.org/doc/scipy-1.12.0/reference/generated/scipy.special.chndtrinc.html#scipy.special.chndtrinc

scipy.special.chndtrinc(x, df, p, out=None) = <ufunc 'chndtrinc'>

逆函数为chndtr与nc的比例

使用搜索计算df的值，以得到期望的p值。

参数：

x数组类型

积分的上限；必须满足x >= 0

df数组类型

自由度；必须满足df > 0

p数组类型

概率；必须满足0 <= p < 1

out数组类型，可选

可选的输出数组用于函数结果

nc标量或数组

非中心性

另请参见

chndtr, chndtrix, chndtrinc

`scipy.special.chndtr`

原文链接：docs.scipy.org/doc/scipy-1.12.0/reference/generated/scipy.special.chndtr.html#scipy.special.chndtr

scipy.special.chndtr(x, df, nc, out=None) = <ufunc 'chndtr'>

非中心卡方累积分布函数

累积分布函数由以下给出：

[P(\chi^{\prime 2} \vert \nu, \lambda) =\sum_{j=0}^{\infty} e^{-\lambda /2} \frac{(\lambda /2)^j}{j!} P(\chi^{\prime 2} \vert \nu + 2j),]

其中 (\nu > 0) 是自由度（df），(\lambda \geq 0) 是非中心参数（nc）。

参数：

xarray_like

积分的上限；必须满足 x >= 0

dfarray_like

自由度；必须满足 df > 0

ncarray_like

非中心参数；必须满足 nc >= 0

outndarray，可选

函数结果的可选输出数组

x标量或数组

非中心卡方累积分布函数的值。

另请参阅

chndtrix, chndtridf, chndtrinc

`scipy.special.chndtrix`

原文链接：docs.scipy.org/doc/scipy-1.12.0/reference/generated/scipy.special.chndtrix.html#scipy.special.chndtrix

scipy.special.chndtrix(p, df, nc, out=None) = <ufunc 'chndtrix'>

逆chndtr对应的x

使用搜索计算得到使得p的概率为目标的x的值。

参数：

parray_like

概率；必须满足 0 <= p < 1

dfarray_like

自由度；必须满足 df > 0

ncarray_like

非中心参数；必须满足 nc >= 0

outndarray，可选

函数结果的可选输出数组

x标量或 ndarray

使得自由度为df、非中心度nc的非中心卡方随机变量大于x的概率等于p的值。

参见

chndtr, chndtridf, chndtrinc

`scipy.special.chndtr`

原文：docs.scipy.org/doc/scipy-1.12.0/reference/generated/scipy.special.chndtr.html#scipy.special.chndtr

scipy.special.chndtr(x, df, nc, out=None) = <ufunc 'chndtr'>

非中心卡方累积分布函数

累积分布函数如下所示：

[P(\chi^{\prime 2} \vert \nu, \lambda) =\sum_{j=0}^{\infty} e^{-\lambda /2} \frac{(\lambda /2)^j}{j!} P(\chi^{\prime 2} \vert \nu + 2j),]

其中 (\nu > 0) 是自由度（df），(\lambda \geq 0) 是非中心参数（nc）。

参数：

x数组

积分的上限；必须满足x >= 0

df数组

自由度；必须满足df > 0

nc数组

非中心参数；必须满足nc >= 0

out数组，可选

函数结果的可选输出数组

x标量或数组

非中心卡方累积分布函数的值。

另请参见

chndtrix，chndtridf，chndtrinc

`scipy.special.smirnov`

原文链接：docs.scipy.org/doc/scipy-1.12.0/reference/generated/scipy.special.smirnov.html#scipy.special.smirnov

scipy.special.smirnov(n, d, out=None) = <ufunc 'smirnov'>

Kolmogorov-Smirnov 互补累积分布函数

返回确切的 Kolmogorov-Smirnov 互补累积分布函数（也称为生存函数），Dn+（或 Dn-）的单侧相等性检验的理论分布和经验分布之间的最大差异的概率。它等于基于n个样本的理论分布和经验分布之间的最大差异大于 d 的概率。

参数：

nint

样本数量

dfloat array_like

经验 CDF（ECDF）与目标 CDF 之间的偏差。

outndarray，可选

函数结果的可选输出数组

标量或 ndarray

smirnov(n, d)的值，Prob(Dn+ >= d)（也是 Prob(Dn- >= d)）

另请参见

smirnovi

分布的逆生存函数

scipy.stats.ksone

提供作为连续分布的功能

kolmogorov, kolmogi

用于双侧分布的函数

注意事项

smirnov被stats.kstest在 Kolmogorov-Smirnov 拟合度检验中使用。出于历史原因，此函数在scipy.special中公开，但实现最精确的 CDF/SF/PDF/PPF/ISF 计算的推荐方法是使用stats.ksone分布。

示例

>>> import numpy as np
>>> from scipy.special import smirnov
>>> from scipy.stats import norm

显示大小为 5 的样本至少大于等于 0、0.5 和 1.0 的间隙的概率。

>>> smirnov(5, [0, 0.5, 1.0])
array([ 1\.   ,  0.056,  0\.   ])

将大小为 5 的样本与 N(0, 1)（均值为 0，标准差为 1）进行比较。

x是样本。

>>> x = np.array([-1.392, -0.135, 0.114, 0.190, 1.82])

>>> target = norm(0, 1)
>>> cdfs = target.cdf(x)
>>> cdfs
array([0.0819612 , 0.44630594, 0.5453811 , 0.57534543, 0.9656205 ])

构建经验 CDF 和 K-S 统计量（Dn+、Dn-、Dn）。

>>> n = len(x)
>>> ecdfs = np.arange(n+1, dtype=float)/n
>>> cols = np.column_stack([x, ecdfs[1:], cdfs, cdfs - ecdfs[:n],
...                        ecdfs[1:] - cdfs])
>>> with np.printoptions(precision=3):
...    print(cols)
[[-1.392  0.2    0.082  0.082  0.118]
 [-0.135  0.4    0.446  0.246 -0.046]
 [ 0.114  0.6    0.545  0.145  0.055]
 [ 0.19   0.8    0.575 -0.025  0.225]
 [ 1.82   1\.     0.966  0.166  0.034]]
>>> gaps = cols[:, -2:]
>>> Dnpm = np.max(gaps, axis=0)
>>> print(f'Dn-={Dnpm[0]:f}, Dn+={Dnpm[1]:f}')
Dn-=0.246306, Dn+=0.224655
>>> probs = smirnov(n, Dnpm)
>>> print(f'For a sample of size {n} drawn from N(0, 1):',
...       f' Smirnov n={n}: Prob(Dn- >= {Dnpm[0]:f}) = {probs[0]:.4f}',
...       f' Smirnov n={n}: Prob(Dn+ >= {Dnpm[1]:f}) = {probs[1]:.4f}',
...       sep='\n')
For a sample of size 5 drawn from N(0, 1):
 Smirnov n=5: Prob(Dn- >= 0.246306) = 0.4711
 Smirnov n=5: Prob(Dn+ >= 0.224655) = 0.5245

绘制经验 CDF 和标准正态 CDF。

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> plt.step(np.concatenate(([-2.5], x, [2.5])),
...          np.concatenate((ecdfs, [1])),
...          where='post', label='Empirical CDF')
>>> xx = np.linspace(-2.5, 2.5, 100)
>>> plt.plot(xx, target.cdf(xx), '--', label='CDF for N(0, 1)')

添加标记 Dn+和 Dn-的垂直线。

>>> iminus, iplus = np.argmax(gaps, axis=0)
>>> plt.vlines([x[iminus]], ecdfs[iminus], cdfs[iminus], color='r',
...            alpha=0.5, lw=4)
>>> plt.vlines([x[iplus]], cdfs[iplus], ecdfs[iplus+1], color='m',
...            alpha=0.5, lw=4)

>>> plt.grid(True)
>>> plt.legend(framealpha=1, shadow=True)
>>> plt.show()

../../_images/scipy-special-smirnov-1.png

`scipy.special.smirnovi`

原文链接：docs.scipy.org/doc/scipy-1.12.0/reference/generated/scipy.special.smirnovi.html#scipy.special.smirnovi

scipy.special.smirnovi(n, p, out=None) = <ufunc 'smirnovi'>

逆函数 smirnov

返回 d，使得 smirnov(n, d) == p，与 p 对应的临界值。

参数：

nint

样本数量

pfloat array_like

概率

outndarray，可选

函数结果的可选输出数组

标量或 ndarray

smirnovi(n, p) 的值（或值的集合），关键值。

另请参见

smirnov

分布的生存函数（SF）

scipy.stats.ksone

作为连续分布的功能

kolmogorov，kolmogi

两边分布的函数

scipy.stats.kstwobign

双边 Kolmogorov-Smirnov 分布，大 n

注意事项

stats.kstest 应用了 Kolmogorov-Smirnov 拟合优度检验中的smirnov。出于历史原因，此函数暴露在 scpy.special 中，但实现最精确的 CDF/SF/PDF/PPF/ISF 计算的推荐方法是使用 stats.ksone 分布。

示例

>>> from scipy.special import smirnovi, smirnov

>>> n = 24
>>> deviations = [0.1, 0.2, 0.3]

使用 smirnov 来计算给定样本数量和偏差的 Smirnov 分布的互补 CDF。

>>> p = smirnov(n, deviations)
>>> p
array([0.58105083, 0.12826832, 0.01032231])

逆函数 smirnovi(n, p) 返回 deviations。

>>> smirnovi(n, p)
array([0.1, 0.2, 0.3])

`scipy.special.smirnov`

原文链接：docs.scipy.org/doc/scipy-1.12.0/reference/generated/scipy.special.smirnov.html#scipy.special.smirnov

scipy.special.smirnov(n, d, out=None) = <ufunc 'smirnov'>

Kolmogorov-Smirnov 单侧累积分布函数

返回 Kolmogorov-Smirnov 单侧检验（即生存函数）的确切值 Dn+（或 Dn-），用于衡量经验分布与理论分布的一致性。它等于理论分布与基于 n 个样本的经验分布之间的最大差异大于 d 的概率。

参数：

n 整数

样本数量

d 浮点数数组

经验 CDF（ECDF）与目标 CDF 之间的偏差。

out ndarray，可选

可选的输出数组，用于函数结果

标量或者 ndarray

smirnov(n, d) 的值，Prob(Dn+ >= d)（也是 Prob(Dn- >= d)）

参见

smirnovi

分布的逆生存函数

scipy.stats.ksone

提供连续分布的功能

kolmogorov，kolmogi

两侧分布的函数

注意：

smirnov 在 Kolmogorov-Smirnov 拟合优度检验中由 stats.kstest 应用。出于历史原因，此函数在 scpy.special 中公开，但建议以最准确的 CDF/SF/PDF/PPF/ISF 计算方式使用 stats.ksone 分布。

示例

>>> import numpy as np
>>> from scipy.special import smirnov
>>> from scipy.stats import norm

显示大小至少为 0、0.5 和 1.0 的间隙的概率，对于大小为 5 的样本。

>>> smirnov(5, [0, 0.5, 1.0])
array([ 1\.   ,  0.056,  0\.   ])

比较大小为 5 的样本与 N(0, 1) 的标准正态分布，其中均值为 0，标准差为 1。

x 是样本。

>>> x = np.array([-1.392, -0.135, 0.114, 0.190, 1.82])

>>> target = norm(0, 1)
>>> cdfs = target.cdf(x)
>>> cdfs
array([0.0819612 , 0.44630594, 0.5453811 , 0.57534543, 0.9656205 ])

构造经验 CDF 和 K-S 统计量（Dn+、Dn-、Dn）。

>>> n = len(x)
>>> ecdfs = np.arange(n+1, dtype=float)/n
>>> cols = np.column_stack([x, ecdfs[1:], cdfs, cdfs - ecdfs[:n],
...                        ecdfs[1:] - cdfs])
>>> with np.printoptions(precision=3):
...    print(cols)
[[-1.392  0.2    0.082  0.082  0.118]
 [-0.135  0.4    0.446  0.246 -0.046]
 [ 0.114  0.6    0.545  0.145  0.055]
 [ 0.19   0.8    0.575 -0.025  0.225]
 [ 1.82   1\.     0.966  0.166  0.034]]
>>> gaps = cols[:, -2:]
>>> Dnpm = np.max(gaps, axis=0)
>>> print(f'Dn-={Dnpm[0]:f}, Dn+={Dnpm[1]:f}')
Dn-=0.246306, Dn+=0.224655
>>> probs = smirnov(n, Dnpm)
>>> print(f'For a sample of size {n} drawn from N(0, 1):',
...       f' Smirnov n={n}: Prob(Dn- >= {Dnpm[0]:f}) = {probs[0]:.4f}',
...       f' Smirnov n={n}: Prob(Dn+ >= {Dnpm[1]:f}) = {probs[1]:.4f}',
...       sep='\n')
For a sample of size 5 drawn from N(0, 1):
 Smirnov n=5: Prob(Dn- >= 0.246306) = 0.4711
 Smirnov n=5: Prob(Dn+ >= 0.224655) = 0.5245

绘制经验 CDF 和标准正态 CDF。

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> plt.step(np.concatenate(([-2.5], x, [2.5])),
...          np.concatenate((ecdfs, [1])),
...          where='post', label='Empirical CDF')
>>> xx = np.linspace(-2.5, 2.5, 100)
>>> plt.plot(xx, target.cdf(xx), '--', label='CDF for N(0, 1)')

添加标记 Dn+ 和 Dn- 的垂直线。

>>> iminus, iplus = np.argmax(gaps, axis=0)
>>> plt.vlines([x[iminus]], ecdfs[iminus], cdfs[iminus], color='r',
...            alpha=0.5, lw=4)
>>> plt.vlines([x[iplus]], cdfs[iplus], ecdfs[iplus+1], color='m',
...            alpha=0.5, lw=4)

>>> plt.grid(True)
>>> plt.legend(framealpha=1, shadow=True)
>>> plt.show()

../../_images/scipy-special-smirnov-1.png

`scipy.special.kolmogorov`

原文链接：docs.scipy.org/doc/scipy-1.12.0/reference/generated/scipy.special.kolmogorov.html#scipy.special.kolmogorov

scipy.special.kolmogorov(y, out=None) = <ufunc 'kolmogorov'>

Kolmogorov 分布的补充累积分布（Survival Function）函数。

返回两边检验（empirical 与 theoretical distribution 之间的）Kolmogorov 极限分布的补充累积分布函数（当 n 趋向无穷时，D_n*\sqrt(n)）。等于（n 趋向无穷时的极限）概率，即sqrt(n) * max absolute deviation > y。

参数：

y 浮点数数组

经验累积分布函数（ECDF）与目标 CDF 之间的绝对偏差，乘以 sqrt(n)。

out ndarray，可选

函数结果的可选输出数组

返回值：

标量或 ndarray

kolmogorov(y)的值

另请参阅

kolmogi

分布的逆存活函数

scipy.stats.kstwobign

提供作为连续分布的功能

smirnov，smirnovi

一侧分布函数

注意事项

kolmogorov被stats.kstest在 Kolmogorov-Smirnov 拟合优度检验中使用。出于历史原因，此函数暴露在scipy.special中，但建议获取最精确的 CDF/SF/PDF/PPF/ISF 计算的方法是使用stats.kstwobign分布。

示例

显示至少大于 0、0.5 和 1.0 的间隙的概率。

>>> import numpy as np
>>> from scipy.special import kolmogorov
>>> from scipy.stats import kstwobign
>>> kolmogorov([0, 0.5, 1.0])
array([ 1\.        ,  0.96394524,  0.26999967])

将大小为 1000 的拉普拉斯（0, 1）分布样本与目标分布，正态（0, 1）分布进行比较。

>>> from scipy.stats import norm, laplace
>>> rng = np.random.default_rng()
>>> n = 1000
>>> lap01 = laplace(0, 1)
>>> x = np.sort(lap01.rvs(n, random_state=rng))
>>> np.mean(x), np.std(x)
(-0.05841730131499543, 1.3968109101997568)

构建经验累积分布函数（ECDF）和 K-S 统计量 Dn。

>>> target = norm(0,1)  # Normal mean 0, stddev 1
>>> cdfs = target.cdf(x)
>>> ecdfs = np.arange(n+1, dtype=float)/n
>>> gaps = np.column_stack([cdfs - ecdfs[:n], ecdfs[1:] - cdfs])
>>> Dn = np.max(gaps)
>>> Kn = np.sqrt(n) * Dn
>>> print('Dn=%f, sqrt(n)*Dn=%f' % (Dn, Kn))
Dn=0.043363, sqrt(n)*Dn=1.371265
>>> print(chr(10).join(['For a sample of size n drawn from a N(0, 1) distribution:',
...   ' the approximate Kolmogorov probability that sqrt(n)*Dn>=%f is %f' %
...    (Kn, kolmogorov(Kn)),
...   ' the approximate Kolmogorov probability that sqrt(n)*Dn<=%f is %f' %
...    (Kn, kstwobign.cdf(Kn))]))
For a sample of size n drawn from a N(0, 1) distribution:
 the approximate Kolmogorov probability that sqrt(n)*Dn>=1.371265 is 0.046533
 the approximate Kolmogorov probability that sqrt(n)*Dn<=1.371265 is 0.953467

绘制经验累积分布函数（Empirical CDF）与目标 N(0, 1)累积分布函数的对比图。

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> plt.step(np.concatenate([[-3], x]), ecdfs, where='post', label='Empirical CDF')
>>> x3 = np.linspace(-3, 3, 100)
>>> plt.plot(x3, target.cdf(x3), label='CDF for N(0, 1)')
>>> plt.ylim([0, 1]); plt.grid(True); plt.legend();
>>> # Add vertical lines marking Dn+ and Dn-
>>> iminus, iplus = np.argmax(gaps, axis=0)
>>> plt.vlines([x[iminus]], ecdfs[iminus], cdfs[iminus],
...            color='r', linestyle='dashed', lw=4)
>>> plt.vlines([x[iplus]], cdfs[iplus], ecdfs[iplus+1],
...            color='r', linestyle='dashed', lw=4)
>>> plt.show()

../../_images/scipy-special-kolmogorov-1.png

`scipy.special.kolmogi`

原文：docs.scipy.org/doc/scipy-1.12.0/reference/generated/scipy.special.kolmogi.html#scipy.special.kolmogi

scipy.special.kolmogi(p, out=None) = <ufunc 'kolmogi'>

Kolmogorov 分布的反生存函数

它是 kolmogorov 的反函数。返回 y 使得 kolmogorov(y) == p。

参数：

p 浮点数数组

概率

out 数组，可选

可选的输出数组用于函数结果

标量或者多维数组

kolmogi(p) 的值（或值）

另请参见

kolmogorov

分布的生存函数

scipy.stats.kstwobign

作为连续分布的功能

smirnov, smirnovi

单边分布的函数

注释

kolmogorov 被 stats.kstest 在 Kolmogorov-Smirnov 拟合优度检验中应用。由于历史原因，此函数在 scpy.special 中暴露，但实现最准确的 CDF/SF/PDF/PPF/ISF 计算的推荐方法是使用 stats.kstwobign 分布。

示例

>>> from scipy.special import kolmogi
>>> kolmogi([0, 0.1, 0.25, 0.5, 0.75, 0.9, 1.0])
array([        inf,  1.22384787,  1.01918472,  0.82757356,  0.67644769,
 0.57117327,  0\.        ])

`scipy.special.boxcox`

原文链接：docs.scipy.org/doc/scipy-1.12.0/reference/generated/scipy.special.boxcox.html#scipy.special.boxcox

scipy.special.boxcox(x, lmbda, out=None) = <ufunc 'boxcox'>

计算 Box-Cox 变换。

Box-Cox 变换为：

y = (x**lmbda - 1) / lmbda  if lmbda != 0
    log(x)                  if lmbda == 0

如果 x < 0，返回 nan。如果 x == 0 且 lmbda < 0，返回 -inf。

参数：

xarray_like

待转换的数据。

lmbdaarray_like

Box-Cox 变换的功率参数。

outndarray，可选

可选的输出数组，用于存储函数值

y标量或者 ndarray

转换后的数据。

注释

新版本 0.14.0 中引入。

示例

>>> from scipy.special import boxcox
>>> boxcox([1, 4, 10], 2.5)
array([   0\.        ,   12.4       ,  126.09110641])
>>> boxcox(2, [0, 1, 2])
array([ 0.69314718,  1\.        ,  1.5       ])

`scipy.special.boxcox1p`

原文：docs.scipy.org/doc/scipy-1.12.0/reference/generated/scipy.special.boxcox1p.html#scipy.special.boxcox1p

scipy.special.boxcox1p(x, lmbda, out=None) = <ufunc 'boxcox1p'>

计算 1 + x的 Box-Cox 变换。

由boxcox1p计算的 Box-Cox 变换为：

y = ((1+x)**lmbda - 1) / lmbda  if lmbda != 0
    log(1+x)                    if lmbda == 0

如果x < -1，则返回nan。如果x == -1且lmbda < 0，则返回*-inf*。

参数：

x array_like

要转换的数据。

lmbda array_like

Box-Cox 变换的功率参数。

out ndarray，可选

函数值的可选输出数组。

y scalar 或 ndarray

转换后的数据。

注意事项

0.14.0 版本中的新功能。

示例

>>> from scipy.special import boxcox1p
>>> boxcox1p(1e-4, [0, 0.5, 1])
array([  9.99950003e-05,   9.99975001e-05,   1.00000000e-04])
>>> boxcox1p([0.01, 0.1], 0.25)
array([ 0.00996272,  0.09645476])

`scipy.special.inv_boxcox`

原文链接：docs.scipy.org/doc/scipy-1.12.0/reference/generated/scipy.special.inv_boxcox.html#scipy.special.inv_boxcox

scipy.special.inv_boxcox(y, lmbda, out=None) = <ufunc 'inv_boxcox'>

计算 Box-Cox 变换的逆变换。

找到 x 使得：

y = (x**lmbda - 1) / lmbda  if lmbda != 0
    log(x)                  if lmbda == 0

参数：

y 数组类型

待转换的数据。

lmbda 数组类型

Box-Cox 变换的幂参数。

out ndarray，可选

可选的输出数组，用于函数值

返回值：

x 标量或者 ndarray

转换后的数据。

笔记

自版本 0.16.0 新增。

示例

>>> from scipy.special import boxcox, inv_boxcox
>>> y = boxcox([1, 4, 10], 2.5)
>>> inv_boxcox(y, 2.5)
array([1., 4., 10.])

`scipy.special.inv_boxcox1p`

原文：docs.scipy.org/doc/scipy-1.12.0/reference/generated/scipy.special.inv_boxcox1p.html#scipy.special.inv_boxcox1p

scipy.special.inv_boxcox1p(y, lmbda, out=None) = <ufunc 'inv_boxcox1p'>

计算 Box-Cox 变换的逆变换。

找到 x 使得：

y = ((1+x)**lmbda - 1) / lmbda  if lmbda != 0
    log(1+x)                    if lmbda == 0

参数：

y array_like

待转换的数据。

lmbda array_like

Box-Cox 变换的功率参数。

out ndarray，可选

函数值的可选输出数组

x 标量或者 ndarray

转换后的数据。

注意事项

新版在 0.16.0 版本中加入。

示例

>>> from scipy.special import boxcox1p, inv_boxcox1p
>>> y = boxcox1p([1, 4, 10], 2.5)
>>> inv_boxcox1p(y, 2.5)
array([1., 4., 10.])

SciPy-1-12-中文文档-四十四-

SciPy 1.12 中文文档（四十四）

scipy.special.pdtr

scipy.special.pdtrik

scipy.special.pdtr

scipy.special.stdtr

scipy.special.stdtridf

scipy.special.stdtr

scipy.special.stdtrit

scipy.special.chdtr

scipy.special.chdtrc

scipy.special.chdtri

scipy.special.chdtrc

scipy.special.chdtriv

scipy.special.chdtr

scipy.special.chndtr

scipy.special.chndtridf

scipy.special.chndtr

scipy.special.chndtrinc

scipy.special.chndtr

scipy.special.chndtrix

scipy.special.chndtr

scipy.special.smirnov

scipy.special.smirnovi

scipy.special.smirnov

scipy.special.kolmogorov

scipy.special.kolmogi

scipy.special.boxcox

scipy.special.boxcox1p

scipy.special.inv_boxcox

scipy.special.inv_boxcox1p

`scipy.special.pdtr`

`scipy.special.pdtrik`

`scipy.special.pdtr`

`scipy.special.stdtr`

`scipy.special.stdtridf`

`scipy.special.stdtr`

`scipy.special.stdtrit`

`scipy.special.chdtr`

`scipy.special.chdtrc`

`scipy.special.chdtri`

`scipy.special.chdtrc`

`scipy.special.chdtriv`

`scipy.special.chdtr`

`scipy.special.chndtr`

`scipy.special.chndtridf`

`scipy.special.chndtr`

`scipy.special.chndtrinc`

`scipy.special.chndtr`

`scipy.special.chndtrix`

`scipy.special.chndtr`

`scipy.special.smirnov`

`scipy.special.smirnovi`

`scipy.special.smirnov`

`scipy.special.kolmogorov`

`scipy.special.kolmogi`

`scipy.special.boxcox`

`scipy.special.boxcox1p`

`scipy.special.inv_boxcox`

`scipy.special.inv_boxcox1p`