SymPy 1.13 中文文档（十一）

原文：docs.sympy.org/latest/index.html

多面体

原文：docs.sympy.org/latest/modules/combinatorics/polyhedron.html

class sympy.combinatorics.polyhedron.Polyhedron(corners, faces=(), pgroup=())

表示多面体对称群（PSG）。

解释

PSG 是五正立体的对称群之一。有三个多面体群：12 阶四面体群，24 阶八面体群和 60 阶二十面体群。

所有的 doctest 都在对象构造函数的 docstring 中给出。

参考文献

[R92]

mathworld.wolfram.com/PolyhedralGroup.html

property array_form

返回角落的索引。

索引是相对于角落的原始位置给出的。

示例

>>> from sympy.combinatorics.polyhedron import tetrahedron
>>> tetrahedron = tetrahedron.copy()
>>> tetrahedron.array_form
[0, 1, 2, 3]

>>> tetrahedron.rotate(0)
>>> tetrahedron.array_form
[0, 2, 3, 1]
>>> tetrahedron.pgroup[0].array_form
[0, 2, 3, 1]

请参见

corners，cyclic_form

property corners

获取多面体的角落。

方法vertices是corners的别名。

示例

>>> from sympy.combinatorics import Polyhedron
>>> from sympy.abc import a, b, c, d
>>> p = Polyhedron(list('abcd'))
>>> p.corners == p.vertices == (a, b, c, d)
True

请参见

array_form，cyclic_form

property cyclic_form

返回循环表示法中角落的索引。

索引是相对于角落的原始位置给出的。

请参见

corners，array_form

property edges

给定多面体的面，我们可以获得边。

示例

>>> from sympy.combinatorics import Polyhedron
>>> from sympy.abc import a, b, c
>>> corners = (a, b, c)
>>> faces = [(0, 1, 2)]
>>> Polyhedron(corners, faces).edges
{(0, 1), (0, 2), (1, 2)}

property faces

获取多面体的面。

property pgroup

获取多面体的排列。

reset()

将角落返回到它们的原始位置。

示例

>>> from sympy.combinatorics.polyhedron import tetrahedron as T
>>> T = T.copy()
>>> T.corners
(0, 1, 2, 3)
>>> T.rotate(0)
>>> T.corners
(0, 2, 3, 1)
>>> T.reset()
>>> T.corners
(0, 1, 2, 3)

rotate(perm)

将置换就地应用于多面体。置换可以作为置换实例或表示应用于多面体的pgroup中的哪个置换的整数来给出。

这是一种类似于围绕轴的固定增量旋转的操作。

注意事项

当应用置换时，不检查它是否对多面体有效。例如，可以给立方体应用一个只交换两个顶点的置换。如果只使用多面体的pgroup中的置换，则会获得有效的置换（将对象以物理方式旋转）。另一方面，允许任意旋转（应用置换）可以通过名称元素的方式进行跟踪，因为多面体允许对顶点进行命名，而置换仅使用索引。

示例

>>> from sympy.combinatorics import Polyhedron, Permutation
>>> from sympy.combinatorics.polyhedron import cube
>>> cube = cube.copy()
>>> cube.corners
(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)
>>> cube.rotate(0)
>>> cube.corners
(1, 2, 3, 0, 5, 6, 7, 4)

非物理“旋转”，不受此方法禁止。

>>> cube.reset()
>>> cube.rotate(Permutation([[1, 2]], size=8))
>>> cube.corners
(0, 2, 1, 3, 4, 5, 6, 7)

多面体可以用于跟踪用字母标识而不是整数的集合元素：

>>> shadow = h5 = Polyhedron(list('abcde'))
>>> p = Permutation([3, 0, 1, 2, 4])
>>> h5.rotate(p)
>>> h5.corners
(d, a, b, c, e)
>>> _ == shadow.corners
True
>>> copy = h5.copy()
>>> h5.rotate(p)
>>> h5.corners == copy.corners
False

property size

获取多面体的角落数。

property vertices

获取多面体的角点。

方法vertices是corners的别名。

示例

>>> from sympy.combinatorics import Polyhedron
>>> from sympy.abc import a, b, c, d
>>> p = Polyhedron(list('abcd'))
>>> p.corners == p.vertices == (a, b, c, d)
True

另请参见

array_form, cyclic_form

Prufer 序列

原文：docs.sympy.org/latest/modules/combinatorics/prufer.html

class sympy.combinatorics.prufer.Prufer(*args, **kw_args)

Prufer 对应是一种描述标记树和 Prufer 代码之间双射的算法。标记树的 Prufer 代码在同构下是唯一的，并且长度为 n - 2。

Prufer 序列最初由 Heinz Prufer 使用，用于证明 Cayley 公式。

参考文献

[R93]

mathworld.wolfram.com/LabeledTree.html

static edges(*runs)

返回给定运行连接整数标记的树中节点的边列表和节点数量。

所有节点编号将被转移，以使最小节点为 0. 如果在运行中重复边，不会产生问题；仅返回唯一边。对节点标签的范围没有假设，但必须包含从最小到最大的所有节点。

示例

>>> from sympy.combinatorics.prufer import Prufer
>>> Prufer.edges([1, 2, 3], [2, 4, 5]) # a T
([[0, 1], [1, 2], [1, 3], [3, 4]], 5)

删除重复的边：

>>> Prufer.edges([0, 1, 2, 3], [1, 4, 5], [1, 4, 6]) # a K
([[0, 1], [1, 2], [1, 4], [2, 3], [4, 5], [4, 6]], 7)

next(delta=1)

生成当前序列之后的 delta Prufer 序列。

示例

>>> from sympy.combinatorics.prufer import Prufer
>>> a = Prufer([[0, 1], [0, 2], [0, 3]])
>>> b = a.next(1) # == a.next()
>>> b.tree_repr
[[0, 2], [0, 1], [1, 3]]
>>> b.rank
1

参见

prufer_rank, rank, prev, size

property nodes

返回树中节点的数量。

示例

>>> from sympy.combinatorics.prufer import Prufer
>>> Prufer([[0, 3], [1, 3], [2, 3], [3, 4], [4, 5]]).nodes
6
>>> Prufer([1, 0, 0]).nodes
5

prev(delta=1)

生成当前序列之前的 -delta Prufer 序列。

示例

>>> from sympy.combinatorics.prufer import Prufer
>>> a = Prufer([[0, 1], [1, 2], [2, 3], [1, 4]])
>>> a.rank
36
>>> b = a.prev()
>>> b
Prufer([1, 2, 0])
>>> b.rank
35

参见

prufer_rank, rank, next, size

prufer_rank()

计算 Prufer 序列的秩。

示例

>>> from sympy.combinatorics.prufer import Prufer
>>> a = Prufer([[0, 1], [0, 2], [0, 3]])
>>> a.prufer_rank()
0

参见

rank, next, prev, size

property prufer_repr

返回 Prufer 对象的 Prufer 序列。

此序列是通过移除编号最高的顶点、记录其连接到的节点，并继续此过程直到仅剩两个顶点为止找到的。Prufer 序列即为记录的节点列表。

示例

>>> from sympy.combinatorics.prufer import Prufer
>>> Prufer([[0, 3], [1, 3], [2, 3], [3, 4], [4, 5]]).prufer_repr
[3, 3, 3, 4]
>>> Prufer([1, 0, 0]).prufer_repr
[1, 0, 0]

参见

to_prufer

property rank

返回 Prufer 序列的秩。

示例

>>> from sympy.combinatorics.prufer import Prufer
>>> p = Prufer([[0, 3], [1, 3], [2, 3], [3, 4], [4, 5]])
>>> p.rank
778
>>> p.next(1).rank
779
>>> p.prev().rank
777

参见

prufer_rank, next, prev, size

property size

返回此 Prufer 对象可能的树的数量。

示例

>>> from sympy.combinatorics.prufer import Prufer
>>> Prufer([0]*4).size == Prufer([6]*4).size == 1296
True

参见

prufer_rank, rank, next, prev

static to_prufer(tree, n)

返回作为边列表的树的 Prufer 序列，其中n是树中的节点数。

示例

>>> from sympy.combinatorics.prufer import Prufer
>>> a = Prufer([[0, 1], [0, 2], [0, 3]])
>>> a.prufer_repr
[0, 0]
>>> Prufer.to_prufer([[0, 1], [0, 2], [0, 3]], 4)
[0, 0]

参见

prufer_repr

返回 Prufer 对象的 Prufer 序列。

static to_tree(prufer)

返回给定 Prufer 序列的树（作为边列表）。

示例

>>> from sympy.combinatorics.prufer import Prufer
>>> a = Prufer([0, 2], 4)
>>> a.tree_repr
[[0, 1], [0, 2], [2, 3]]
>>> Prufer.to_tree([0, 2])
[[0, 1], [0, 2], [2, 3]]

参见

tree_repr

返回 Prufer 对象的树表示。

参考文献

[R94]

hamberg.no/erlend/posts/2010-11-06-prufer-sequence-compact-tree-representation.html

property tree_repr

返回 Prufer 对象的树表示。

示例

>>> from sympy.combinatorics.prufer import Prufer
>>> Prufer([[0, 3], [1, 3], [2, 3], [3, 4], [4, 5]]).tree_repr
[[0, 3], [1, 3], [2, 3], [3, 4], [4, 5]]
>>> Prufer([1, 0, 0]).tree_repr
[[1, 2], [0, 1], [0, 3], [0, 4]]

参见

to_tree

classmethod unrank(rank, n)

找到未排序的 Prufer 序列。

示例

>>> from sympy.combinatorics.prufer import Prufer
>>> Prufer.unrank(0, 4)
Prufer([0, 0])

子集

原文：docs.sympy.org/latest/modules/combinatorics/subsets.html

class sympy.combinatorics.subsets.Subset(subset, superset)

表示基本子集对象。

解释

我们基本上使用两种技术生成子集，即二进制枚举和词典排序枚举。Subset 类接受两个参数，第一个描述要考虑的初始子集，第二个描述超集。

示例

>>> from sympy.combinatorics import Subset
>>> a = Subset(['c', 'd'], ['a', 'b', 'c', 'd'])
>>> a.next_binary().subset
['b']
>>> a.prev_binary().subset
['c']

classmethod bitlist_from_subset(subset, superset)

获取与子集对应的位列表。

示例

>>> from sympy.combinatorics import Subset
>>> Subset.bitlist_from_subset(['c', 'd'], ['a', 'b', 'c', 'd'])
'0011'

另请参阅

subset_from_bitlist

property cardinality

返回所有可能子集的数量。

示例

>>> from sympy.combinatorics import Subset
>>> a = Subset(['c', 'd'], ['a', 'b', 'c', 'd'])
>>> a.cardinality
16

另请参阅

subset, superset, size, superset_size

iterate_binary(k)

这是一个辅助函数。它通过k步迭代二进制子集。该变量可以是正数或负数。

示例

>>> from sympy.combinatorics import Subset
>>> a = Subset(['c', 'd'], ['a', 'b', 'c', 'd'])
>>> a.iterate_binary(-2).subset
['d']
>>> a = Subset(['a', 'b', 'c'], ['a', 'b', 'c', 'd'])
>>> a.iterate_binary(2).subset
[]

另请参阅

next_binary, prev_binary

iterate_graycode(k)

用于 prev_gray 和 next_gray 的辅助函数。它执行k步跨越以获取相应的 Gray 码。

示例

>>> from sympy.combinatorics import Subset
>>> a = Subset([1, 2, 3], [1, 2, 3, 4])
>>> a.iterate_graycode(3).subset
[1, 4]
>>> a.iterate_graycode(-2).subset
[1, 2, 4]

另请参阅

next_gray, prev_gray

next_binary()

生成下一个二进制有序子集。

示例

>>> from sympy.combinatorics import Subset
>>> a = Subset(['c', 'd'], ['a', 'b', 'c', 'd'])
>>> a.next_binary().subset
['b']
>>> a = Subset(['a', 'b', 'c', 'd'], ['a', 'b', 'c', 'd'])
>>> a.next_binary().subset
[]

另请参阅

prev_binary, iterate_binary

next_gray()

生成下一个 Gray 码排序子集。

示例

>>> from sympy.combinatorics import Subset
>>> a = Subset([1, 2, 3], [1, 2, 3, 4])
>>> a.next_gray().subset
[1, 3]

另请参阅

iterate_graycode, prev_gray

next_lexicographic()

生成下一个词典顺序有序子集。

示例

>>> from sympy.combinatorics import Subset
>>> a = Subset(['c', 'd'], ['a', 'b', 'c', 'd'])
>>> a.next_lexicographic().subset
['d']
>>> a = Subset(['d'], ['a', 'b', 'c', 'd'])
>>> a.next_lexicographic().subset
[]

另请参阅

prev_lexicographic

prev_binary()

生成前一个二进制有序子集。

示例

>>> from sympy.combinatorics import Subset
>>> a = Subset([], ['a', 'b', 'c', 'd'])
>>> a.prev_binary().subset
['a', 'b', 'c', 'd']
>>> a = Subset(['c', 'd'], ['a', 'b', 'c', 'd'])
>>> a.prev_binary().subset
['c']

另请参阅

next_binary, iterate_binary

prev_gray()

生成前一个 Gray 码排序子集。

示例

>>> from sympy.combinatorics import Subset
>>> a = Subset([2, 3, 4], [1, 2, 3, 4, 5])
>>> a.prev_gray().subset
[2, 3, 4, 5]

另请参阅

迭代格雷码, 下一个格雷码

prev_lexicographic()

生成前一个词典顺序的子集。

示例

>>> from sympy.combinatorics import Subset
>>> a = Subset([], ['a', 'b', 'c', 'd'])
>>> a.prev_lexicographic().subset
['d']
>>> a = Subset(['c','d'], ['a', 'b', 'c', 'd'])
>>> a.prev_lexicographic().subset
['c']

另请参阅

下一个词典顺序

property rank_binary

计算二进制有序排名。

示例

>>> from sympy.combinatorics import Subset
>>> a = Subset([], ['a','b','c','d'])
>>> a.rank_binary
0
>>> a = Subset(['c', 'd'], ['a', 'b', 'c', 'd'])
>>> a.rank_binary
3

另请参阅

迭代二进制, 二进制反向排序

property rank_gray

计算子集的格雷码排名。

示例

>>> from sympy.combinatorics import Subset
>>> a = Subset(['c','d'], ['a','b','c','d'])
>>> a.rank_gray
2
>>> a = Subset([2, 4, 5], [1, 2, 3, 4, 5, 6])
>>> a.rank_gray
27

另请参阅

迭代格雷码, 格雷码反向排序

property rank_lexicographic

计算子集的词典排名。

示例

>>> from sympy.combinatorics import Subset
>>> a = Subset(['c', 'd'], ['a', 'b', 'c', 'd'])
>>> a.rank_lexicographic
14
>>> a = Subset([2, 4, 5], [1, 2, 3, 4, 5, 6])
>>> a.rank_lexicographic
43

property size

获取子集的大小。

示例

>>> from sympy.combinatorics import Subset
>>> a = Subset(['c', 'd'], ['a', 'b', 'c', 'd'])
>>> a.size
2

另请参阅

子集, 超集, 超集大小, 基数

property subset

获取当前实例所表示的子集。

示例

>>> from sympy.combinatorics import Subset
>>> a = Subset(['c', 'd'], ['a', 'b', 'c', 'd'])
>>> a.subset
['c', 'd']

另请参阅

超集, 大小, 超集大小, 基数

classmethod subset_from_bitlist(super_set, bitlist)

获取由位列表定义的子集。

示例

>>> from sympy.combinatorics import Subset
>>> Subset.subset_from_bitlist(['a', 'b', 'c', 'd'], '0011').subset
['c', 'd']

另请参阅

从子集生成位列表

classmethod subset_indices(subset, superset)

返回列表中子集在超集中的索引；如果subset的所有元素都不在superset中，则列表为空。

示例

>>> from sympy.combinatorics import Subset
>>> superset = [1, 3, 2, 5, 4]
>>> Subset.subset_indices([3, 2, 1], superset)
[1, 2, 0]
>>> Subset.subset_indices([1, 6], superset)
[]
>>> Subset.subset_indices([], superset)
[]

property superset

获取子集的超集。

示例

>>> from sympy.combinatorics import Subset
>>> a = Subset(['c', 'd'], ['a', 'b', 'c', 'd'])
>>> a.superset
['a', 'b', 'c', 'd']

另请参阅

子集, 大小, 超集大小, 基数

property superset_size

返回超集的大小。

示例

>>> from sympy.combinatorics import Subset
>>> a = Subset(['c', 'd'], ['a', 'b', 'c', 'd'])
>>> a.superset_size
4

另请参阅

subset, superset, size, cardinality

classmethod unrank_binary(rank, superset)

获取指定等级的二进制排序子集。

示例

>>> from sympy.combinatorics import Subset
>>> Subset.unrank_binary(4, ['a', 'b', 'c', 'd']).subset
['b']

另请参阅

iterate_binary, rank_binary

classmethod unrank_gray(rank, superset)

获取指定等级的格雷码排序子集。

示例

>>> from sympy.combinatorics import Subset
>>> Subset.unrank_gray(4, ['a', 'b', 'c']).subset
['a', 'b']
>>> Subset.unrank_gray(0, ['a', 'b', 'c']).subset
[]

另请参阅

iterate_graycode, rank_gray

subsets.ksubsets(k)

按字典顺序找到大小为k的子集。

这使用了 itertools 生成器。

示例

>>> from sympy.combinatorics.subsets import ksubsets
>>> list(ksubsets([1, 2, 3], 2))
[(1, 2), (1, 3), (2, 3)]
>>> list(ksubsets([1, 2, 3, 4, 5], 2))
[(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4),     (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5)]

另请参阅

Subset

Gray 码

原文：docs.sympy.org/latest/modules/combinatorics/graycode.html

class sympy.combinatorics.graycode.GrayCode(n, *args, **kw_args)

Gray 码本质上是 n 维立方体上的哈密顿路径，边长为 1。立方体的顶点由其值为二进制的向量表示。哈密顿路径访问每个顶点恰好一次。3D 立方体的 Gray 码是['000'，'100'，'110'，'010'，'011'，'111'，'101'，'001']。

Gray 码解决了顺序生成 n 个对象所有可能子集的问题，每个子集从前一个子集仅通过删除或添加一个对象获得。在上述示例中，1 表示对象存在，0 表示对象不存在。

Gray 码在统计学中也有应用，特别是当我们希望以高效的方式计算与子集相关的各种统计量时。

示例

>>> from sympy.combinatorics import GrayCode
>>> a = GrayCode(3)
>>> list(a.generate_gray())
['000', '001', '011', '010', '110', '111', '101', '100']
>>> a = GrayCode(4)
>>> list(a.generate_gray())
['0000', '0001', '0011', '0010', '0110', '0111', '0101', '0100',     '1100', '1101', '1111', '1110', '1010', '1011', '1001', '1000']

参考文献

[R44]

Nijenhuis,A. 和 Wilf,H.S.(1978). 组合算法. Academic Press.

[R45]

Knuth, D. (2011). 计算机程序设计艺术，第 4 卷 Addison Wesley

property current

返回当前引用的 Gray 码作为比特字符串。

示例

>>> from sympy.combinatorics import GrayCode
>>> GrayCode(3, start='100').current
'100'

generate_gray(**hints)

生成 Gray 码的比特向量序列。

示例

>>> from sympy.combinatorics import GrayCode
>>> a = GrayCode(3)
>>> list(a.generate_gray())
['000', '001', '011', '010', '110', '111', '101', '100']
>>> list(a.generate_gray(start='011'))
['011', '010', '110', '111', '101', '100']
>>> list(a.generate_gray(rank=4))
['110', '111', '101', '100']

参见

skip

参考文献

[R46]

Knuth, D. (2011). 计算机程序设计艺术，第 4 卷, Addison Wesley

property n

返回 Gray 码的维度。

示例

>>> from sympy.combinatorics import GrayCode
>>> a = GrayCode(5)
>>> a.n
5

next(delta=1)

返回 Gray 码从当前值开始的距离delta（默认= 1）的 Gray 码。

示例

>>> from sympy.combinatorics import GrayCode
>>> a = GrayCode(3, start='110')
>>> a.next().current
'111'
>>> a.next(-1).current
'010'

property rank

对 Gray 码进行排序。

排名算法确定在给定顺序下，组合对象在所有对象中的位置（或排名）。例如，4 位二进制反射 Gray 码（BRGC）'0101'的排名为 6，因为它在 4 位 Gray 码家族的规范顺序中出现在第 6 个位置。

示例

>>> from sympy.combinatorics import GrayCode
>>> a = GrayCode(3)
>>> list(a.generate_gray())
['000', '001', '011', '010', '110', '111', '101', '100']
>>> GrayCode(3, start='100').rank
7
>>> GrayCode(3, rank=7).current
'100'

参见

unrank

参考文献

[R47]

web.archive.org/web/20200224064753/http://statweb.stanford.edu/~susan/courses/s208/node12.html

property selections

返回 Gray 码中的比特向量数。

示例

>>> from sympy.combinatorics import GrayCode
>>> a = GrayCode(3)
>>> a.selections
8

skip()

跳过比特生成。

示例

>>> from sympy.combinatorics import GrayCode
>>> a = GrayCode(3)
>>> for i in a.generate_gray():
...     if i == '010':
...         a.skip()
...     print(i)
...
000
001
011
010
111
101
100

参见

generate_gray

classmethod unrank(n, rank)

反排 n 位大小的 Gray 码的排名 k。此方法存在，以便派生 GrayCode 类可以定义其给定排名的自己的代码。

这里生成的字符串是为了允许尾递归优化。

示例

>>> from sympy.combinatorics import GrayCode
>>> GrayCode(5, rank=3).current
'00010'
>>> GrayCode.unrank(5, 3)
'00010'

参见

rank

graycode.random_bitstring()

生成长度为 n 的随机比特列表。

示例

>>> from sympy.combinatorics.graycode import random_bitstring
>>> random_bitstring(3) 
100

graycode.gray_to_bin()

从 Gray 编码转换为二进制编码。

我们假设使用大端编码。

示例

>>> from sympy.combinatorics.graycode import gray_to_bin
>>> gray_to_bin('100')
'111'

参见

bin_to_gray

graycode.bin_to_gray()

将二进制编码转换为格雷编码。

我们假设使用大端编码。

示例

>>> from sympy.combinatorics.graycode import bin_to_gray
>>> bin_to_gray('111')
'100'

另请参见

gray_to_bin

graycode.get_subset_from_bitstring(bitstring)

获取由比特字符串定义的子集。

示例

>>> from sympy.combinatorics.graycode import get_subset_from_bitstring
>>> get_subset_from_bitstring(['a', 'b', 'c', 'd'], '0011')
['c', 'd']
>>> get_subset_from_bitstring(['c', 'a', 'c', 'c'], '1100')
['c', 'a']

另请参见

graycode_subsets

graycode.graycode_subsets()

生成由格雷码枚举的子集。

示例

>>> from sympy.combinatorics.graycode import graycode_subsets
>>> list(graycode_subsets(['a', 'b', 'c']))
[[], ['c'], ['b', 'c'], ['b'], ['a', 'b'], ['a', 'b', 'c'],     ['a', 'c'], ['a']]
>>> list(graycode_subsets(['a', 'b', 'c', 'c']))
[[], ['c'], ['c', 'c'], ['c'], ['b', 'c'], ['b', 'c', 'c'],     ['b', 'c'], ['b'], ['a', 'b'], ['a', 'b', 'c'], ['a', 'b', 'c', 'c'],     ['a', 'b', 'c'], ['a', 'c'], ['a', 'c', 'c'], ['a', 'c'], ['a']]

另请参见

get_subset_from_bitstring

命名的群

原文：docs.sympy.org/latest/modules/combinatorics/named_groups.html

sympy.combinatorics.named_groups.SymmetricGroup(n)

生成 n 元素的对称群作为一个置换群。

解释

采取的生成器是 n-循环 (0 1 2 ... n-1) 和换位 (0 1)（在循环表示中）。（见 [1]）。生成群之后，设置了一些其基本属性。

例子

>>> from sympy.combinatorics.named_groups import SymmetricGroup
>>> G = SymmetricGroup(4)
>>> G.is_group
True
>>> G.order()
24
>>> list(G.generate_schreier_sims(af=True))
[[0, 1, 2, 3], [1, 2, 3, 0], [2, 3, 0, 1], [3, 1, 2, 0], [0, 2, 3, 1],
[1, 3, 0, 2], [2, 0, 1, 3], [3, 2, 0, 1], [0, 3, 1, 2], [1, 0, 2, 3],
[2, 1, 3, 0], [3, 0, 1, 2], [0, 1, 3, 2], [1, 2, 0, 3], [2, 3, 1, 0],
[3, 1, 0, 2], [0, 2, 1, 3], [1, 3, 2, 0], [2, 0, 3, 1], [3, 2, 1, 0],
[0, 3, 2, 1], [1, 0, 3, 2], [2, 1, 0, 3], [3, 0, 2, 1]]

参见

CyclicGroup, DihedralGroup, AlternatingGroup

参考文献

[R57]

en.wikipedia.org/wiki/Symmetric_group#Generators_and_relations

sympy.combinatorics.named_groups.CyclicGroup(n)

生成 n 阶循环群作为一个置换群。

解释

采取的生成器是 n-循环 (0 1 2 ... n-1)（在循环表示中）。生成群之后，设置了一些其基本属性。

例子

>>> from sympy.combinatorics.named_groups import CyclicGroup
>>> G = CyclicGroup(6)
>>> G.is_group
True
>>> G.order()
6
>>> list(G.generate_schreier_sims(af=True))
[[0, 1, 2, 3, 4, 5], [1, 2, 3, 4, 5, 0], [2, 3, 4, 5, 0, 1],
[3, 4, 5, 0, 1, 2], [4, 5, 0, 1, 2, 3], [5, 0, 1, 2, 3, 4]]

参见

SymmetricGroup, DihedralGroup, AlternatingGroup

sympy.combinatorics.named_groups.DihedralGroup(n)

生成二面角群 (D_n) 作为一个置换群。

解释

二面角群 (D_n) 是正规 n-边形的对称群。采取的生成器是 n-循环 a = (0 1 2 ... n-1)（n-边形的旋转）和 b = (0 n-1)(1 n-2)...（n-边形的反射）在循环旋转中。很容易看出它们满足 a**n = b**2 = 1 和 bab = ~a，因此它们确实生成了 (D_n)（见 [1]）。生成群之后，设置了一些其基本属性。

例子

>>> from sympy.combinatorics.named_groups import DihedralGroup
>>> G = DihedralGroup(5)
>>> G.is_group
True
>>> a = list(G.generate_dimino())
>>> [perm.cyclic_form for perm in a]
[[], [[0, 1, 2, 3, 4]], [[0, 2, 4, 1, 3]],
[[0, 3, 1, 4, 2]], [[0, 4, 3, 2, 1]], [[0, 4], [1, 3]],
[[1, 4], [2, 3]], [[0, 1], [2, 4]], [[0, 2], [3, 4]],
[[0, 3], [1, 2]]]

参见

SymmetricGroup, CyclicGroup, AlternatingGroup

参考文献

[R58]

en.wikipedia.org/wiki/Dihedral_group

sympy.combinatorics.named_groups.AlternatingGroup(n)

生成 n 元素的交错群作为一个置换群。

解释

对于 n > 2，采取的生成器是 (0 1 2), (0 1 2 ... n-1) 对于奇数 n 和 (0 1 2), (1 2 ... n-1) 对于偶数 n（见 [1], p.31, ex.6.9.）。生成群之后，设置了一些其基本属性。处理了 n = 1, 2 的情况。

例子

>>> from sympy.combinatorics.named_groups import AlternatingGroup
>>> G = AlternatingGroup(4)
>>> G.is_group
True
>>> a = list(G.generate_dimino())
>>> len(a)
12
>>> all(perm.is_even for perm in a)
True

参见

SymmetricGroup, CyclicGroup, DihedralGroup

参考文献

[R59]

Armstrong, M. “Groups and Symmetry”

sympy.combinatorics.named_groups.AbelianGroup(*cyclic_orders)

返回具有给定阶数的循环群的直积。

解释

根据有限阿贝尔群的结构定理（[1]），每个有限阿贝尔群都可以写成有限多个循环群的直积。

例子

>>> from sympy.combinatorics.named_groups import AbelianGroup
>>> AbelianGroup(3, 4)
PermutationGroup([
 (6)(0 1 2),
 (3 4 5 6)])
>>> _.is_group
True

另见

DirectProduct

参考文献

[R60]

groupprops.subwiki.org/wiki/Structure_theorem_for_finitely_generated_abelian_groups

Galois 群

原文：docs.sympy.org/latest/modules/combinatorics/galois.html

构造对称群的可迁子群，在 Galois 理论中很有用。

除了构造PermutationGroup类的实例以表示小(n)的(S_n)的可迁子群外，此模块还为这些群提供名称。

在某些应用中，知道群的名称可能比接收PermutationGroup类的实例并额外工作来确定群更可取。

名称是此模块中定义的Enum类的实例。有了名称，可以使用名称的get_perm_group方法检索PermutationGroup。

此模块中用于群的名称取自[1]。

参考文献

[R41]

Cohen, H. 计算代数数论课程.

class sympy.combinatorics.galois.S6TransitiveSubgroups(value, names=<not given>, *values, module=None, qualname=None, type=None, start=1, boundary=None)

S6 的可迁子群的名称。

class sympy.combinatorics.galois.S5TransitiveSubgroups(value, names=<not given>, *values, module=None, qualname=None, type=None, start=1, boundary=None)

S5 的可迁子群的名称。

class sympy.combinatorics.galois.S4TransitiveSubgroups(value, names=<not given>, *values, module=None, qualname=None, type=None, start=1, boundary=None)

S4 的可迁子群的名称。

class sympy.combinatorics.galois.S3TransitiveSubgroups(value, names=<not given>, *values, module=None, qualname=None, type=None, start=1, boundary=None)

S3 的可迁子群的名称。

class sympy.combinatorics.galois.S2TransitiveSubgroups(value, names=<not given>, *values, module=None, qualname=None, type=None, start=1, boundary=None)

S2 的可迁子群的名称。

class sympy.combinatorics.galois.S1TransitiveSubgroups(value, names=<not given>, *values, module=None, qualname=None, type=None, start=1, boundary=None)

S1 的可迁子群的名称。

sympy.combinatorics.galois.four_group()

返回 Klein 四群作为 S4 的可迁子群的表示。

sympy.combinatorics.galois.M20()

返回 M20 的元循环群的表示，这是 S5 的可迁子群，也是 5 次多项式的可能 Galois 群之一。

笔记

见[1]，第 323 页。

sympy.combinatorics.galois.S3_in_S6()

返回 S3 作为 S6 的可迁子群的表示。

笔记

通过将群视为三角柱的对称性来找到表示。

sympy.combinatorics.galois.A4_in_S6()

返回 A4 作为 S6 的可迁子群的表示。

笔记

这是使用find_transitive_subgroups_of_S6()计算得出的。

sympy.combinatorics.galois.S4m()

返回 S4-作为 S6 的可迁子群的表示。

笔记

这是使用find_transitive_subgroups_of_S6()计算得出的。

sympy.combinatorics.galois.S4p()

返回 S4+作为 S6 的可迁子群的表示。

笔记

这是使用find_transitive_subgroups_of_S6()计算得出的。

sympy.combinatorics.galois.A4xC2()

返回(A4 x C2)作为 S6 的可迁子群的表示。

笔记

这是使用find_transitive_subgroups_of_S6()计算得出的。

sympy.combinatorics.galois.S4xC2()

返回(\boldsymbol{(S4 \times C2)})的表示，作为 S6 的一个传递子群。

注释

这是使用find_transitive_subgroups_of_S6()计算得出的。

sympy.combinatorics.galois.G18()

返回 G18 群的表示，这是 S6 的一个传递子群，同构于 C3² 与 C2 的半直积。

注释

这是使用find_transitive_subgroups_of_S6()计算得出的。

sympy.combinatorics.galois.G36m()

返回 G36-群的表示，这是 S6 的一个传递子群，同构于 C3² 与 C2² 的半直积。

注释

这是使用find_transitive_subgroups_of_S6()计算得出的。

sympy.combinatorics.galois.G36p()

返回 G36+群的表示，这是 S6 的一个传递子群，同构于 C3² 与 C4 的半直积。

注释

这是使用find_transitive_subgroups_of_S6()计算得出的。

sympy.combinatorics.galois.G72()

返回 G72 群的表示，这是 S6 的一个传递子群，同构于 C3² 与 D4 的半直积。

注释

见[1]，第 325 页。

sympy.combinatorics.galois.PSL2F5()

返回(\boldsymbol{PSL_2(\mathbb{F}_5)})群的表示，作为 S6 的一个传递子群，同构于(\boldsymbol{A_5})。

注释

这是使用find_transitive_subgroups_of_S6()计算得出的。

sympy.combinatorics.galois.PGL2F5()

返回(\boldsymbol{PGL_2(\mathbb{F}_5)})群的表示，作为 S6 的一个传递子群，同构于(\boldsymbol{S_5})。

注释

见[1]，第 325 页。

sympy.combinatorics.galois.find_transitive_subgroups_of_S6(*targets, print_report=False)

搜索(\boldsymbol{S_6})的某些传递子群。

对称群(\boldsymbol{S_6})有 16 个不同的传递子群，直到共轭。有些比其他的更容易构造。例如，二面角群(\boldsymbol{D_6})可以立即找到，但如何在(\boldsymbol{S_6})内实现(\boldsymbol{S_4})或(\boldsymbol{S_5})的传递性则一点也不明显。

在某些情况下，有可以使用的众所周知的构造。例如，(\boldsymbol{S_5})同构于(\boldsymbol{PGL_2(\mathbb{F}_5)})，它在射影线(\boldsymbol{P¹(\mathbb{F}_5)})上的自然作用，一个包含 6 个元素的集合。

在缺少这样的特殊构造的情况下，我们可以简单地搜索生成元。例如，可以通过这种方式在(\boldsymbol{S_6})内找到(\boldsymbol{A_4})和(\boldsymbol{S_4})的传递实例。

一旦我们进行这样的搜索，然后通过简单的搜索，甚至可以更容易（虽然不太优雅地）找到像(\boldsymbol{S_5})这样的群，这些群确实具有特殊的构造。

此函数定位 S6 中以下传递子群的生成元：

(\boldsymbol{A_4})
(\boldsymbol{S_4^-})（(\boldsymbol{S_4})不包含在(\boldsymbol{A_6})中）
(\boldsymbol{S_4^+})（(\boldsymbol{S_4})包含在(\boldsymbol{A_6})中）
(\boldsymbol{A_4 \times C_2})
(\boldsymbol{S_4 \times C_2})
(\boldsymbol{G_{18} = C_3² \rtimes C_2})
(G_{36}^- = C_3² \rtimes C_2²)
(G_{36}^+ = C_3² \rtimes C_4)
(G_{72} = C_3² \rtimes D_4)
(A_5)
(S_5)

注意：这些组的每一个在该模块中还有一个专用函数，可以立即返回使用此搜索过程找到的生成器的组。

搜索过程记录了这些生成器是如何找到的。此外，由于置换群元素生成的随机性，可以再次调用它，以便（可能）获得同一组的不同生成器。

参数：

targets : S6TransitiveSubgroups 值的列表

您想要查找的组。

print_report : 布尔值（默认为 False）

如果为 True，则打印每个组找到的生成器到标准输出。

字典

将targets中的每个名称映射到找到的PermutationGroup。

参考文献

[R43]

zh.wikipedia.org/wiki/射影线性群#特殊同构

[R44]

zh.wikipedia.org/wiki/对称群和交错群的自同构#PGL%282,5%29

群组数量

原文：docs.sympy.org/latest/modules/combinatorics/group_numbers.html

sympy.combinatorics.group_numbers.is_nilpotent_number(n) → bool

检查 (n) 是否为幂零数。如果一个数 (n) 的任意有限阶群都是幂零群，则称其为幂零数。详细信息参见[R48]。

示例

>>> from sympy.combinatorics.group_numbers import is_nilpotent_number
>>> from sympy import randprime
>>> is_nilpotent_number(21)
False
>>> is_nilpotent_number(randprime(1, 30)**12)
True

参考文献

[R48] (1,2)

Pakianathan, J., Shankar, K., Nilpotent Numbers, The American Mathematical Monthly, 107(7), 631-634.

[R49]

oeis.org/A056867

sympy.combinatorics.group_numbers.is_abelian_number(n) → bool

检查 (n) 是否为阿贝尔数。如果一个数 (n) 的任意有限阶群都是阿贝尔群，则称其为阿贝尔数。详细信息参见[R50]。

示例

>>> from sympy.combinatorics.group_numbers import is_abelian_number
>>> from sympy import randprime
>>> is_abelian_number(4)
True
>>> is_abelian_number(randprime(1, 2000)**2)
True
>>> is_abelian_number(60)
False

参考文献

[R50] (1,2)

Pakianathan, J., Shankar, K., Nilpotent Numbers, The American Mathematical Monthly, 107(7), 631-634.

[R51]

oeis.org/A051532

sympy.combinatorics.group_numbers.is_cyclic_number(n) → bool

检查 (n) 是否为循环数。如果一个数 (n) 的任意有限阶群都是循环群，则称其为循环数。详细信息参见[R52]。

示例

>>> from sympy.combinatorics.group_numbers import is_cyclic_number
>>> from sympy import randprime
>>> is_cyclic_number(15)
True
>>> is_cyclic_number(randprime(1, 2000)**2)
False
>>> is_cyclic_number(4)
False

参考文献

[R52] (1,2)

Pakianathan, J., Shankar, K., Nilpotent Numbers, The American Mathematical Monthly, 107(7), 631-634.

[R53]

oeis.org/A003277

sympy.combinatorics.group_numbers.groups_count(n)

数量为 (n) 的群组。在[R54]中，给出了 gnu(n)，因此我们在这里也采用这种符号。

参数：

n : 整数

n 是正整数

整数 : gnu(n)

引发：

数值错误

数量为 n 的群组尚不明确或未实现。例如，gnu((2^{11})) 尚不为人知。另一方面，gnu(12) 已知为 5，但在此函数中尚未实现。

示例

>>> from sympy.combinatorics.group_numbers import groups_count
>>> groups_count(3) # There is only one cyclic group of order 3
1
>>> # There are two groups of order 10: the cyclic group and the dihedral group
>>> groups_count(10)
2

另请参阅

is_cyclic_number

(n) 是循环数当且仅当 gnu(n) = 1

参考文献

[R54] (1,2)

John H. Conway, Heiko Dietrich 和 E.A. O’Brien, Counting groups: gnus, moas and other exotica The Mathematical Intelligencer 30, 6-15 (2008) doi.org/10.1007/BF02985731

[R55]

oeis.org/A000001

Utilities

原文：docs.sympy.org/latest/modules/combinatorics/util.html

sympy.combinatorics.util._base_ordering(base, degree)

Order ({0, 1, \dots, n-1}) so that base points come first and in order.

Parameters:

base : the base

degree : the degree of the associated permutation group

Returns:

A list base_ordering such that base_ordering[point] is the

number of point in the ordering.

Examples

>>> from sympy.combinatorics import SymmetricGroup
>>> from sympy.combinatorics.util import _base_ordering
>>> S = SymmetricGroup(4)
>>> S.schreier_sims()
>>> _base_ordering(S.base, S.degree)
[0, 1, 2, 3]

Notes

This is used in backtrack searches, when we define a relation (\ll) on the underlying set for a permutation group of degree (n), ({0, 1, \dots, n-1}), so that if ((b_1, b_2, \dots, b_k)) is a base we have (b_i \ll b_j) whenever (i<j) and (b_i \ll a) for all (i\in{1,2, \dots, k}) and (a) is not in the base. The idea is developed and applied to backtracking algorithms in [1], pp.108-132. The points that are not in the base are taken in increasing order.

References

[R95]

Holt, D., Eick, B., O’Brien, E. “Handbook of computational group theory”

sympy.combinatorics.util._check_cycles_alt_sym(perm)

Checks for cycles of prime length p with n/2 < p < n-2.

Explanation

Here (n) is the degree of the permutation. This is a helper function for the function is_alt_sym from sympy.combinatorics.perm_groups.

Examples

>>> from sympy.combinatorics.util import _check_cycles_alt_sym
>>> from sympy.combinatorics import Permutation
>>> a = Permutation([[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10], [11, 12]])
>>> _check_cycles_alt_sym(a)
False
>>> b = Permutation([[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6], [7, 8, 9, 10]])
>>> _check_cycles_alt_sym(b)
True

SymPy-1-13-中文文档-十一-

SymPy 1.13 中文文档（十一）

多面体

Prufer 序列

子集

Gray 码

命名的群

Galois 群

参考文献

群组数量

Utilities