茶艺师学算法打卡19：动态规划茶艺师学算法打卡19：动态规划学习笔记对于我这茶艺师而已，递归是算法里的“大山”之一，

茶艺师学算法打卡19：动态规划

学习笔记

对于我这茶艺师而已，递归是算法里的“大山”之一，而动态规划就是另外一座“大山”。
我遇到动态规划的题目，不发怵是不可能的。
里面有着众多的变形题型，由于存在着代码优化，直接背这些题目的代码反而还会坠入迷雾里。
真的只有熟练其解题思路与方法才能“以不变应万变”。
幸好，关于动态规划的解题思路与方法，也是有着众多门派，在里头，总有“一款属于你的”。
这里就用一道经典题 ACW2. 01背包问题，来展示2种不同思路吧。

题目说明
有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi ，价值是 wi 。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V ，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi ，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
$0<N, V≤1000$
$0<vi, wi≤1000$

输入样例

输出样例：

解法1
先写出其暴力做法，关注人力模拟时的做的决策，依此写出状态转移方程，最后就是确定边界与目标，递推实现。
这里很明显，用 $F[i, j]$ 表示“从前 i 个物品中选了总体积为 j 的物品放入背包，其价值的最大值”。
那么在选第 i 个物品时，就有两个决策：

决策1：不放第 i 个物品，那么 $F[i, j] = F[i - 1, j]$
决策2：放第 i 个物品，那么状态则是从“没选第 i 个物品” 转移过来加上这第 i 个物品的价值 $W_{i}$ ，既 $F[i, j] = F[i - 1, j - V_{i}] + W_{i},$ $if$ $j \geq V_{i}$

初值： $F[0, 0] = 0$ ，其他位置负无穷

目标： $\max\limits_{0 \leq j \leq M} F[N][j]$

示例代码

f := make([][]int, n + 1) 
for i := 0; i <= n; i++ {
    f[i][] := make([]int, V + 1)
    for j := 0; j <= V; j++ {
        f[i][j] = -1<<31-1
    }
}
f[0][0] = 0  
for i := 1; i <= n; i++ {
    for j := 0; j <= V; j++ {
        f[i][j] = f[i - 1][j]
    }
    for j := v[i]; j <= V; j++{
        f[i][j] = max(f[i][j] ,f[i - 1][j - v[i]] + w[i])
    }
}

ans := 0
for j := 0; j <=V; j++ {
    ans = max(ans, f[N][j])
}

解法2
直接看图

经过以上分析，我们得到状态转移方程
$f(i, j) = max(f(i - 1, j), f(i - 1, j - vi) + wi)$

示例代码1

    for i := 1; i <= n; i++ {
        for j := 0; j <= m; j++ {
               f[i][j] = f[i - 1][j]
               if j >= v[i] {
                   f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i])
               }
        }
    }

观察该方程，我们能发现：

i 这一维，只用到 i - 1，这里就可以滚动数组，只保留上一层的数据，优化空间使用
j 这一维，要么是 j，要么是 j - vi 这个比自己小的数，那么 j 就可以从大到小遍历

示例代码2

    for i := 1; i <= n; i++ {
        for j := m; j >= v[i]; j-- {
                f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i])
        }
    }