求解某个点关于一条直线的垂足和对称点是几何运算中经常遇到的问题。
本篇介绍如何用 Python 的 Sympy 库来轻松的找到垂足和对称点，不需要进行任何代数公式的推导。

1. 垂足问题

垂足是指从一点向直线作垂线，垂线与直线的交点即为垂足。
所以，知道任意点的坐标 $P_0 (x_0, y_0)$ 和直线的方程 $y = kx+b$ ，就能算出垂足的坐标。

比如，已知三个点的坐标： $P_0(x_0, y_0), P_1(x_1, y_1), P_2(x_2, y_2)$ ，其中 $P_1$ 和 $P_2$ 确定一条直线，
求点 $P_0$ 在直线上的垂足。
解决的思路：

根据 $P_1(x_1, y_1), P_2(x_2, y_2)$ 算出直线的方程 $y = kx+b$
假设垂足坐标 $P(x, y)$
垂足在直线上，代入坐标可得 $kx+b-y = 0$
互相垂直的两个向量 $PP_0$ 和 $P_1P_2$ 内积为 $0$ ，

即 $(x - x_0) \times (x_1 - x_2) + (y - y_0) \times (y_1 - y_2)=0$

根据上面步骤3或4中的两个方程，就能算出垂足的坐标。
当然，借助Sympy库，我们不用自己去推导计算过程，只要列出解决的思路即可。

# 根据两点求直线的斜率和截距
def get_line(p1, p2):
    k = Symbol("k")
    b = Symbol("b")

    expr1 = p1[0] * k + b - p1[1]
    expr2 = p2[0] * k + b - p2[1]

    ret = solve((expr1, expr2), dict=True)
    return {"k": ret[0][k], "b": ret[0][b]}

# 已知三个点
def get_foot_from_points(p1, p2, p0):
    # 垂足的坐标
    x = Symbol("x")
    y = Symbol("y")
    l = get_line(p1, p2)

    # 垂足P位于直线上
    expr1 = x * l["k"] + l["b"] - y
    
    # 向量 PP0 和 P1P2 的内积为0
    expr2 = (x - p0[0]) * (p1[0] - p2[0]) + (y - p0[1]) * (p1[1] - p2[1])

    ret = solve((expr1, expr2), dict=True)
    return np.array([float(ret[0][x]), float(ret[0][y]), 0])

2. 对称点问题

对称点则是指某一点相对于直线对称的点。
对称点 $P$ 的计算思路和计算垂足类似，其实某个点 $P_0$ 与它对称点 $P$ 的中点就是垂足。

所以，已知三个点的坐标： $P_0(x_0, y_0), P_1(x_1, y_1), P_2(x_2, y_2)$ ，其中 $P_1$ 和 $P_2$ 确定一条直线 $l$ ，
则点 $P_0$ 对于直线 $l$ 的对称点 $P$ 的计算思路：

根据 $P_1(x_1, y_1), P_2(x_2, y_2)$ 算出直线的方程 $y = kx+b$
假设对称点坐标 $P(x, y)$
$P_0$ 和对称点 $P$ 的中点在直线上，代入坐标可得 $k\times(x+x_0)/2+b-(y+y_0)/2 = 0$
互相垂直的两个向量 $PP_0$ 和 $P_1P_2$ 内积为 $0$ ，

即 $(x - x_0) \times (x_1 - x_2) + (y - y_0) \times (y_1 - y_2)=0$

根据上面步骤3或4中的两个方程，就能算出对称点的坐标。

# 关于直线的对称点
# p1和p2在直线l上，计算p0关于l的对称点
def symmetry_point(p1, p2, p0):
    # 对称点坐标
    x = Symbol("x")
    y = Symbol("y")

    l = get_line(p1, p2)

    # (x, y) 和 p 的中点在直线上
    expr1 = l["k"] * (x + p0[0]) / 2 + l["b"] - (y + p0[1]) / 2
    # 内积为0
    expr2 = (x - p0[0]) * (p1[0] - p2[0]) + (y - p0[1]) * (p1[1] - p2[1])
    ret = solve((expr1, expr2), dict=True)

    return np.array((float(ret[0][x]), float(ret[0][y]), 0))

3. 总结

再一次看到Sympy的符号化计算的强大之处，它节约了我们在求解问题时计算和推导的时间，
而这部分恰恰是耗时最多的部分。

活用Sympy库，极大的降低了用程序来解决代数和几何问题的门槛。

Python Sympy：轻松定位垂足和对称点

1. 垂足问题

2. 对称点问题

3. 总结