引言

在前面了解了渲染方程和BRDF函数之后，对于如何采样也需要进行一个分析，本文主要通过数学的方式进行分析。

蒙特卡洛积分

在渲染的过程中，因为噪音的存在，我们的渲染还是会很多的问题，主要是采用是是均匀采样，然后光线不一定是这样的，所以需要重新设定采样规则，蒙特卡洛积分是针对数值解无法求解的情况下，用采样的方式来进行拟合求解的思路，在前面使用的均匀采样的规则:

其中f(x)是变量分布函数，且x的分布为[a,b],为了更好的采样的结果，我们需要更改采样方式，采用非均匀的采样。

设p(x)是f(x)的概率密度函数，则有：

这个的过程并不复杂，现在需要了解如何把这个采样值尽可能的有效，这里试计算一下它的方差：

不难了解到，采用数N的提升确实可以降低方差，第二点就是需要合适的p(x)才可以尽量的获得更好的效果，当然最好的效果就是p(x)=k*f(x)。这里可以做到无偏估计。

现在看一下渲染方程：

其中的f(x)是:

重要性采样

如何获得最佳的p(x)就是现在最重要的问题，一般有二种方法，一是逆采样法，然后是拒绝采样法。

先了解逆采样法，计算机一般先生成一个均匀分布，U~U(0,1),目标是X的非均匀分布，所以先需要一个T分布，使T(U)和X同分布，满足:

现在求一下X的分布，设f(x)是X的概率密度函数：

可能看着有一点的抽象，简单解释一下，由于是一个分布函数，在全部可能性的和为1，被积分函数为f(x),需要最优的采样，需要x的概率密度函数，也就是p(x),计算器累计的概率密度函数，然后取逆函数，就是我们需要得到的采样函数，这里简单的给出一个例子：

拒绝采样法非本文的重点，不做多余解释，也有一些更好的采样的方式，也不再进行解释，如吉布斯采样等。

渲染中的PDF选择

由上文知道，在渲染方程中的积分部分有：

主要为三个部分组成，分别是BRDF函数，光线，和cos值。关于这里的一些东西，在后面了解PBR等在进行细致的分析。