图 (Graph)

图论是数学上的一个分支，在数学定义上，树是图的一种。而图本身是研究事务之间关系的。本文介绍关于图这种数据结构的一些背景知识、术语、种类及表示方法，为接下来的实现做好基础准备。

1. 图的故事

• 欧拉和七座桥的故事 -- 抽象化的力量：一笔画的前提是奇数结点的数目不是0个就是两个
• 欧拉开创的图论

2. 图的组成

图由顶点(V)和边(E)组成，其中顶点表示的是事物，而边表示的则是所连接的两个事物之间的关系。

3. 图和树

• 树可以看成是特殊的图；在树中没有环路的出现
• 所谓环路可以理解成为从一个结点出发，在不走回头路的情况下能够重新回到起始结点的路线。
• 也就是说树不能表示“环”这种概念，无论用什么样的树都不可以，但是图可以

4. 图的应用

• 地铁线路网络
• 人与人之间的关系网

5. 图的种类

• 有向图：从一个结点发出的信息只能在边上以固定的方向传播，而不能反过来
• 无向图：两个结点之间信息的传播是双向的
• 无权图：图上面上的所有边都是平等的，不存在那条边比较重要的情况；边的存在只能表示某两个结点是有关系的！
• 有权图：图上的边除了能够表示两个结点之间有关系，还能表示其他含义，比如从A站点到B站点的距离或者票价。

6. 图相关术语

• 1. 度：和一个结点相邻的结点的数量
• 2. 路径：从一个结点到另外一个结点途经的结点形成的序列（不是唯一的！）
• 3. 回路：一种特殊的路径，回路的起始结点和终止结点是相同的
• 4. 出度：对于有向图来说是此节点指向其他结点的边的数目
• 5. 入度：对于有向图来说是其他结点指向此节点的边的数目

7. 图的表示

• 结点的表示：可以使用数组中的元素表示
• 边如何表示？
  • 1. 用邻接矩阵：
    • 用二维矩阵中元素的值表示，比如：matrix[0][2]=1就表示0号结点和2号结点之间是有边的；而matrix[2][3]=0就表示2号结点和3号结点之间是没有边的
    • 上述用来表示图的做法成为邻接矩阵；显然邻接矩阵既可以表示有向图和无向图，也可以表示无权图和有权图（matrix[0][2]=1但是matrix[2][0]=0 或者 matrix[0][2]=1当时matrix[0][1]=3）
    • 对称的邻接矩阵表示一个无向图
    • 邻接矩阵的问题在于：此矩阵是一个稀疏矩阵，容易浪费大量的存储空间
  • 2. 用邻接表：
    • 邻接表本质上是一个链表，例如：[[1,4], [0,2], [1], [], [0]]表示的含义就是：0号结点和1号，4号结点关联；1号结点和0号，2号关联；2号结点和1号结点关联；4号结点和0号结点关联。
    • 显然，邻接表可以用来表示有向图，但是不能用来表示有权图。
    • 对于邻接表来说，计算一个结点的出度是非常简单的，就是元素数组中元素的个数，比如：[[1,4], [0,2], [1], [], [0]]中0号结点对应的是下标为0的元素[1,4]，有两个元素1和4，所以0结点的出度是2.
    • 然而，计算结点的入度是非常麻烦的，还需要单独构造一个逆邻接表，所以出度使用的比较少

8. 图数据结构中的属性和方法

• 属性：
  • 1. vertexes: 是一个数组，数组中的元素是顶点；
  • 2. adjList：是一个字典，用来存储边； 注意：这里没有用二维数组来做，而是用一维的数组存储顶点信息；用二维的字典存储边的信息。所以在此使用的是第二种图的表示方法--邻接表
• 方法：
  • 1. addVertex: 向图中增加一个顶点的方法
  • 2. addEdge：想图中增加一个边的方法
  • 3. toString：以某种规定的方式将邻接表打印出来
  • 4. 遍历方法：包括深度优先遍历和广度优先遍历两种方式