1143 最长公共子序列
思路
本题和 动态规划：718. 最长重复子数组 区别在于这里不要求是连续的了，但要有相对顺序，即："ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。
继续动规五部曲分析如下：
- 确定dp数组（dp t****able）以及下标的含义
dp[i][j]：长度为[0, i - 1]的字符串text1与长度为[0, j - 1]的字符串text2的最长公共子序列为dp[i][j]
（同样定义长度为[0, i - 1] 可以让初始化简单，如果定义 [0, i] 初始化时需要for循环遍历）与 718 最长重复子数组 的定义同理
- 确定递推公式
主要就是两大情况： text1[i - 1] 与 text2[j - 1] 相同 或 不相同
如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，那么找到了一个公共元素，所以dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同，那就看看text1[0, i - 2]与text2[0, j - 1]的最长公共子序列 和 text1[0, i - 1]与text2[0, j - 2]的最长公共子序列，取最大的。
即：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
代码如下：
if (n1[i - 1] == n2[j - 1]){
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
}
else {
dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}
- dp数组如何初始化
先看看dp[i][0]应该是多少呢？
由于定义的是i - 1，因此test1[0, i-1]和空串的最长公共子序列自然是0，所以dp[i][0] = 0;
同理dp[0][j]也是0。
其他下标都是随着递推公式逐步覆盖，初始为多少都可以，那么就统一初始为0。
- 确定遍历顺序
从递推公式，可以看出，有三个方向可以推出dp[i][j]，如图：
那么为了在递推的过程中，这三个方向都是经过计算的数值，所以要从前向后，从上到下来遍历这个矩阵。
- 举例推导dp数组
以输入：text1 = "abcde", text2 = "ace" 为例，dp状态如图：
最后红框dp[text1.size()][text2.size()]为最终结果
以上分析完毕，代码如下：
public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
char[] n1 = text1.toCharArray();
char[] n2 = text2.toCharArray();
int[][] dp = new int[text1.length() + 1][text2.length() + 1];
for (int i = 1; i <= text1.length(); i++){
for (int j = 1; j <= text2.length(); j++){
if (n1[i - 1] == n2[j - 1]){
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
}
else {
dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}
}
}
return dp[text1.length()][text2.length()];
}
- 时间复杂度: O(n * m)，其中 n 和 m 分别为 text1 和 text2 的长度
- 空间复杂度: O(n * m)
1035 不相交的线
和上一题思路一样 看i - 1 与 j - 1元素是否相等 相等则取dp[i - 1][j - 1] + 1 不相等则取 i - 2 与 j - 2 的最大值
思路
绘制一些连接两个数字 A[i] 和 B[j] 的直线，只要 A[i] == B[j]，且直线不能相交！
直线不能相交，这就是说明在字符串A中 在匹配一个与字符串B相同的子序列，且这个子序列不能改变相对顺序，只要相对顺序不改变，链接相同数字的直线就不会相交。
拿示例一A = [1,4,2], B = [1,2,4]为例，相交情况如图：
其实也就是说A和B的最长公共子序列是[1,4]，长度为2。 这个公共子序列指的是相对顺序不变（即数字4在字符串A中数字1的后面，那么数字4也应该在字符串B数字1的后面）
这么分析完之后，大家可以发现：本题说是求绘制的最大连线数，其实就是求两个字符串的最长公共子序列的长度！
那么本题思路就和上一题一样的了。（代码改一下也是一样的）
代码如下：
public int maxUncrossedLines(int[] nums1, int[] nums2) {
int len1 = nums1.length;
int len2 = nums2.length;
int[][] dp = new int[len1 + 1][len2 + 1];
for (int i = 1; i <= len1; i++){
for (int j = 1; j <= len2; j++){
if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1])
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
else dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}
}
return dp[len1][len2];
}
- 时间复杂度: O(n * m)
- 空间复杂度: O(n * m)
53 最大子序和
这道题之前我们刷贪心专题的时候用贪心算法解决过一次，贪心算法：最大子序和
思路
这次我们用动态规划的思路再来分析一次。
动规五部曲如下：
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i]：包括下标i（以nums[i]为结尾）的最大连续子序列和为dp[i]。
- 确定递推公式
dp[i]只有两个方向可以推出来：
- dp[i - 1] + nums[i]，即：nums[i]加入当前连续子序列和
- nums[i]，即：从头开始计算当前连续子序列和
一定是取最大的，所以dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);
- dp数组如何初始化
从递推公式可以看出来dp[i]是依赖于dp[i - 1]的状态，dp[0]就是递推公式的基础。
根据dp[i]的定义，很明显dp[0]应为nums[0]即dp[0] = nums[0]。
- 确定遍历顺序
递推公式中dp[i]依赖于dp[i - 1]的状态，需要从前向后遍历。
- 举例推导dp数组
以示例一为例，输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]，对应的dp状态如下：
注意最后的结果可不是dp[nums.size() - 1]！ ，而是dp[6]。
在回顾一下dp[i]的定义：包括下标i之前的最大连续子序列和为dp[i]。
那么我们要找最大的连续子序列，就应该找每一个i为终点的连续最大子序列。
所以在递推公式的时候，可以直接选出最大的dp[i]。
以上动规五部曲分析完毕，完整代码如下：
public int maxSubArray(int[] nums) {
// 方法2: 动态规划
int[] dp = new int[nums.length];
dp[0] = nums[0];
int max = nums[0];
for (int i = 1; i < nums.length; i++){
dp[i] = Math.max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);
max = Math.max(dp[i], max);
}
return max;
}
- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(n)
学习资料：
