300 最长递增子序列

可断断续续找到最长的递增序列

✍手写分析

动规五部曲分析

1. dp[i]的定义

本题中，正确定义dp数组的含义十分重要。
dp[i]表示i之前包括i的以nums[i]结尾的最长递增子序列的长度

为什么一定表示 “以nums[i]结尾的最长递增子序” ，因为我们在 做 递增比较的时候，如果比较 nums[j] 和 nums[i] 的大小，那么两个递增子序列一定分别以nums[j]为结尾 和 nums[i]为结尾， 要不然这个比较就没有意义了，不是尾部元素的比较那么 如何算递增呢。

2. 递推公式

位置i的最长升序子序列等于j从0到i-1各个位置的最长升序子序列 + 1 的最大值。
所以：if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);

3. dp[i]的初始化

每一个i，对应的dp[i]（即最长递增子序列）起始大小至少都是1.

4. 确定遍历顺序

dp[i] 是有0到i-1各个位置的最长递增子序列 推导而来，那么遍历i一定是从前向后遍历。
j其实遍历到i0到i-1就可以，那么是从前到后，还是从后到前遍历都无所谓，只要把 0 到 i-1 的元素都遍历了就行了。 所以默认习惯 从前向后遍历。
遍历i的循环在外层，遍历j则在内层，代码如下：

for (int i = 1; i < nums.length; i++){
    for (int j = 0; j < i; j++){
        if (nums[j] < nums[i]){
            dp[i] = Math.max(dp[j] + 1,dp[i]);
        }
    }
}

5. 举例推导dp数组

输入：[0,1,0,3,2]，dp数组的变化如下：

以上五部分析完毕，代码如下：

（注意：最后取结果找最大值可以融合进两层for循环里）

public int lengthOfLIS(int[] nums) {
    int[] dp = new int[nums.length];
    Arrays.fill(dp,1);


    for (int i = 1; i < nums.length; i++){
        for (int j = 0; j < i; j++){
            if (nums[j] < nums[i]){
                dp[i] = Math.max(dp[j] + 1,dp[i]);
            }
        }
    }

    // 取结果
    int max = 0;
    for (int num : dp) {
        if (num > max)
            max = num;
    }
    return max;
}

• 时间复杂度: O(n^2)
• 空间复杂度: O(n)

674 最长连续递增序列

需要连续的递增序列

动规五部曲分析

动规五部曲分析如下：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i]：以下标i为结尾的连续递增的子序列长度为dp[i]。
注意这里的定义，一定是以下标i为结尾，并不是说一定以下标0为起始位置。

2. 确定递推公式

如果 nums[i] > nums[i - 1]，那么以 i 为结尾的连续递增的子序列长度 一定等于 以i - 1为结尾的连续递增的子序列长度 + 1 。
即：dp[i] = dp[i - 1] + 1;
注意这里就体现出和上一题的区别！
因为本题要求连续递增子序列，所以就只要比较nums[i]与nums[i - 1]，而不用去比较nums[j]与nums[i] （j是在0到i之间遍历）。
既然不用j了，那么也不用两层for循环，本题一层for循环就行，比较nums[i] 和 nums[i - 1]。

3. dp数组如何初始化

以下标i为结尾的连续递增的子序列长度最少也应该是1，即就是nums[i]这一个元素。
所以dp[i]应该初始1;

4. 确定遍历顺序

从递推公式上可以看出， dp[i + 1]依赖dp[i]，所以一定是从前向后遍历。代码如下：

for (int i = 1; i<nums.length; i++){
    if (nums[i] > nums[i - 1])
        dp[i] = dp[i - 1] + 1;
}

5. 举例推导dp数组

已输入nums = [1,3,5,4,7]为例，dp数组状态如下：

注意这里要取dp[i]里的最大值，所以dp[2]才是结果！
以上分析完毕，代码如下：

public int findLengthOfLCIS(int[] nums) {
    // 异常情况
    if (nums.length == 0) return 0;

    int[] dp = new int[nums.length];
    Arrays.fill(dp,1);

    for (int i = 1; i<nums.length; i++){
        if (nums[i] > nums[i - 1])
            dp[i] = dp[i - 1] + 1;
    }

    // 取最大值
    int max = 1;
    for (int i : dp) {
        if (i > max)
            max = i;
    }

    return max;
}

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(n)

贪心算法

最大区别是，没有动态规划的dp数组，而是采用单一变量count记录，然后用另一个变量记录count的最大值。

这道题目也可以用贪心来做，也就是遇到nums[i] > nums[i - 1]的情况，count就++，否则count为1，记录count的最大值就可以了。
代码如下：

public static int findLengthOfLCIS(int[] nums) {
    if (nums.length == 0) return 0;
    int res = 1; // 连续子序列最少也是1
    int count = 1;
    for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
        if (nums[i] > nums[i - 1]) { // 连续记录
            count++;
        } else { // 不连续，count从头开始
            count = 1;
        }
        if (count > res) res = count;
    }
    return res;
}

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(1)

718 最长重复子数组

✍手写分析

（代码在new dp数组时应为：int[][] dp = new dp[nums1.length + 1][nums2.length + 1]）

动规五部曲分析

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j] ：以下标i - 1为结尾的A，和以下标j - 1为结尾的B，最长重复子数组长度为dp[i][j]。
（特别注意： “以下标i - 1为结尾的A” 标明一定是 以A[i-1]为结尾的字符串 ）
（定义dp[i][j]为 以下标i为结尾的A，和以下标j 为结尾的B，最长重复子数组长度详见下面拓展，实现更麻烦）

2. 确定递推公式

根据dp[i][j]的定义，dp[i][j]的状态只能由dp[i - 1][j - 1]推导出来。
即当A[i - 1] 和B[j - 1]相等的时候，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
根据递推公式可以看出，遍历i 和 j 要从1开始！

3. dp数组如何初始化

根据dp[i][j]的定义，dp[i][0] 和dp[0][j]其实都是没有意义的！
但dp[i][0] 和dp[0][j]要初始值，因为 为了方便递归公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
所以dp[i][0] 和dp[0][j]初始化为0。
举个例子A[0]如果和B[0]相同的话，dp[1][1] = dp[0][0] + 1，只有dp[0][0]初始为0，正好符合递推公式逐步累加起来。

4. 确定遍历顺序

内层外层先后遍历nums1 nums2都可以
同时题目要求长度最长的子数组的长度。所以在遍历的时候顺便把dp[i][j]的最大值记录下来。
代码如下：

for (int i = 1; i <= nums1.length; i++){
    for (int j = 1; j <= nums2.length; j++){
        if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]){
            dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
            // 取结果最大值
            max = Math.max(dp[i][j],max);
        }
    }
}

5. 举例推导dp数组

拿示例1中，A: [1,2,3,2,1]，B: [3,2,1,4,7]为例，画一个dp数组的状态变化，如下：

以上五部曲分析完毕，代码如下：

public int findLength(int[] nums1, int[] nums2) {
    int max = 0;
    int[][] dp = new int[nums1.length + 1][nums2.length + 1];

    for (int i = 1; i <= nums1.length; i++){
        for (int j = 1; j <= nums2.length; j++){
            if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]){
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                // 取结果最大值
                max = Math.max(dp[i][j],max);
            }
        }
    }
    return max;
}

• 时间复杂度：O(n × m)，n 为A长度，m为B长度
• 空间复杂度：O(n × m)

拓展

如果定义 dp[i][j]为 以下标i为结尾的A，和以下标j 为结尾的B，那么 第一行和第一列毕竟要进行初始化，如果nums1[i] 与 nums2[0] 相同的话，对应的 dp[i][0]就要初始为1， 因为此时最长重复子数组为1。 nums2[j] 与 nums1[0]相同的话，同理。
这种写法 一定要多写一段初始化的过程。
而且为了让 if (dp[i][j] > result) result = dp[i][j]; 收集到全部结果，两层for训练一定从0开始遍历，这样需要加上 && i > 0 && j > 0的判断。
详见这里👈
整体而言相对于版本一来说还是多写了不少代码。而且逻辑上也复杂了一些。 优势就是dp数组的定义，更直观一点。

学习资料：

300.最长递增子序列

674. 最长连续递增序列

718. 最长重复子数组