121 买卖股票的最佳时机
✍手写分析
动规五部曲分析：
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][0] 表示第i天持有股票所得最多现金 ，一开始现金是0，那么加入第i天买入股票现金就是 -prices[i]， 这是一个负数。
dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金
(注意这里说的是“持有”，“持有”不代表就是当天“买入”！也有可能是昨天就买入了，今天保持持有的状态*)*
- 确定递推公式
如果第 i 天持有股票即dp[i][0]， 那么可以由两个状态推出来
- 第 i-1 天持有股票，而且不卖，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][0]
- 第 i 天无持有股票，而且买入，所得现金就是买入今天的股票后所得现金即：-prices[i]
那么dp[i][0]应该选所得现金最大的，所以dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], -prices[i]);
如果第 i 天不持有股票即dp[i][1]， 也可以由两个状态推出来
- 第 i 天持有股票，并卖出股票，所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金即：prices[i] + dp[i - 1][0]
- 第 i-1 天不持有股票，继续观望，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][1]
同样dp[i][1]取最大的，dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);
这样递推公式我们就分析完了
- dp数组如何初始化
由递推公式 dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]); 和 dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);可以看出
其基础都是要从dp[0][0]和dp[0][1]推导出来。
那么dp[0][0]表示第0天持有股票，此时的持有股票就一定是买入股票了，因为不可能有前一天推出来，所以
dp[0][0] = -prices[0];
dp[0][1]表示第0天不持有股票，不持有股票那么现金就是0，所以dp[0][1] = 0;
- 确定遍历顺序
从递推公式可以看出dp[i]都是由dp[i - 1]推导出来的，那么一定是从前向后遍历。
- 举例推导dp数组
以示例1，输入：[7,1,5,3,6,4]为例，dp数组状态如下：
dp[5][1]就是最终结果。
为什么不是dp[5][0]呢？
因为本题中不持有股票状态所得金钱一定比持有股票状态得到的多！
以上分析完毕，代码如下：
public int maxProfit(int[] prices) {
// 判空
if (prices == null || prices.length == 0) return 0;
int[][] dp = new int[prices.length][2];
dp[0][0] = -prices[0];
dp[0][1] = 0;
for (int i = 1; i < prices.length; i++){
dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], -prices[i]);
dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][0] + prices[i], dp[i - 1][1]);
}
return dp[prices.length - 1][1];
}
- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(n)
从递推公式可以看出，dp[i]只是依赖于dp[i - 1]的状态。
dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], -prices[i]);
dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][0] + prices[i], dp[i - 1][1]);
那么我们只需要记录 当前天的dp状态和前一天的dp状态就可以了，可以使用滚动数组来节省空间，代码如下：
public int maxProfit(int[] prices) {
// 判空
if (prices == null || prices.length == 0) return 0;
// 优化存储空间 - 递归依赖前面的值只需要一次
int[][] dp = new int[2][2];
dp[0][0] = -prices[0];
dp[0][1] = 0;
for (int i = 1; i < prices.length; i++){
dp[i % 2][0] = Math.max(dp[(i - 1) % 2][0], -prices[i]);
dp[i % 2][1] = Math.max(dp[(i - 1) % 2][0] + prices[i], dp[(i - 1) % 2][1]);
}
return dp[(prices.length - 1) % 2][1];
}
- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(1)
122 买卖股票的最佳时机 Ⅱ
本题尝试过使用贪心算法解决 122 买卖股票的最佳时机II
思路
本题和 121. 买卖股票的最佳时机 的唯一区别是本题股票可以买卖多次了（注意只有一只股票，所以再次购买前要出售掉之前的股票）
在动规五部曲就体现在递归公式中了
这里重申一下dp数组的含义：
- dp[i][0] 表示第 i 天持有股票所得现金。
- dp[i][1] 表示第 i 天不持有股票所得最多现金
如果第i天持有股票即dp[i][0]， 那么可以由两个状态推出来
- 第 i-1 天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][0]
- 第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金减去 今天的股票价格 即：dp[i - 1][1] - prices[i]
这就是与 121. 买卖股票的最佳时机 不一样的地方
因为股票全程只能买卖一次，所以如果买入股票，那么第i天持有股票即dp[i][0]一定就是 -prices[i]。
而本题，因为一只股票可以买卖多次，所以当第 i 天买入股票的时候，所持有的现金可能有之前买卖过的利润。
那么第i天持有股票即dp[i][0]，如果是第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 减去 今天的股票价格 即：dp[i - 1][1] - prices[i]。
再来看看如果第i天不持有股票即dp[i][1]的情况， 依然与上一题一样逻辑，可以由两个状态推出来
- 第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][1]
- 第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金即：prices[i] + dp[i - 1][0]
代码如下：
public int maxProfit(int[] prices) {
// 动态规划
/*int[][] dp = new int[prices.length][2];
dp[0][0] = -prices[0];
dp[0][1] = 0;
for (int i = 1; i < prices.length; i++){
dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1 ] - prices[i]);// 唯一不同的地方
dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][0] + prices[i], dp[i - 1][1]);
return dp[prices.length - 1][1];
}
- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(n)
大家可以本题和 121. 买卖股票的最佳时机 的代码几乎一样，唯一的区别在：
dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);
这正是因为本题的股票可以买卖多次！ 所以买入股票的时候，可能会有之前买卖的利润即：dp[i - 1][1]，所以dp[i - 1][1] - prices[i]。
想到到这一点，对这两道题理解的就比较深刻了。
这里我依然给出滚动数组的版本，代码如下：
public int maxProfit(int[] prices) {
// 优化内存
int[][] dp = new int[2][2];
dp[0][0] = -prices[0];
dp[0][1] = 0;
for (int i = 1; i < prices.length; i++){
dp[i % 2][0] = Math.max(dp[(i - 1) % 2][0], dp[(i - 1) % 2][1 ] - prices[i]);
dp[i % 2][1] = Math.max(dp[(i - 1) % 2][0] + prices[i], dp[(i - 1) % 2][1]);
}
return dp[(prices.length - 1) % 2][1];
}
- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(1)
学习资料：
