几何建模与处理-数据拟合图形学有"建模"、"仿真"、"渲染"三大模块，各个模块之间又有很紧密的联系。从这篇文章开始，整

图形学有"建模"、"仿真"、"渲染"三大模块，各个模块之间又有很紧密的联系。

图形学三大模块

从这篇文章开始，整理几何建模与处理的基础知识，内容/代码主要参考中科大刘利刚老师的课程《games102-几何建模与处理基础》

数据拟合方法

根据Weierstrass逼近定理：

从多项式入手，讲4种代表性的拟合方法。先介绍原理，后提供代码及工程说明。

过两点确定一条直线 y = ax + b，解方程可以得到未知数 a、b的值。然后可以得到直线上其他点的坐标，这就是最简单的插值，此时多项式的次数为1。

如果多个点不在一条直线上呢？可以回忆下高数里的泰勒展开式，多项式可以逼近任意连续的曲线

泰勒展开式： $f(x)=\sum_{i=0}^{n-1}\alpha_i B_i(x)$ 插值 $\{P_j\}$ ，其中 $B_i(x)=x^i$

如果点比较多，则x项比较多，解方程不太容易。用lagrange插值法比较容易，理解也相对直观。

lagrange插值法：

polygon 插值

限于篇幅，不做展开。lagrange插值法原理参考:

高斯插值本质上，就是在多项式插值的基础上，将基函数从多项式 $\{1, x^1, x^2, x^3, ..., x^n\}$ ，改成高斯函数

使用 Gauss 基函数的线性组合 $f(x)=b_0 + \sum_{i=1}^{n}b_i g_i(x)$ 插值 $\{P_j\}$ ，其中

g(x)=\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right),\mu=x_1,x_2,\dots,x_n

即对称轴在插值点上， $i=1,\dots,n$ ，缺省设 $\sigma =1$

不要被这个高斯基函数吓到了，代入已知的点，g(x)的值可以明确的计算出来，最后变成解多元方程，解出每一个 $b_i$ 的值 $\{b_0, b_1, b_2 \dots, b_n\}$

gauss 插值

观察上图示例，高斯插值更侧重突出插入点，通过调 $\sigma$ 值，可以很好的控制曲线变化的幅度。

注意： 实际上方程组还多了一个 $b_0$ 是未知的， $b_0$ 有两种方法确定，

通过人为的增加一个点，比如取最后两个点的中间值 $f \left(\frac{x_n + x_{n-1}}{2} \right) = \frac{y_n + y_{n-1}}{2}$
直接取所有插值点y坐标的平均值

下面计算gauss插值的代码中，我有点偷懒，直接去掉了 $b_0$ 项，有兴趣，你可以补上 $b_0$

高斯函数拟合可以参考: 拟合与高斯分布

无论多项式插值，还是高斯插值，都是选一组规律的函数来拟合插值的点，通过解方程，得到一个"漂亮"的拟合函数曲线，当然还有很多其他的插值基函数，不过原理都类似。

如果多项式的次数太大，方程解起来很花时间，那怎么办呢？可以用低阶的多项式来近似拟合，不要求拟合出来的曲线能刚好穿过每一个点，只要路径近似就能满足要求。

具体怎么操作呢？比如有4个点，但我只想用基函数 $\{1, x_1, x_2\}$ 来拟合，4个点对应4个方程，但是只有三个未知数 $\{b_0, b_1, b_2\}$ ，就造成过拟合，方程是无解的。

使得当条件 $min\sum_{i=0}^{n} (y_i - \alpha_i x^i)^2$ 成立时，对应的 $\alpha$ 值， $\alpha = [\alpha_0, \alpha_1, \dots, \alpha_n]$

可以用最小二乘法来求一个近似的解，如果你还记得线性代数，或者学过机器学习，很好理解。

下面附一个讲的浅显易懂的文章，从偏导和几何的角度分别给出了解释：最小二乘法

polygon 拟合

注意：如果多项式次数比较高，或者基函数选择的比较复杂，用最小二乘法可能无解，在机器学习领域，用梯度下降的方法来求解(模型训练)。

岭回归是概率统计的概念，在机器学习领域称为"正则化"。

在多项式拟合的基础上，增加了多项式的权重，这个解释起来有点繁琐，简言之，让曲线泛化的更好，我希望曲线不要太贴近插入的点，因为有可能某一个点是"噪点"，把整个曲线带的很陡峭，增加"正则项"，使得曲线拟合的更稳定。

岭回归

代码基于'陈昱文-作业'修改完善，IDE使用CLion

工程目录：

工程界面

简单的配置，就能实现一个轻便的交互界面，麻雀虽小五脏俱全。上面依赖的常用库真要深入进去吃透了，也非常强大。

读者朋友可以下载完整代码编译运行，参考原理介绍，梳理整个流程。