图形学经常涉及连续变量的函数。表示这种函数的最常用的方法是用函数的样本 （samples）：只保存一个离散点集上的函数值，需要时再对整个函数重构 （reconstruct）。常见的例子有：栅格图、触笔在数字面板上的运动、动作捕捉 （motion capture）系统、医用 CT 扫描仪等。对于栅格图，重构可用于放大缩小。
函数的样本表示 （sampled representations）应用于很多领域，如数字音频 （digital audio）、计算物理等，图形学只是相关算法和数学的使用者之一。从 20 世纪 20 年代开始，采样和重构在通信领域就已经为人所知，到 20 世纪 40 年代，就已经表述为如今所使用的形式。
数字音频：一维采样
1982 年推出的 CD 光盘 （compact disc）是采样的第一个广为人知的应用。录音时，麦克风把声音转化为电压，然后存储在某种媒介上；播放时，扬声器将电压转化为声音。
数字录音就是采样：模数转换器 （analog-to-digital converter，也称为 A/D converter，简称 ADC）每秒钟测量几千次电压，并将测量结果存储到某种媒介上。播放时，数模转换器 （digital-to-analog converter，也称为 D/A converter，简称 DAC）以合适的速率读取数据，并生成相应的电压。
高质量复现录制结果所需的采样频率依赖于声音中的高频成分。为了避免欠采样失真 （undersampling artifacts），数字录音机在输入给 ADC 之前，先过滤掉高频信号。为了消除重构失真 （reconstruction artifacts），数字音频播放器对 DAC 的输出进行滤波，以保证波形光滑。
欠采样失真和重构失真在图形学中也会出现，解决方案也一样：采样前滤波、重构时滤波。下图是采样失真的一个例子：
可以看出，如果采样频率较低，高频信号会“伪装”成低频信号，这一现象称为混淆 （aliasing）。图像中的混淆通常以莫尔条纹 （moire patterns）的形式出现，它源于样本网格和图像中规则特征之间的相互作用。阶梯状直线也是混淆现象的一个例子，这种小尺度特征甚至可以产生大尺度失真。
卷积（Convolution）
卷积是采样、滤波和重构算法的基础。卷积是函数的二元运算，记为 f ⋆ g f\star g f ⋆ g
滑动平均（Moving Averages）
最简单的光滑处理方法是在半径 （radius）为 r r r
h ( x ) = 1 2 r ∫ x − r x + r g ( t ) d t h(x) = \frac{1}{2r}\int_{x-r}^{x+r}g(t)dt h ( x ) = 2 r 1 ∫ x − r x + r g ( t ) d t 对于离散函数：
c [ i ] = 1 2 r + 1 ∑ j = i − r i + r a [ j ] c[i] = \frac{1}{2r + 1}\sum_{j=i-r}^{i+r}a[j] c [ i ] = 2 r + 1 1 j = i − r ∑ i + r a [ j ] 滑动平均就是卷积的雏形。
离散型卷积（Discrete Convolution）
卷积 a ⋆ b a\star b a ⋆ b b b b a a a
( a ⋆ b ) [ i ] = ∑ j = − ∞ + ∞ a [ j ] b [ i − j ] (a\star b)[i] = \sum_{j=-\infty}^{+\infty}a[j]b[i-j] ( a ⋆ b ) [ i ] = j = − ∞ ∑ + ∞ a [ j ] b [ i − j ] 通常在图形学中，两个函数中有一个（假设为 b b b 支集有限 （finite support）。也就是说，存在半径 r r r ∣ k ∣ > r |k|>r ∣ k ∣ > r b [ k ] = 0 b[k]=0 b [ k ] = 0
( a ⋆ b ) [ i ] = ∑ j = i − r i + r a [ j ] b [ i − j ] (a\star b)[i] = \sum_{j=i-r}^{i+r}a[j]b[i-j] ( a ⋆ b ) [ i ] = j = i − r ∑ i + r a [ j ] b [ i − j ] 伪代码如下：
function convolve(sequence a , filter b , int i ) s = 0 r = b . radius for j = i − r to i + r do s = s + a [ j ] b [ i − j ] return s \begin{aligned}
&\text{\textbf{function} convolve(sequence $a$, filter $b$, int $i$)} \\
&\quad\begin{aligned}
&s = 0 \\
&r = b.\text{radius} \\
&\text{\textbf{for} $j=i-r$ to $i+r$ \textbf{do}} \\
&\quad s = s + a[j]b[i-j] \\
&\textbf{return $s$}
\end{aligned}
\end{aligned} function convolve(sequence a , filter b , int i ) s = 0 r = b . radius for j = i − r to i + r do s = s + a [ j ] b [ i − j ] return s 卷积的一个重要应用是滤波，前面的滑动平均就是卷积的一个例子，它的滤波器 b b b
b [ k ] = { 1 2 r + 1 , − r ⩽ k ⩽ r 0 , otherwise b[k] =
\left\{
\begin{aligned}
&\frac{1}{2r+1}, &&-r\leqslant k\leqslant r \\
&0, &&\text{otherwise}
\end{aligned}
\right. b [ k ] = ⎩ ⎨ ⎧ 2 r + 1 1 , 0 , − r ⩽ k ⩽ r otherwise 这种滤波器称为箱式滤波器 （box filter）。阶梯函数 （step function）做箱式滤波后会变成一个线性斜坡形函数。通常约定卷积滤波器的积分（求和）为 1 1 1
实际上，参与卷积的两个函数是对称的，也就是说，滤波器 （filter）和信号 （signal）可以互换。除了交换律 （commutative law）之外，卷积还满足结合律 （associative law）和分配率 （distributive law）：
a ⋆ b = b ⋆ a ( a ⋆ b ) ⋆ c = a ⋆ ( b ⋆ c ) a ⋆ ( b + c ) = a ⋆ b + a ⋆ c \begin{aligned}
a\star b &= b\star a \\
(a\star b)\star c &= a\star (b\star c) \\
a\star(b + c) &= a\star b + a\star c
\end{aligned} a ⋆ b ( a ⋆ b ) ⋆ c a ⋆ ( b + c ) = b ⋆ a = a ⋆ ( b ⋆ c ) = a ⋆ b + a ⋆ c 离散型恒等滤波器 （discrete identity filter）是一种非常简单的滤波器，也称为离散脉冲 （discrete impulse）：
d [ k ] = δ k 0 = { 1 , k = 0 0 , k ≠ 0 d[k] = \delta_{k0} =
\left\{
\begin{aligned}
&1, &&k = 0 \\
&0, &&k\neq 0
\end{aligned}
\right. d [ k ] = δ k 0 = { 1 , 0 , k = 0 k = 0 其中，δ i j \delta_{ij} δ ij
恒等滤波器对信号本身没有任何影响：a = a ⋆ d a=a\star d a = a ⋆ d a a a b b b d d d
a − a ⋆ b = a ⋆ ( d − b ) a - a\star b = a\star(d - b) a − a ⋆ b = a ⋆ ( d − b ) 根据原始定义，卷积还可以看作序列 b b b a a a
a ⋆ b = ∑ j = − ∞ + ∞ a [ j ] b → j a\star b = \sum_{j=-\infty}^{+\infty}a[j]b_{\rightarrow j} a ⋆ b = j = − ∞ ∑ + ∞ a [ j ] b → j 其中，序列 b → j b_{\rightarrow j} b → j b b b j j j
b → j [ i ] = b [ i − j ] b_{\rightarrow j}[i] = b[i - j] b → j [ i ] = b [ i − j ]
连续型卷积（Continuous Convolution）
连续型卷积定义如下：
( f ⋆ g ) ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) g ( x − t ) d t (f\star g)(x) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)g(x-t)dt ( f ⋆ g ) ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) g ( x − t ) d t 与离散型卷积类似，连续型卷积也可看作滤波器加权的滑动平均，也具有交换律、结合律和分配率。
连续型卷积也可看作滤波器 g g g
f ⋆ g = ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) g → t d t f\star g = \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)g_{\rightarrow t}dt f ⋆ g = ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) g → t d t
上式就是二元函数 f ( t ) g → t ( x ) f(t)g_{\rightarrow t}(x) f ( t ) g → t ( x ) t t t
对于下面的箱函数 （box function）：
f ( x ) = { 1 , − 1 2 ⩽ x < 1 2 0 , otherwise f(x) =
\left\{
\begin{aligned}
&1, &&-\frac{1}{2}\leqslant x<\frac{1}{2} \\
&0, &&\text{otherwise}
\end{aligned}
\right. f ( x ) = ⎩ ⎨ ⎧ 1 , 0 , − 2 1 ⩽ x < 2 1 otherwise 可以计算：
( f ⋆ f ) ( x ) = { 1 − ∣ x ∣ , − 1 < x < 1 0 , otherwise (f\star f)(x) =
\left\{
\begin{aligned}
&1 - |x|, &&-1 < x < 1 \\
&0, &&\text{otherwise}
\end{aligned}
\right. ( f ⋆ f ) ( x ) = { 1 − ∣ x ∣ , 0 , − 1 < x < 1 otherwise 上式称为帐篷函数 （tent function），也是一种常用的滤波器。
连续型卷积中也存在一个特殊的恒等函数 （identity function），称为狄拉克脉冲 （Dirac impulse）或狄拉克函数 （Dirac delta function），定义如下：
{ ∫ − ∞ + ∞ δ ( x ) d x = 1 δ ( x ) = 0 , x ≠ 0 \left\{
\begin{aligned}
&\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)dx = 1 \\
&\delta(x) = 0, x\neq 0
\end{aligned}
\right. ⎩ ⎨ ⎧ ∫ − ∞ + ∞ δ ( x ) d x = 1 δ ( x ) = 0 , x = 0
狄拉克函数具有挑选性：
∫ − ∞ + ∞ f ( x ) δ ( x − x 0 ) d x = f ( x 0 ) \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta(x-x_{0})dx = f(x_{0}) ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) δ ( x − x 0 ) d x = f ( x 0 ) 容易计算 f = f ⋆ δ f = f\star\delta f = f ⋆ δ
混合型卷积（Discrete-Continueous Convolution）
连接离散和连续的方式有两种。其一是采样，对连续变量的函数 g g g a a a
a [ i ] = g ( i ) a[i] = g(i) a [ i ] = g ( i ) 其二是重构 ，使用混合型卷积，即，使用连续型滤波器 f f f a a a
( a ⋆ f ) ( x ) = ∑ i = − ∞ + ∞ a [ i ] f ( x − i ) (a\star f)(x) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty}a[i]f(x - i) ( a ⋆ f ) ( x ) = i = − ∞ ∑ + ∞ a [ i ] f ( x − i )
实际上，混合型卷积就是一种特殊的连续型卷积 ，只要为离散序列配上狄拉克梳 （Dirac comb，详见后文），或者用狄拉克梳对原始连续信号 g g g a ⋆ f = ( s 1 g ) ⋆ f a\star f=(s_{1}g)\star f a ⋆ f = ( s 1 g ) ⋆ f s 1 s_{1} s 1 1 1 1
上式表明 ( a ⋆ f ) ( x ) (a\star f)(x) ( a ⋆ f ) ( x ) a a a x x x
如果滤波器 f f f r r r
( a ⋆ f ) ( x ) = ∑ i = ⌈ x − r ⌉ ⌊ x + r ⌋ a [ i ] f ( x − i ) (a\star f)(x) = \sum_{i=\lceil x-r\rceil}^{\lfloor x+r\rfloor}a[i]f(x - i) ( a ⋆ f ) ( x ) = i = ⌈ x − r ⌉ ∑ ⌊ x + r ⌋ a [ i ] f ( x − i ) 伪代码如下：
function reconstruct(sequence a , filter f , real x ) s = 0 r = f . radius for i = ⌈ x − r ⌉ to ⌊ x + r ⌋ do s = s + a [ i ] f ( x − i ) return s \begin{aligned}
&\text{\textbf{function} reconstruct(sequence $a$, filter $f$, real $x$)} \\
&\quad\begin{aligned}
&s = 0 \\
&r = f.\text{radius} \\
&\text{\textbf{for} $i=\lceil x-r\rceil$ to $\lfloor x+r\rfloor$ \textbf{do}} \\
&\quad s = s + a[i]f(x-i) \\
&\textbf{return $s$}
\end{aligned}
\end{aligned} function reconstruct(sequence a , filter f , real x ) s = 0 r = f . radius for i = ⌈ x − r ⌉ to ⌊ x + r ⌋ do s = s + a [ i ] f ( x − i ) return s 混合型卷积也可以看作滤波器移位之和：
a ⋆ f = ∑ i = − ∞ + ∞ a [ i ] f → i a\star f = \sum_{i=-\infty}^{+\infty}a[i]f_{\rightarrow i} a ⋆ f = i = − ∞ ∑ + ∞ a [ i ] f → i 高维卷积
采样算法和相关理论可以直接推广到高维，下面以二维为例进行说明。
二维离散型卷积：
( a ⋆ b ) [ i , j ] = ∑ i ′ = − ∞ + ∞ ∑ j ′ = − ∞ + ∞ a [ i ′ , j ′ ] b [ i − i ′ , j − j ′ ] (a\star b)[i, j] = \sum_{i'=-\infty}^{+\infty}\sum_{j'=-\infty}^{+\infty}a[i', j']b[i-i', j-j'] ( a ⋆ b ) [ i , j ] = i ′ = − ∞ ∑ + ∞ j ′ = − ∞ ∑ + ∞ a [ i ′ , j ′ ] b [ i − i ′ , j − j ′ ] 如果滤波器 b b b r r r
( a ⋆ b ) [ i , j ] = ∑ i ′ = i − r i + r ∑ j ′ = j − r j + r a [ i ′ , j ′ ] b [ i − i ′ , j − j ′ ] (a\star b)[i, j] = \sum_{i'=i-r}^{i+r}\sum_{j'=j-r}^{j+r}a[i', j']b[i-i', j-j'] ( a ⋆ b ) [ i , j ] = i ′ = i − r ∑ i + r j ′ = j − r ∑ j + r a [ i ′ , j ′ ] b [ i − i ′ , j − j ′ ] 伪代码如下：
function convolve2d(sequence2d a , filter2d b , int i , int j ) s = 0 r = b . radius for i ′ = i − r to i + r do for j ′ = j − r to j + r do s = s + a [ i ′ ] [ j ′ ] b [ i − i ′ ] [ j − j ′ ] return s \begin{aligned}
&\text{\textbf{function} convolve2d(sequence2d $a$, filter2d $b$, int $i$, int $j$)} \\
&\quad\begin{aligned}
&s = 0 \\
&r = b.\text{radius} \\
&\text{\textbf{for} $i'=i-r$ to $i+r$ \textbf{do}} \\
&\quad\begin{aligned}
&\text{\textbf{for} $j'=j-r$ to $j+r$ \textbf{do}} \\
&\quad s = s + a[i'][j']b[i-i'][j-j']
\end{aligned} \\
&\textbf{return}\ s
\end{aligned}
\end{aligned} function convolve2d(sequence2d a , filter2d b , int i , int j ) s = 0 r = b . radius for i ′ = i − r to i + r do for j ′ = j − r to j + r do s = s + a [ i ′ ] [ j ′ ] b [ i − i ′ ] [ j − j ′ ] return s 二维连续型卷积：
( f ⋆ g ) ( x , y ) = ∫ x ′ = − ∞ + ∞ ∫ y ′ = − ∞ + ∞ f ( x ′ , y ′ ) g ( x − x ′ , y − y ′ ) d x ′ d y ′ (f\star g)(x, y) = \int_{x'=-\infty}^{+\infty}\int_{y'=-\infty}^{+\infty}f(x', y')g(x-x', y-y')dx'dy' ( f ⋆ g ) ( x , y ) = ∫ x ′ = − ∞ + ∞ ∫ y ′ = − ∞ + ∞ f ( x ′ , y ′ ) g ( x − x ′ , y − y ′ ) d x ′ d y ′ 二维混合型卷积：
( a ⋆ f ) ( x , y ) = ∑ i = − ∞ + ∞ ∑ j = − ∞ + ∞ a [ i , j ] f ( x − i , y − j ) (a\star f)(x, y) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty}\sum_{j=-\infty}^{+\infty}a[i, j]f(x-i, y-j) ( a ⋆ f ) ( x , y ) = i = − ∞ ∑ + ∞ j = − ∞ ∑ + ∞ a [ i , j ] f ( x − i , y − j ) 与一维情形类似，二维卷积可以理解为在一个区域内对输入加权平均，滤波器决定了权重。
卷积滤波器（Convolution Filters）
本节主要介绍图形学中常用的滤波器，这些滤波器都有一个自然半径 （natural radius），它是信号采样和重构的默认尺寸。
任何滤波器 f f f
f s ( x ) = f ( x / s ) s f_{s}(x) = \frac{f(x/s)}{s} f s ( x ) = s f ( x / s ) f s f_{s} f s f f f s s s 1 / s 1/s 1/ s f f f r r r f s f_{s} f s s r sr sr
常用的卷积滤波器
箱式滤波器（Box Filter）
箱式滤波器是一个分段常函数。离散型箱式滤波器：
a box , r [ i ] = { 1 / ( 2 r + 1 ) , ∣ i ∣ ⩽ r 0 , otherwise a_{\text{box}, r}[i] =
\left\{
\begin{aligned}
&1/(2r+1), &&|i|\leqslant r \\
&0, &&\text{otherwise}
\end{aligned}
\right. a box , r [ i ] = { 1/ ( 2 r + 1 ) , 0 , ∣ i ∣ ⩽ r otherwise 连续型箱式滤波器：
f box , r ( x ) = { 1 / ( 2 r ) , − r ⩽ x < r 0 , otherwise f_{\text{box}, r}(x) =
\left\{
\begin{aligned}
&1/(2r), &&-r\leqslant x<r \\
&0, &&\text{otherwise}
\end{aligned}
\right. f box , r ( x ) = { 1/ ( 2 r ) , 0 , − r ⩽ x < r otherwise 由于箱式滤波器有间断点，因此边界（boundary）的处理至关重要。之所以约定连续型箱式滤波器只取一个端点，即 f box , r ( − r ) = 1 / ( 2 r ) f_{\text{box}, r}(-r)=1/(2r) f box , r ( − r ) = 1/ ( 2 r ) f box , r ( r ) = 0 f_{\text{box}, r}(r)=0 f box , r ( r ) = 0 r = 1 / 2 r=1/2 r = 1/2 f box f_{\text{box}} f box
帐篷式滤波器（Tent Filter）
帐篷式滤波器，也称为线性滤波器 （linear filter），是一个分段线性函数：
f tent ( x ) = { 1 − ∣ x ∣ , ∣ x ∣ < 1 0 , otherwise f_{\text{tent}}(x) =
\left\{
\begin{aligned}
&1-|x|, &&|x|<1 \\
&0, &&\text{otherwise}
\end{aligned}
\right. f tent ( x ) = { 1 − ∣ x ∣ , 0 , ∣ x ∣ < 1 otherwise 自然半径约定为 1 1 1
C 0 C^{0} C 0
高斯滤波器（Gaussian Filter）
高斯函数 （Gaussian function），又名正态分布 （normal distribution），是一种在理论和应用上都很重要的滤波器：
f g , σ ( x ) = 1 σ 2 π e − x 2 / 2 σ 2 f_{g, \sigma}(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-x^{2}/2\sigma^{2}} f g , σ ( x ) = σ 2 π 1 e − x 2 /2 σ 2 参数 σ \sigma σ 标准差 （standard deviation）。高斯滤波器没有任何特殊的自然半径。实际应用中，常把超出半径 r r r 截断高斯函数 （trimmed Gaussian function），σ \sigma σ r r r σ \sigma σ r r r
通常，σ = 1 \sigma=1 σ = 1 r = 3 r=3 r = 3
三次 B 样条滤波器（B-Spline Cubic Filter）
很多滤波器都定义为分段多项式。自然半径为 2 2 2
f B ( x ) = 1 6 { − 3 ( 1 − ∣ x ∣ ) 3 + 3 ( 1 − ∣ x ∣ ) 2 + 3 ( 1 − ∣ x ∣ ) + 1 , ∣ x ∣ ⩽ 1 ( 2 − ∣ x ∣ ) 3 , 1 < ∣ x ∣ ⩽ 2 0 , otherwise f_{B}(x) = \frac{1}{6}
\left\{
\begin{aligned}
&-3(1-|x|)^{3} + 3(1-|x|)^{2} + 3(1-|x|) + 1, &&|x|\leqslant 1 \\
&(2-|x|)^{3}, &&1<|x|\leqslant 2 \\
&0, &&\text{otherwise}
\end{aligned}
\right. f B ( x ) = 6 1 ⎩ ⎨ ⎧ − 3 ( 1 − ∣ x ∣ ) 3 + 3 ( 1 − ∣ x ∣ ) 2 + 3 ( 1 − ∣ x ∣ ) + 1 , ( 2 − ∣ x ∣ ) 3 , 0 , ∣ x ∣ ⩽ 1 1 < ∣ x ∣ ⩽ 2 otherwise B 样条滤波器是 C 2 C^{2} C 2 f B = f box ⋆ f box ⋆ f box ⋆ f box f_{B}=f_{\text{box}}\star f_{\text{box}}\star f_{\text{box}}\star f_{\text{box}} f B = f box ⋆ f box ⋆ f box ⋆ f box
三次 Catmull-Rom 滤波器（Catmull-Rom Cubic Filter）
Catmull-Rom 滤波器也是一种分段三次样条滤波器：
f C ( x ) = 1 2 { − 3 ( 1 − ∣ x ∣ ) 3 + 4 ( 1 − ∣ x ∣ ) 2 + ( 1 − ∣ x ∣ ) , ∣ x ∣ ⩽ 1 ( 2 − ∣ x ∣ ) 3 − ( 2 − ∣ x ∣ ) 2 , 1 < ∣ x ∣ ⩽ 2 0 , otherwise f_{C}(x) = \frac{1}{2}
\left\{
\begin{aligned}
&-3(1-|x|)^{3} + 4(1-|x|)^{2} + (1-|x|), &&|x|\leqslant 1 \\
&(2-|x|)^{3} - (2-|x|)^{2}, &&1<|x|\leqslant 2 \\
&0, &&\text{otherwise}
\end{aligned}
\right. f C ( x ) = 2 1 ⎩ ⎨ ⎧ − 3 ( 1 − ∣ x ∣ ) 3 + 4 ( 1 − ∣ x ∣ ) 2 + ( 1 − ∣ x ∣ ) , ( 2 − ∣ x ∣ ) 3 − ( 2 − ∣ x ∣ ) 2 , 0 , ∣ x ∣ ⩽ 1 1 < ∣ x ∣ ⩽ 2 otherwise
三次 Mitchell-Netravali 滤波器（Mitchell-Netravali Cubic Filter）
Mitchell-Netravali 滤波器是前两种滤波器的加权组合：
f M ( x ) = 1 3 f B ( x ) + 2 3 f C ( x ) = 1 18 { − 21 ( 1 − ∣ x ∣ ) 3 + 27 ( 1 − ∣ x ∣ ) 2 + 9 ( 1 − ∣ x ∣ ) + 1 , ∣ x ∣ ⩽ 1 7 ( 2 − ∣ x ∣ ) 3 − 6 ( 2 − ∣ x ∣ ) 2 , 1 < ∣ x ∣ ⩽ 2 0 , otherwise \begin{aligned}
f_{M}(x) &= \frac{1}{3}f_{B}(x) + \frac{2}{3}f_{C}(x) \\
&= \frac{1}{18}
\left\{
\begin{aligned}
&-21(1-|x|)^{3} + 27(1-|x|)^{2} + 9(1-|x|) + 1, &&|x|\leqslant 1 \\
&7(2-|x|)^{3} - 6(2-|x|)^{2}, &&1<|x|\leqslant 2 \\
&0, &&\text{otherwise}
\end{aligned}
\right.
\end{aligned} f M ( x ) = 3 1 f B ( x ) + 3 2 f C ( x ) = 18 1 ⎩ ⎨ ⎧ − 21 ( 1 − ∣ x ∣ ) 3 + 27 ( 1 − ∣ x ∣ ) 2 + 9 ( 1 − ∣ x ∣ ) + 1 , 7 ( 2 − ∣ x ∣ ) 3 − 6 ( 2 − ∣ x ∣ ) 2 , 0 , ∣ x ∣ ⩽ 1 1 < ∣ x ∣ ⩽ 2 otherwise
滤波器的性质
脉冲响应 （impulse response）就是滤波器对脉冲信号的响应。由于脉冲信号是卷积运算中的恒等函数，因此脉冲响应其实就是滤波器的别名。
当连续型滤波器被用于信号重构时，如果重构前后样本点处的值保持不变——重构后的函数把样本点串了起来，则称这种滤波器为插值滤波器 （interpolating filter）。容易知道，插值滤波器就是满足如下条件的滤波器：
{ f ( 0 ) = 1 f ( i ) = 0 , ∀ i ≠ 0 \left\{
\begin{aligned}
&f(0) = 1 \\
&f(i) = 0,\ \forall i\neq 0
\end{aligned}
\right. { f ( 0 ) = 1 f ( i ) = 0 , ∀ i = 0
对于有负值的滤波器，当原始信号急剧变化时，过滤后的信号会出现振荡 （ringing）或过冲 （overshoot）。
能把常数序列重构为常函数的连续型滤波器称为无波纹的 （ripple free）。无波纹滤波器的数学表述如下：
∑ i = − ∞ + ∞ f ( x + i ) = 1 , ∀ x ∈ R \sum_{i=-\infty}^{+\infty}f(x + i) = 1,\ \forall x\in\mathbb{R} i = − ∞ ∑ + ∞ f ( x + i ) = 1 , ∀ x ∈ R
除了高斯滤波器，上一小节中列举的所有常用滤波器在自然半径下都是无波纹的。但是在非自然半径下，都有可能出现波纹。在混合型卷积中消除波纹的一种简单方法是除以权重和：
( a ⋆ f ‾ ) ( x ) = ∑ i = − ∞ + ∞ a [ i ] f ( x − i ) ∑ i = − ∞ + ∞ f ( x − i ) = ( a ⋆ f ˉ ) ( x ) f ˉ ( x ) = f ( x ) ∑ i = − ∞ + ∞ f ( x − i ) \begin{gathered}
(\overline{a\star f})(x) = \frac{\displaystyle\sum_{i=-\infty}^{+\infty}a[i]f(x-i)}{\displaystyle\sum_{i=-\infty}^{+\infty}f(x-i)} = (a\star \bar{f})(x) \\
\bar{f}(x) = \frac{f(x)}{\displaystyle\sum_{i=-\infty}^{+\infty}f(x-i)}
\end{gathered} ( a ⋆ f ) ( x ) = i = − ∞ ∑ + ∞ f ( x − i ) i = − ∞ ∑ + ∞ a [ i ] f ( x − i ) = ( a ⋆ f ˉ ) ( x ) f ˉ ( x ) = i = − ∞ ∑ + ∞ f ( x − i ) f ( x ) 不同的连续型滤波器可能有不同的连续程度 （degree of continuity），连续程度一般用最高阶连续导数来表述：具有 n n n C n C^{n} C n
可分离滤波器
二维滤波器有时直接使用二元函数来定义，但大多数情况下，都是用已知的一维滤波器来构造二维滤波器。最常用的是可分离滤波器 （separable filter）：
f 2 ( x , y ) = f 1 ( x ) f 1 ( y ) b 2 [ i , j ] = b 1 [ i ] b 1 [ j ] \begin{gathered}
f_{2}(x, y) = f_{1}(x)f_{1}(y) \\
b_{2}[i, j] = b_{1}[i]b_{1}[j]
\end{gathered} f 2 ( x , y ) = f 1 ( x ) f 1 ( y ) b 2 [ i , j ] = b 1 [ i ] b 1 [ j ] 相比于其它二维滤波器，可分离滤波器更加高效。对于离散型卷积，容易知道：
( a ⋆ b 2 ) [ i , j ] = ∑ i ′ = − ∞ + ∞ b 1 [ i − i ′ ] S j [ i ′ ] S j [ i ′ ] = ∑ j ′ = − ∞ + ∞ a [ i ′ , j ′ ] b 1 [ j − j ′ ] \begin{gathered}
(a\star b_{2})[i, j] = \sum_{i'=-\infty}^{+\infty}b_{1}[i-i']S_{j}[i'] \\
S_{j}[i'] = \sum_{j'=-\infty}^{+\infty}a[i', j']b_{1}[j-j']
\end{gathered} ( a ⋆ b 2 ) [ i , j ] = i ′ = − ∞ ∑ + ∞ b 1 [ i − i ′ ] S j [ i ′ ] S j [ i ′ ] = j ′ = − ∞ ∑ + ∞ a [ i ′ , j ′ ] b 1 [ j − j ′ ] 利用上式，可以先计算 S j [ i ] S_{j}[i] S j [ i ] r r r ( 2 r + 1 ) 2 (2r+1)^{2} ( 2 r + 1 ) 2 2 ( 2 r + 1 ) 2(2r+1) 2 ( 2 r + 1 ) O ( r 2 ) O(r^{2}) O ( r 2 ) O ( r ) O(r) O ( r )
function filterImage(image I , filter b ) r = b . radius n x = I . width n y = I . height allocate storage array S [ 0 , ⋯ , n x − 1 ] allocate image I out [ r , ⋯ , n x − r − 1 ; r , ⋯ , n y − r − 1 ] initialize S and I out to all zero for j = r to n y − r − 1 do for i ′ = 0 to n x − 1 do S [ i ′ ] = 0 for j ′ = j − r to j + r do S [ i ′ ] = S [ i ′ ] + I [ i ′ , j ′ ] b [ j − j ′ ] for i = r to n x − r − 1 do for i ′ = i − r to i + r do I out [ i , j ] = I out [ i , j ] + S [ i ′ ] b [ i − i ′ ] return I out \begin{aligned}
&\text{\textbf{function} filterImage(image $I$, filter $b$)} \\
&\quad\begin{aligned}
&r=b.\text{radius} \\
&n_{x}=I.\text{width} \\
&n_{y}=I.\text{height} \\
&\text{allocate storage array}\ S[0,\cdots,n_{x}-1] \\
&\text{allocate image}\ I_{\text{out}}[r,\cdots,n_{x}-r-1;r,\cdots,n_{y}-r-1] \\
&\text{initialize $S$ and $I_{\text{out}}$ to all zero} \\
&\textbf{for}\ j=r\ \text{to}\ n_{y}-r-1\ \textbf{do} \\
&\quad\begin{aligned}
&\textbf{for}\ i'=0\ \text{to}\ n_{x}-1\ \textbf{do} \\
&\quad\begin{aligned}
&S[i']=0 \\
&\textbf{for}\ j'=j-r\ \text{to}\ j+r\ \textbf{do} \\
&\quad S[i']=S[i']+I[i',j']b[j-j']
\end{aligned} \\
&\textbf{for}\ i=r\ \text{to}\ n_{x}-r-1\ \textbf{do} \\
&\quad\begin{aligned}
&\textbf{for}\ i'=i-r\ \text{to}\ i+r\ \textbf{do} \\
&\quad I_{\text{out}}[i,j]=I_{\text{out}}[i,j]+S[i']b[i-i']
\end{aligned}
\end{aligned} \\
&\textbf{return}\ I_{\text{out}}
\end{aligned}
\end{aligned} function filterImage(image I , filter b ) r = b . radius n x = I . width n y = I . height allocate storage array S [ 0 , ⋯ , n x − 1 ] allocate image I out [ r , ⋯ , n x − r − 1 ; r , ⋯ , n y − r − 1 ] initialize S and I out to all zero for j = r to n y − r − 1 do for i ′ = 0 to n x − 1 do S [ i ′ ] = 0 for j ′ = j − r to j + r do S [ i ′ ] = S [ i ′ ] + I [ i ′ , j ′ ] b [ j − j ′ ] for i = r to n x − r − 1 do for i ′ = i − r to i + r do I out [ i , j ] = I out [ i , j ] + S [ i ′ ] b [ i − i ′ ] return I out 为说明主要问题，上述伪代码没有处理图像边界。
图像信号处理
信号处理在图形学中最重要、最常见的应用场景就是图像处理。
使用离散滤波器做图像滤波
卷积滤波是图像处理软件中最广泛使用的功能。图像的模糊化 （blurring）可以借助常用的低通滤波器 （low-pass filter）来实现。高斯滤波器模糊处理得非常光滑，也最常用。
图像锐化 （sharpening）——模糊化的逆操作——可以使用钝化蒙层 （unsharp mask）来实现，即，在原始图像上减掉模糊化图像，然后再重新标度 （rescaling）以保证整体亮度不变：
I sharp = ( 1 + α ) I − α ( I ⋆ f g , σ ) = I ⋆ ( ( 1 + α ) d − α f g , σ ) = I ⋆ f sharp ( σ , α ) \begin{aligned}
I_{\text{sharp}} &= (1 + \alpha)I - \alpha(I\star f_{g, \sigma}) \\
&= I\star((1 + \alpha)d - \alpha f_{g, \sigma}) \\
&= I\star f_{\text{sharp}}(\sigma, \alpha)
\end{aligned} I sharp = ( 1 + α ) I − α ( I ⋆ f g , σ ) = I ⋆ (( 1 + α ) d − α f g , σ ) = I ⋆ f sharp ( σ , α ) 其中，f g , σ f_{g, \sigma} f g , σ σ \sigma σ
阴影 （drop shadow）可以借助模糊移位拷贝来实现。移位后模糊化可以表示为：
I shadow = ( I ⋆ d m , n ) ⋆ f g , σ = I ⋆ ( d m , n ⋆ f g , σ ) = I ⋆ f shadow ( m , n , σ ) \begin{aligned}
I_{\text{shadow}} &= (I\star d_{m, n})\star f_{g, \sigma} \\
&= I\star (d_{m, n}\star f_{g, \sigma}) \\
&= I\star f_{\text{shadow}}(m, n, \sigma)
\end{aligned} I shadow = ( I ⋆ d m , n ) ⋆ f g , σ = I ⋆ ( d m , n ⋆ f g , σ ) = I ⋆ f shadow ( m , n , σ ) 其中，偏心脉冲 （off-center impulse）：
d m , n ( i , j ) = { 1 , i = m and j = n 0 , otherwise = δ i m δ j n \begin{aligned}
d_{m, n}(i, j)
&=
\left\{
\begin{aligned}
&1, &&i=m\ \text{and}\ j=n \\
&0, &&\text{otherwise}
\end{aligned}
\right. \\
&=\delta_{im}\delta_{jn}
\end{aligned} d m , n ( i , j ) = { 1 , 0 , i = m and j = n otherwise = δ im δ jn 容易知道，移位操作 （shifting operation）就是用偏心脉冲做卷积。
图像采样抗锯齿
图像合成 （image synthesis）中经常需要根据连续模型生成图像的样本表示，也就是在二维规则点阵上对连续信号采样。如果不做任何处理，则会产生各种混淆失真 （aliasing artifacts），比如，锯齿 （jaggies）——图像中锐利边界上的阶梯状失真，莫尔图案 （moire patterns）——有重复图案的区域中出现的宽条带。
问题的根源在于图像本身包含了太多的小尺度特征，因此必须在采样前光滑滤波。高斯滤波器可以有效地消除莫尔图案，但却让整体上更模糊。这说明，滤波器的选择需要在锐度 （sharpness）和混淆之间权衡。
重构（reconstruction）与重采样（resampling）
重采样 （resampling），即改变采样率 （sample rate）或图像尺寸，是一种最常见的应用滤波的图像操作。
缩小图像尺寸的一种简单方法是像素删减 （pixel dropping），即在每个点附近都删掉几个像素以适应新的图像尺寸。这种方法速度很快，但生成的图像质量较低，可用作预览 （preview）。
调整图像大小本质上就是重采样：根据输入样本重构出一个连续变量的函数，然后在新的图像尺寸下对其采样。由于卷积具有结合律，因此可以将重构滤波器和采样滤波器合成之后再对输入信号做卷积，合成后的滤波器称为重采样滤波器 （resampling filter）。例如，像素删减算法——选取输入图像中距离最近的样本点的值作为输出值，其实就完全等价于用宽度为 1 1 1 点采样 （point-sampling）。
图像重采样时，通常需要指定原图像单位下的一个源矩形 （source rectangle）( x l , x h ) × ( y l , y h ) (x_{l},x_{h})\times(y_{l},y_{h}) ( x l , x h ) × ( y l , y h ) Δ x = ( x h − x l ) / n x new \Delta x=(x_{h}-x_{l})/n_{x}^{\text{new}} Δ x = ( x h − x l ) / n x new Δ y = ( y h − y l ) / n y new \Delta y=(y_{h}-y_{l})/n_{y}^{\text{new}} Δ y = ( y h − y l ) / n y new f f f
function resample(sequence a , float x l , float x h , int n , filter f ) create sequence b of length n r = f . radius x 0 = x l + Δ x / 2 for i = 0 to n − 1 do s = 0 x = x 0 + i Δ x for j = ⌈ x − r ⌉ to ⌊ x + r ⌋ do s = s + a [ j ] f ( x − j ) b [ i ] = s return b \begin{aligned}
&\text{\textbf{function} resample(sequence $a$, float $x_{l}$, float $x_{h}$, int $n$, filter $f$)} \\
&\quad\begin{aligned}
&\text{create sequence $b$ of length $n$} \\
&r = f.\text{radius} \\
&x_{0} = x_{l} + \Delta x/2 \\
&\text{\textbf{for} $i=0$ to $n-1$ \textbf{do}} \\
&\quad\begin{aligned}
&s = 0 \\
&x = x_{0} + i\Delta x \\
&\text{\textbf{for} $j=\lceil x-r\rceil$ to $\lfloor x+r\rfloor$ \textbf{do}} \\
&\quad s = s + a[j]f(x-j) \\
&b[i] = s
\end{aligned} \\
&\textbf{return}\ b
\end{aligned}
\end{aligned} function resample(sequence a , float x l , float x h , int n , filter f ) create sequence b of length n r = f . radius x 0 = x l + Δ x /2 for i = 0 to n − 1 do s = 0 x = x 0 + i Δ x for j = ⌈ x − r ⌉ to ⌊ x + r ⌋ do s = s + a [ j ] f ( x − j ) b [ i ] = s return b 上述伪代码包含了图像重采样的所有基本内容，剩下的唯一问题是图像边缘的处理，下面有三种常见的处理方式：
越过边界时停止循环。这等价于将图像沿所有边界以零信号向外延伸。
把数组的越界访问裁剪到边界。这等价于把图像边缘的最后一行和最后一列向外延伸。
接近信号序列的边界时，修改滤波器以保证不会越界。
用第一种方法处理图像时会产生暗淡边缘 （dim edge）。第二种方法容易实现，但第三种方法效果最好。在图像边缘修正滤波器的最简单的方法是重新归一化 （renormalize）：在图像内部对滤波器归一化。这可以保持图像亮度。为了考虑性能，可能还需要把图像中心和图像边缘分开处理。
滤波器的选择对于重采样至关重要。这里主要涉及两个问题：滤波器的形状和尺寸。为了实现信号重构，滤波器应尽可能光滑以避免混淆失真，而且应该是无波纹的。为了对信号采样，滤波器的尺寸应足够大以避免欠采样 （undersampling），而且足够光滑以避免莫尔失真。
通常会选择一种滤波器形状，然后根据输入、输出的相对分辨率来伸缩滤波器。较小的分辨率决定了滤波器的尺寸。当图像缩小时，即降采样 （downsampling），信号采样所需的光滑度高于信号重构，因此用输出信号样本间距作为滤波器尺寸。当图像放大时，即增采样 （upsampling），信号重构所需的光滑度起主导作用，滤波器的尺寸由输入信号样本间距决定。
滤波器的选择需要在速度和质量之间权衡 。常用的有：箱式滤波器——速度至上、帐篷式滤波器——中等质量、分段三次滤波器——高质量。分段三次滤波器的光滑度可以通过对 f B f_{B} f B f C f_{C} f C
和图像滤波类似，可分离滤波器同样可以显著地加速重采样。基本想法是先做行重采样，生成一个宽变高不变的图像，再做列重采样。
采样理论
采样理论可以为采样和重构提供深刻的理解。
傅里叶变换（The Fourier Transform）
傅里叶变换和卷积是采样理论中最重要的数学概念。傅里叶变换就是把函数表示为不同频率的平面波叠加。周期函数可以表示为傅里叶级数 （Fourier series）。而非周期函数可以表示为：
f ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ^ ( u ) e i 2 π u x d u f(x) = \int_{-\infty}^{+\infty}\hat{f}(u)e^{i2\pi ux}du f ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ^ ( u ) e i 2 π ux d u
周期函数也可以用傅里叶变换来表示，只不过要在傅里叶级数展开系数上配一个狄拉克函数。
上式也称为傅里叶逆变换 （inverse Fourier transform，简称 IFT）。其中，傅里叶变换 （(forward) Fourier transform，简称 FT）f ^ \hat{f} f ^
f ^ ( u ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) e − i 2 π u x d x \hat{f}(u) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-i2\pi ux}dx f ^ ( u ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) e − i 2 π ux d x f ^ \hat{f} f ^ 傅里叶谱 （Fourier spectrum）。由于傅里叶变换和逆变换的对称性，可以将它们看作是同一种操作。有时采用符号 F { f } \mathcal{F}\{f\} F { f } f f f F − 1 { f ^ } \mathcal{F}^{-1}\{\hat{f}\} F − 1 { f ^ } f ^ \hat{f} f ^
傅里叶变换具有以下性质：
傅里叶变换是线性变换
F { α f + β g } = α f ^ + β g ^ , ∀ constants α , β \mathcal{F}\{\alpha f + \beta g\} = \alpha\hat{f} + \beta\hat{g},\ \forall\ \text{constants}\ \alpha, \beta F { α f + β g } = α f ^ + β g ^ , ∀ constants α , β
借助狄拉克函数的傅里叶变换可以证明帕塞瓦尔定理 （Parseval's theorem）
∫ − ∞ + ∞ ∣ f ( x ) ∣ 2 d x = ∫ − ∞ + ∞ ∣ f ^ ( u ) ∣ 2 d u \int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)|^{2}dx = \int_{-\infty}^{+\infty}|\hat{f}(u)|^{2}du ∫ − ∞ + ∞ ∣ f ( x ) ∣ 2 d x = ∫ − ∞ + ∞ ∣ f ^ ( u ) ∣ 2 d u 其物理含义是实空间和频率空间所观测到的能量相等。
相似性定理
F { f ( x / b ) } = b f ^ ( b u ) , ∀ b ∈ R \mathcal{F}\{f(x/b)\} = b\hat{f}(bu),\ \forall b\in\mathbb{R} F { f ( x / b )} = b f ^ ( b u ) , ∀ b ∈ R
f ^ ( 0 ) \hat{f}(0) f ^ ( 0 ) f f f
借助欧拉公式容易知道，如果 f f f R e f ^ \mathrm{Re}\hat{f} Re f ^ I m f ^ \mathrm{Im}\hat{f} Im f ^ ∣ f ^ ∣ = ( R e f ^ ) 2 + ( I m f ^ ) 2 |\hat{f}|=\sqrt{(\mathrm{Re}\hat{f})^{2}+(\mathrm{Im}\hat{f})^{2}} ∣ f ^ ∣ = ( Re f ^ ) 2 + ( Im f ^ ) 2 f f f f ^ \hat{f} f ^
卷积定理 ：卷积的傅里叶变换等于傅里叶变换的乘积，乘积的傅里叶变换等于傅里叶变换的卷积。
F { f ⋆ g } = f ^ g ^ F { f g } = f ^ ⋆ g ^ \begin{gathered}
\mathcal{F}\{f\star g\} = \hat{f}\hat{g} \\
\mathcal{F}\{fg\} = \hat{f}\star\hat{g}
\end{gathered} F { f ⋆ g } = f ^ g ^ F { f g } = f ^ ⋆ g ^ 正因为这些，傅里叶变换在采样和重构的研究中很有用。傅里叶变换提供了频率视角来看待采样、滤波和重构。
常见的傅里叶变换
箱式滤波器的傅里叶变换：
F { f box } = sin π u π u = s i n c π u \mathcal{F}\{f_{\text{box}}\} = \frac{\sin \pi u}{\pi u} = \mathrm{sinc}\ \pi u F { f box } = π u sin π u = sinc π u 借助和箱式滤波器之间的关系，帐篷式滤波器、三次 B 样条滤波器的傅里叶变换为：
F { f tent } = sin 2 π u π 2 u 2 = s i n c 2 π u F { f B } = sin 4 π u π 4 u 4 = s i n c 4 π u \begin{gathered}
\mathcal{F}\{f_{\text{tent}}\} = \frac{\sin^{2}\pi u}{\pi^{2}u^{2}} = \mathrm{sinc}^{2}\pi u \\
\mathcal{F}\{f_{\text{B}}\} = \frac{\sin^{4}\pi u}{\pi^{4}u^{4}} = \mathrm{sinc}^{4}\pi u
\end{gathered} F { f tent } = π 2 u 2 sin 2 π u = sinc 2 π u F { f B } = π 4 u 4 sin 4 π u = sinc 4 π u 借助一点复变函数的知识可以知道高斯函数的傅里叶变换：
F { f g , σ } = e − 2 π 2 σ 2 u 2 \mathcal{F}\{f_{g, \sigma}\} = e^{-2\pi^{2}\sigma^{2}u^{2}} F { f g , σ } = e − 2 π 2 σ 2 u 2
采样理论中的狄拉克脉冲
狄拉克函数可用于对连续变量函数采样。位置 a a a b b b b δ ( x − a ) b\delta(x-a) b δ ( x − a ) 脉冲序列 （impulse train）的乘积。脉冲序列，也称为狄拉克梳 （Dirac comb）：
s T ( x ) = ∑ n = − ∞ + ∞ δ ( x − T n ) s_{T}(x) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(x - Tn) s T ( x ) = n = − ∞ ∑ + ∞ δ ( x − T n ) 狄拉克梳的傅里叶级数和傅里叶变换分别为：
s T ( x ) = 1 T ∑ k = − ∞ + ∞ e i 2 π ( k / T ) x F { s T } = 1 T ∑ k = − ∞ + ∞ δ ( u − k / T ) = 1 T s 1 / T ( u ) \begin{gathered}
s_{T}(x) = \frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}e^{i2\pi(k/T)x} \\
\mathcal{F}\{s_{T}\} = \frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(u - k/T) = \frac{1}{T}s_{1/T}(u)
\end{gathered} s T ( x ) = T 1 k = − ∞ ∑ + ∞ e i 2 π ( k / T ) x F { s T } = T 1 k = − ∞ ∑ + ∞ δ ( u − k / T ) = T 1 s 1/ T ( u ) 上式所表达含义是，如果采样周期是简谐波周期的整数倍，则求和发散为无穷大；否则，求和收敛为零。
采样与混淆
傅里叶变换让卷积滤波器对信号的作用更加清晰。对于连续信号，一般包含各种频率成分，而且大多集中在零频附近，频率越高强度越弱。对连续信号 f f f f s T fs_{T} f s T
F { f s T } = f ^ ⋆ s T ^ = 1 T f ^ ⋆ s 1 / T \mathcal{F}\{fs_{T}\} = \hat{f}\star\widehat{s_{T}} = \frac{1}{T}\hat{f}\star s_{1/T} F { f s T } = f ^ ⋆ s T = T 1 f ^ ⋆ s 1/ T 又因为，任一函数 g g g δ → x 0 \delta_{\rightarrow x_{0}} δ → x 0
g → x 0 = g ⋆ δ → x 0 g_{\rightarrow x_{0}} = g\star \delta_{\rightarrow x_{0}} g → x 0 = g ⋆ δ → x 0 因此：
( 1 T f ^ ⋆ s 1 / T ) ( u ) = 1 T ∑ k = − ∞ + ∞ f ^ ( u − k / T ) \left(\frac{1}{T}\hat{f}\star s_{1/T}\right)(u) = \frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\hat{f}(u - k/T) ( T 1 f ^ ⋆ s 1/ T ) ( u ) = T 1 k = − ∞ ∑ + ∞ f ^ ( u − k / T ) 也就是说，样本信号 （sampled signal）包含了原始信号谱的无穷多个等距复本。这是因为，对于低频信号的样本点，总可以找到更高频的简谐波穿过它们，因此样本信号谱中包含了这些高频混淆信息。上式中原始信号谱称为基谱 （base spectrum），那些高频复本称为混淆谱 （alias spectra）。
当采样频率较低时，这些信号谱中的复本互相交叠，不同频率的信息被不可逆地混合起来，于是便出现了第一种混淆——源于欠采样 （undersampling）的混淆。
根据卷积定理，重构信号谱其实就是样本信号谱与滤波器谱的乘积。重构信号谱包含两部分：基谱和衰减的混淆谱。如果重构滤波器的谱较宽，比如最近邻重构 （nearest-neighbor reconstruction）——使用宽度为 1 1 1
避免采样混淆
为了提高采样和重构的质量，必须适当地选择滤波器。采样前使用低通滤波器对信号滤波，以及提高采样频率，都是为了尽可能地避免混淆谱和基谱的交叠。实际上，采样的基本准则就是信号谱宽必须小于混淆谱和基谱的间距，也就是说，信号的截止频率必须小于采样频率的一半 ，这也被称为奈奎斯特准则 （Nyquist criterion），所允许的信号最高频率称为奈奎斯特频率 （Nyquist frequency）或奈奎斯特极限 （Nyquist limit）。奈奎斯特-香农采样定理 （Nyquist-Shannon sampling theorem）可以表述为：频率不超过奈奎斯特极限的信号原则上可以从样本中精确重构出来。
避免重构混淆
重构滤波器的目的是在保持基谱的前提下消除混淆谱。合理的重构滤波器，首先是低通滤波器，其次还应该满足，在采样频率整数倍的位置取值为零，这等价于滤波器无波纹 。重构滤波器在消除混淆谱的同时，也会让基谱变得光滑，因此需要在光滑和混淆之间权衡。
避免重采样混淆
重采样滤波器为了同时做到重构和采样，必须要消除掉混淆谱，并让谱宽足够窄以保证在新的采样频率下采样。
理想滤波器与实用滤波器
不管是采样还是重构，频域箱式函数都是一种理想的选择。但是相应的滤波器 s i n c π x \mathrm{sinc}\ \pi x sinc π x
对于重构而言，有波纹的 s i n c π x \mathrm{sinc}\ \pi x sinc π x
