《Fundamentals of Computer Graphics》第五版 第八章 观测

濠水之鱼
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从 3D 世界到 2D 视图的映射称为观测变换（viewing transformation）。它在物体序渲染中扮演着重要角色，用于计算场景中每个物体在图像空间中的位置，与射线追踪刚好相反。

通常，将 3D 世界中的点投影到 2D 图像只适用于渲染线框（wireframe），即，只渲染物体的边。本章只考虑由 3D 线段构成的线框模型，实心物体渲染由后续章节讨论。

wireframe.png

观测变换

观测变换把世界空间中的点映射到图像的像素上。这一过程涉及到许多方面：相机位置和取向（orientation）、投影类型、视场角（field of view）、图像分辨率等。大多数图形系统会把这一过程分解为下面三个变换：

  • 相机变换（camera transformation, 也称 eye transformation），将世界空间（world space）变换到相机空间（camera space, 也称为 eye space），它把相机以合适的取向摆放到原点。这一变换仅依赖于相机的位置和姿态。
  • 投影变换（projection transformation），将相机空间变换到规范可视体（canonical view volume），对相机空间中的点进行投影，使得所有可见点归一化到 [−1,1][-1, 1] 区间上。这一变换仅依赖于投影类型。

    规范可视体也称为裁剪空间（clip space），其中的坐标也称为归一化设备坐标（normalized device coordinate）。

    有些 API 使用术语 “viewing transformation” 来表示相机变换，具体情况需具体分析。

  • 视口变换（viewport transformation, 也称 windowing transformation），将规范可视体变换到屏幕空间（screen space），把单位图像映射到像素坐标下想要的位置。这一变换仅依赖于输出图像的位置和尺寸。

    屏幕空间中的坐标也称为像素坐标（pixel coordinate）。

viewing-transformation.png

视口变换

规范可视体（canonical view volume）就是一个立方体 [−1,1]3[-1,1]^{3}。在规范可视体中，相机朝着 −z-z 方向，视口变换（viewport transformation）将 x=−1x=-1、x=+1x=+1、y=−1y=-1、y=+1y=+1 分别映射到屏幕左边界、右边界、下边界、上边界，也就是将 [−1,1]2[-1,1]^{2} 映射到 [−0.5,nx−0.5]×[−0.5,ny−0.5][-0.5,n_{x}-0.5]\times[-0.5,n_{y}-0.5]，其中，图像分辨率为 nx×nyn_{x}\times n_{y}。

CVV.png

将 zz 整合进来可得视口矩阵（viewport matrix）：

Mvp=[nx200nx−120ny20ny−1200100001]\mathbf{M}_{\text{vp}} = \begin{bmatrix} \frac{n_{x}}{2} & 0 & 0 & \frac{n_{x} - 1}{2} \\ 0 & \frac{n_{y}}{2} & 0 & \frac{n_{y} - 1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

它将点的坐标从规范可视体映射到屏幕空间：

[xscreenyscreenzcanonical1]=Mvp[xcanonicalycanonicalzcanonical1]\begin{bmatrix} x_{\text{screen}} \\ y_{\text{screen}} \\ z_{\text{canonical}} \\ 1 \end{bmatrix} = \mathbf{M}_{\text{vp}} \begin{bmatrix} x_{\text{canonical}} \\ y_{\text{canonical}} \\ z_{\text{canonical}} \\ 1 \end{bmatrix}

zz 值可用来确定前后关系。

正交投影变换

对于正交投影，相机空间中的可视区域可推广为 [l,r]×[b,t]×[f,n][l,r]\times[b,t]\times[f,n]，这也称为正交可视体（orthographic view volume），它由 6 个平面围成：左平面（left plane）、右平面（right plane）、下平面（bottom plane）、上平面（top plane）、远平面（far plane）、近平面（near plane）。

orthographicViewVolume.png

正交投影变换（orthographic projection transformation）可以将正交可视体变换为规范可视体：

Morth=[2r−l00−r+lr−l02t−b0−t+bt−b002n−f−n+fn−f0001]\mathbf{M}_{\text{orth}} = \begin{bmatrix} \frac{2}{r - l} & 0 & 0 & -\frac{r + l}{r - l} \\ 0 & \frac{2}{t - b} & 0 & -\frac{t + b}{t - b} \\ 0 & 0 & \frac{2}{n - f} & -\frac{n + f}{n - f} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

相机变换

下面这些信息可以确定观测者（viewer）的位置和姿态：

  • 眼位（eye position）e⃗\vec{e}
  • 视向（gaze direction）g⃗\vec{g}
  • 向上向量（view-up vector）t⃗\vec{t}

其中，t⃗\vec{t} 是相机镜头垂直平分面上的任意向量。根据这些信息可以建立一个坐标系，原点为 e⃗\vec{e}，基向量为 u⃗\vec{u}、v⃗\vec{v}、w⃗\vec{w}。

viewer.png

相机变换（camera transformation）可以将规范坐标变换为相机坐标：

Mcam=[u⃗xyzv⃗xyzw⃗xyze⃗xyz0001]−1=[xuyuzu0xvyvzv0xwywzw00001][100−xe010−ye001−ze0001]\begin{aligned} \mathbf{M}_{\text{cam}} &= \begin{bmatrix} \vec{u}_{xyz} & \vec{v}_{xyz} & \vec{w}_{xyz} & \vec{e}_{xyz} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}^{-1} \\ &= \begin{bmatrix} x_{u} & y_{u} & z_{u} & 0 \\ x_{v} & y_{v} & z_{v} & 0 \\ x_{w} & y_{w} & z_{w} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -x_{e} \\ 0 & 1 & 0 & -y_{e} \\ 0 & 0 & 1 & -z_{e} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned}

将三个变换结合起来，可以给出绘制 3D 线段的伪代码：

construct Mvpconstruct Morthconstruct McamM=MvpMorthMcamfor each line segment (a⃗i,b⃗i) dop⃗=Ma⃗iq⃗=Mb⃗idrawline(xp,yp,xq,yq)\begin{aligned} &\text{construct}\ \mathbf{M}_{\text{vp}} \\ &\text{construct}\ \mathbf{M}_{\text{orth}} \\ &\text{construct}\ \mathbf{M}_{\text{cam}} \\ &\mathbf{M} = \mathbf{M}_{\text{vp}}\mathbf{M}_{\text{orth}}\mathbf{M}_{\text{cam}} \\ &\text{\textbf{for} each line segment}\ (\vec{a}_{i}, \vec{b}_{i})\ \textbf{do} \\ &\quad\begin{aligned} &\vec{p} = \mathbf{M}\vec{a}_{i} \\ &\vec{q} = \mathbf{M}\vec{b}_{i} \\ &\text{drawline}(x_{p}, y_{p}, x_{q}, y_{q}) \end{aligned} \end{aligned}

射影变换

结合下图可知，透视投影满足：

ys=dzyy_{s} = \frac{d}{z}y

其中，dd 是相机焦点到投影屏的距离。

perspective.png

虽然分式无法通过仿射变换来表示，但如果将齐次坐标的最后一个分量扩展为任意实数，并约定齐次坐标 [x,y,z,w]T[x,y,z,w]^{T} 表示点 (x′,y′,z′)=(x/w,y/w,z/w)(x',y',z')=(x/w,y/w,z/w)，则齐次坐标的可逆线性变换：

[x~y~z~w~]=[a1b1c1d1a2b2c2d2a3b3c3d3efgh][xyzw]\begin{bmatrix} \tilde{x} \\ \tilde{y} \\ \tilde{z} \\ \tilde{w} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} & d_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} & d_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} & d_{3} \\ e & f & g & h \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{bmatrix}

对应非齐次坐标的分式线性变换（fractional linear transformation）：

(x~′,y~′,z~′)=(x~/w~,y~/w~,z~/w~)(\tilde{x}', \tilde{y}', \tilde{z}') = (\tilde{x}/\tilde{w}, \tilde{y}/\tilde{w}, \tilde{z}/\tilde{w})

以 x~′\tilde{x}' 为例：

x~′=a1x′+b1y′+c1z′+d1ex′+fy′+gz′+h\tilde{x}' = \frac{a_{1}x' + b_{1}y' + c_{1}z' + d_{1}}{ex' + fy' + gz' + h}

上式也称为关于 x′x'、y′y'、z′z' 的线性有理函数（linear rational function）。

齐次坐标的可逆线性变换也称为射影变换（projective transformation，又名 homography）。实际上，上面对齐次坐标的约定正是射影几何中齐次坐标的原始定义。

射影空间可以通过高一个维度的线性空间来定义。使用非零数乘对线性空间中的向量建立等价关系：

x⃗∼αx⃗,∀ α≠0\vec{x}\sim\alpha\vec{x},\quad\forall\ \alpha\neq 0

其中，x⃗=[x1,x2,⋯ ,xn]T\vec{x}=[x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}]^{T} 称为齐次坐标，或齐次射影坐标。非零向量的等价类就是射影空间中的点，而非齐次坐标 (x1/xn,x2/xn,⋯ ,xn−1/xn)(x_{1}/x_{n},x_{2}/x_{n},\cdots,x_{n-1}/x_{n}) 可看作 xn≠0x_{n}\neq 0 的等价类的一种表示。利用线性空间上的可逆线性变换可以定义射影空间上的变换：

A^x⃗‾=defAx⃗‾\mathbf{\hat{A}}\overline{\vec{x}}\xlongequal{def}\overline{\mathbf{A}\vec{x}}

其中，A\mathbf{A} 是线性空间中的可逆线性变换，A^\mathbf{\hat{A}} 是相应的射影变换，x⃗‾\overline{\vec{x}} 是向量 x⃗\vec{x} 所属的等价类。根据线性代数的基础知识容易知道，上式确实给出了射影空间上的可逆变换，称为射影变换（projective transformation）；而且 A^=λA^\mathbf{\hat{A}}=\mathbf{\widehat{\lambda A}}，反之亦然，即同一个射影变换的齐次坐标表示之间最多差一个非零数乘。

据前文所述，射影变换可以表示非齐次坐标的分式线性变换，在一定条件下，这又可以退化为仿射变换。实际上，仿射变换就是一种特殊的射影变换，它将无穷远点/有限远点仍映射为无穷远点/有限远点，而透视投影之所以可以用射影变换来表示，是因为中心投影本身就是射影映射（projective mapping）。

射影变换可以构成一个群：

  1. A^B^=AB^\mathbf{\hat{A}}\mathbf{\hat{B}} = \mathbf{\widehat{AB}}
  2. (A^B^)C^=A^(B^C^)(\mathbf{\hat{A}}\mathbf{\hat{B}})\mathbf{\hat{C}} = \mathbf{\hat{A}}(\mathbf{\hat{B}}\mathbf{\hat{C}})
  3. I^A^=A^I^=A^\mathbf{\hat{I}}\mathbf{\hat{A}} = \mathbf{\hat{A}}\mathbf{\hat{I}} = \mathbf{\hat{A}}
  4. A^−1=A−1^\mathbf{\hat{A}}^{-1} = \mathbf{\widehat{A^{-1}}}

齐次坐标可以连续做多次射影变换或逆变换，而且可以随时通过齐次化（homogenize），即除以最后一个分量（如果非零），来获取当前等价类的非齐次坐标表示。

homogeneous-affine-coordinate.png

透视投影

透视投影仍采用近平面和远平面来限制可视范围。近平面作为投影平面（projection plane），像面距（image plane distance）为 −n-n。中心投影变换可以用透视矩阵（perspective matrix）来实现：

P=[n0000n0000n+f−fn0010]\mathbf{P} = \begin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n + f & -fn \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}

透视矩阵有很多种选择，它们都会非线性地扭曲 zz 值。

该矩阵对齐次坐标的作用如下：

P[xyz1]∼[nxznyzn+f−fnz1]\mathbf{P} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} \frac{nx}{z} \\ \frac{ny}{z} \\ n + f - \frac{fn}{z} \\ 1 \end{bmatrix}

由上式可知，矩阵 P\mathbf{P} 的选择保持了远平面上点的 zz 值、近平面上的点，以及可视区域中 zz 值的相对顺序。

perspective-matrix.png

由于数乘不改变射影变换，因此 P\mathbf{P} 的逆矩阵可以取为：

P−1=[f0000f00000fn00−1n+f]\mathbf{P}^{-1} = \begin{bmatrix} f & 0 & 0 & 0 \\ 0 & f & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & fn \\ 0 & 0 & -1 & n + f \end{bmatrix}

透视矩阵 P\mathbf{P} 只是将透视可视体（perspective view volume，也称为 frustum，即视锥体）映射为正交可视体。而透视投影矩阵（perspective projection matrix）将透视可视体变为规范可视体：

Mper=MorthP=[2nr−l0l+rl−r002nt−bb+tb−t000n+fn−f2fnf−n0010]\mathbf{M}_{\text{per}} = \mathbf{M}_{\text{orth}}\mathbf{P} = \begin{bmatrix} \frac{2n}{r - l} & 0 & \frac{l + r}{l - r} & 0 \\ 0 & \frac{2n}{t - b} & \frac{b + t}{b - t} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{n + f}{n - f} & \frac{2fn}{f - n} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}

不同的图形学 API 采用的规范略有不同，比如 OpenGL 中 nn、ff、zcanonicalz_{\text{canonical}} 与这里的正负号刚好相反，有些图形学 API 将规范可视体定为 [0,1]3[0,1]^{3}，这些都会略微改变投影矩阵。

透视投影变换将线段映射为线段，进而将三角形映射为三角形、将平面映射为平面。实际上，任何矩阵 M\mathbf{M} 都会把线段 q⃗+t(Q⃗−q⃗)\vec{q}+t(\vec{Q}-\vec{q}) 变换为 Mq⃗+t(MQ⃗−Mq⃗)=r⃗+t(R⃗−r⃗)\mathbf{M}\vec{q}+t(\mathbf{M}\vec{Q}-\mathbf{M}\vec{q})=\vec{r}+t(\vec{R}-\vec{r})，齐次化后：

q⃗\vec{q}、Q⃗\vec{Q} 是齐次化后的齐次坐标，表示变换前线段的起点和终点。

r⃗+t(R⃗−r⃗)wr+t(wR−wr)=r⃗wr+f(t)(R⃗wR−r⃗wr)其中，f(t)=wRtwr+t(wR−wr)\frac{\vec{r} + t(\vec{R} - \vec{r})}{w_{r} + t(w_{R} - w_{r})} = \frac{\vec{r}}{w_{r}} + f(t)\left(\frac{\vec{R}}{w_{R}} - \frac{\vec{r}}{w_{r}}\right) \\ \text{其中，}f(t) = \frac{w_{R}t}{w_{r} + t(w_{R} - w_{r})}

而透视投影矩阵 Mper\mathbf{M}_{\text{per}} 可以保证 f(t)f(t) 在 [0,1][0,1] 上单调增。

结合相机变换和视口变换可得透视观测变换：

M=MvpMorthPMcam\mathbf{M} = \mathbf{M}_{\text{vp}}\mathbf{M}_{\text{orth}}\mathbf{P}\mathbf{M}_{\text{cam}}

综上，绘制 3D 线段的伪代码如下：

compute Mvpcompute Mpercompute McamM=MvpMperMcamfor each line segment (a⃗i,b⃗i) dop⃗=Ma⃗iq⃗=Mb⃗idrawline(xp/wp,yp/wp,xq/wq,yq/wq)\begin{aligned} &\text{compute}\ \mathbf{M}_{\text{vp}} \\ &\text{compute}\ \mathbf{M}_{\text{per}} \\ &\text{compute}\ \mathbf{M}_{\text{cam}} \\ &\mathbf{M} = \mathbf{M}_{\text{vp}}\mathbf{M}_{\text{per}}\mathbf{M}_{\text{cam}} \\ &\text{\textbf{for} each line segment}\ (\vec{a}_{i}, \vec{b}_{i})\ \textbf{do} \\ &\quad\begin{aligned} &\vec{p} = \mathbf{M}\vec{a}_{i} \\ &\vec{q} = \mathbf{M}\vec{b}_{i} \\ &\text{drawline}(x_{p}/w_{p}, y_{p}/w_{p}, x_{q}/w_{q}, y_{q}/w_{q}) \end{aligned} \end{aligned}

视场角

有时为简单起见，进一步约定：

l=−rb=−tnxny=rt\begin{aligned} &l = -r \\ &b = -t \\ &\frac{n_{x}}{n_{y}} = \frac{r}{t} \end{aligned}

即，观测窗口中心在 zz 轴上，而且图像没有变形。如果 nxn_{x}、nyn_{y} 已经确定，则仅剩一个自由度，一般用视场角（field-of-view，也称为视场）θ\theta 来描述：

tan⁡θ2=t∣n∣\tan\frac{\theta}{2} = \frac{t}{|n|}

这里的视场角也称为垂直视场角（vertical field-of-view）。

field-of-view.png

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