120. 三角形最小路径和 (triangle)

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120. 三角形最小路径和 题目描述：给定一个三角形 $triangle$，找出自顶向下的最小路径和。每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。相邻的结点在这里指的是下标与上一层结点下标 相同 或者等于 上一层结点下标 $+ 1$ 的两个结点。也就是说，如果正位于当前行的下标 $i$，那么下一步可以移动到下一行的下标 $i$ 或 $i + 1$。

示例1	示例2
输入：$triangle = [[2],[3,4],[6,5,7],[4,1,8,3]]$ 输出：$11$ 解释：自顶向下的最小路径和为 $11$（即，$2 + 3 + 5 + 1 = 11$）。	输入：$triangle = [[-10]]$ 输出：$-10$

中规中矩的动态规划

从容易理解的二维 $dp$ 结构开始。

1、确定 dp 状态数组

定义 $dp[i][j]$ 为从 $(0,0)$ 位置走到 $(i,j)$ 位置的最小路径和，其中 $0 \le j \le i < n$，$n = triangle.length$。

2、确定 dp 状态方程

根据题意推断出，只能从 $(i - 1, j - 1)$ 位置 或 $(i - 1, j)$ 位置走到 $(i, j)$ 位置，因此 $dp[i][j]$ 的状态方程为，

3、确定 dp 初始状态

$dp$ 状态方程中涉及到 $i - 1$ 和 $j - 1$，因此需提前设置好边界值 $dp[i][0]$ 和 $dp[i][i]$ 这些元素。

• $dp[i][0]$ 代表从 $(0,0)$ 位置走到 $(i,0)$ 位置的最小路径和，即 $dp[i][0] = dp[i - 1][0] + triangle[i][0]$

• $dp[i][i]$ 代表从 $(0,0)$ 位置走到 $(i, i)$ 位置的最小路径和，即 $dp[i][i] = dp[i-1][i-1] + triangle[i][i]$

4、确定遍历顺序

如图所示，在计算 $dp[i][0]$ 时，已经将 $2->3->6->4$ 这条路径计算完毕；而计算 $dp[i][i]$ 时，已经将 $2->4->7->3$ 这条路径计算完毕，所以

• 外层循环应从 $i = 2$ 遍历到 $i = n - 1$；

• 内层循环应从 $j = 1$ 遍历到 $j = i - 1$。

内层循环为什么只需要遍历到 $j = i - 1$，因为当 $i = 2$ 时，只需要计算 $(2,1)$ 即可，$i = 3$ 时，只需要计算 $(3, 1)$ 和 $(3, 2)$ 即可，以此类推。

5、确定最终返回值

三角形底边的所有数值，即 $dp[n-1]$，仅仅是从 $(0,0)$ 位置到 $dp[n - 1][j]$ 的最小路径值，所以需要统一比较 $dp[n - 1]$ 数组的所有值，即

6、代码示例

/**
 * 空间复杂度 O(n^2)
 * 时间复杂度 O(N^2)
 */
function minimumTotal(triangle: number[][]): number {
    const n = triangle.length;
    const dp = Array.from({ length: n }, () => new Array(n).fill(0));

    dp[0][0] = triangle[0][0];

    for (let i = 1; i < n; i++) {
        dp[i][0] = dp[i - 1][0] + triangle[i][0];
        dp[i][i] = dp[i - 1][i - 1] + triangle[i][i];
    }

    for (let i = 2; i < n; i++) {
        for (let j = 1; j < i; j++) {
            dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j]) + triangle[i][j]
        }
    }

    return Math.min(...dp[n - 1]);
};

逆向思维的动态规划

“中规中矩的动态规划”中需要考虑的边界逻辑太多，很容易遗漏，而且空间复杂度比较高。我们在“逆向思维”中探寻一种更为理想的求解方法。

1、确定 dp 状态数组

这次我们定 $dp[i][j]$ 为从 $(i,j)$ 位置到达 $triangle$ 数组最后一行的最小路径和，其中 $0 \le j \le i < n$，$n = triangle.lenght$。

2、确定 dp 状态方法

从 $(i, j)$ 位置只能经过 $(i + 1, j + 1)$ 位置或 $(i + 1， j)$ 位置，即，

3、确定 dp 初始状态

$triangle$ 数组的最后一行就是 $dp$ 数组的初始状态，即

NOTE: 我们这里完全不需要额外申请 $n \times n$ 的数组空间，直接复用 $triangle$ 数组，将其当成 $dp$ 状态数组即可。

4、确定遍历顺序

• 外层循环倒序遍历，从 $i = n - 2$ 遍历到 $i = 0$；

• 内层循环正序遍历，从 $j = 0$ 遍历到 $j = i$。

5、确定最终返回值

回归到状态定义中，$dp[0][0]$ 为从 $(0,0)$ 位置到达 $triangle$ 数组最后一行的最小路径和。

6、代码示例

/**
 * 空间复杂度 O(1)
 * 时间复杂度 O(n^2)
 */
function minimumTotal(triangle: number[][]): number {
    const n = triangle.length;
    const dp = triangle;

    for (let i = n - 2; i >= 0; i--) {
        for (let j = 0; j <= i; j++) {
            dp[i][j] += Math.min(dp[i + 1][j + 1], dp[i + 1][j])
        }
    }

    return dp[0][0];
};

参考

# 重识动态规划