5. 最长回文子串 (longest palindromic substring)

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5. 最长回文子串 题目描述：给你一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。

中规中矩的动态规划

达成共识：

1、单个字符一定是“回文串”；

2、如果字符串 $s$ 在 $[i + 1,j - 1]$ 区间是回文串，且 $s[i] == s[j]$，那么 $s$ 在 $[i,j]$ 区间也必定是回文串，其中，$0 <= i < j < n$，$n = s.length$。

1、确定 dp 状态数组

定义 $dp[i][j]$ 表示字符串 $s$ 在 $[i,j]$ 区间是否是回文串，每个元素值为 $true$ / $false$。

🎡 NOTE: 这里是 左闭右闭 区间。

2、确定 dp 状态方程

这里要讨论一下 $i$、$j$ 的相对大小：

• 当 $[i+1, j-1]$ 不能构成区间时，此时存在 $j - i <3$ (通过 $j - 1 - (i + 1) < 1$ 得到)，此时 $dp[i][j]$ 是否能成为回文串仅仅取决于 $s[i] == s[j]$；

• 当 $j - i \ge 3$ 时，$dp[i][j]$ 不仅取决于 $s[i] == s[j]$，还要判断 $dp[i + 1][j - 1]$ 是否是回文串，即 $dp[i][j]$ = $(s[i] == s[j]) \space \&\& \space dp[i + 1][j - 1]$。

3、确定 dp 初始状态

通过 单个字符一定是“回文串” 可知，$dp[k][k] = true$，其中 $k \in [0, n)$。

4、确定遍历顺序

• 外层循环从 $j = 1$ 遍历 $j = n- 1$

• 内层循环从 $i = 0$ 遍历到 $i = j - 1$

5、确定最终返回值

由于题目要求我们返回具体的回文串，所以我们需要额外记录一下最长回文串的 起始位置(begin) 和 最大长度(maxLength); 每当 $dp[i][j] == true$ 而且 $currLength > maxLength$ 时，将 $currLength$ 赋值给 $maxLength$，将 $i$ 赋值给 $begin$，其中 $currLength = j -i + 1$。

所以最终返回值为

6、代码示例

/**
 * 空间复杂度 O(n^2)
 * 时间复杂度 O(n^2)
 */
function longestPalindrome(s: string): string {
    const n = s.length;

    if (n < 2) {
        return s;
    }

    const dp = Array.from({ length: n }, () => new Array(n).fill(false));
    let begin = 0;
    let maxLength = 1;

    for (let k = 0; k < n; k++) {
        dp[k][k] = true;
    }

    for (let j = 1; j < n; j++) {
        for (let i = 0; i < j; i++) {
            if (s[i] !== s[j]) {
                dp[i][j] = false;
            } else if (j - i < 3) {
                dp[i][j] = true;
            } else {
                dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1];
            }

            const currLength = j - i + 1;
            if (dp[i][j] && currLength > maxLength) {
                begin = i;
                maxLength = currLength;
            }
        }
    }

    return s.slice(begin, begin + maxLength);
};

参考

# 重识动态规划