91. 解码方法 (decode ways)

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91. 解码方法 题目描述：一条包含字母 A-Z 的消息通过以下映射进行了 编码。

要 解码 已编码的消息，所有数字必须基于该映射方法，方向映射回字母有多种方法。给你一个只含数字的 非空 字符串 s ，请计算并返回 解码 方法的 总数 。

中规中矩的动态规划

动态规划题目最重要的一点就是探寻 最优子结构。

1、确定 dp 状态数组

定义 $dp[i]$ 为 $str$ 在 $[0: i)$ 区间的解码方法总数，其中 $i \in [0,n]$，$n = str.length$。

NOTE: 通常情况下，引入一个“哨兵”节点，会简化问题，即 $dp[0]$ 节点代表 $str$ 在 $[0: 0)$ 区间的解码方法总数，此区间并没有对应字符。

2、确定 dp 状态方程

对于 $str[i]$ 的情况，我们分开讨论：

• 当 $str[i] == “0”$ 时：

  • 如果 $str[i - 1] == “1”、“2”$ 时，$dp[i] = dp[i - 2]$。此时 $dp[i]$ 是以 $0$ 结尾字符串片段的解码方法总数。这是一个特殊的位置，由于 $0$ 不能作为编码的起始位置，只能作为编码的结束位置，且位数必须是 $2$ 的解码对，即 $J => 10$ 或 $T => 20$。所以，如果当前 $str[i] == “0”$，$str$ 在 $[0: i]$ 的解码方法总数一定等于 $str$ 在 $[0: i-2]$ 的解码方法总数，因为 $str$ 在区间 $[i-1:i]$ 只能对应 $J => 10$ 或 $T => 20$ 。

  • 如果 $str[i - 1] !== “1”、“2”$ 时，此时一定无法成功解码，直接返回 $0$ 即可（可自行验证，例如 "23602"，"33001"，都无法成功解码）。

• 当 $str[i] !== “0”$ 时:

  • 如果 $str[i - 1] == “1”$，那么一定存在 $dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]$。$str[i] !== “0”$，说明 $str[i]$ 一定可以单独解码，此时，$dp[i] = dp[i - 1]$；又因为 $str[i - 1] == “1”$，$str[i-1]$ 和 $str[i]$ 组合起来也可以解码，此时 $dp[i] = dp[i - 2]$。故两者之和才是 $dp[i]$ 最后的值。

  • 如果 $str[i - 1] == “2”$ 且 $str[i] == “1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”$，同理 $dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]$

  • 如果 $str[i - 1] !== “1” 、“2”$ 或者 $str[i] == “7”、“8”、“9”$，一定存在 $dp[i] = dp[i - 1]$。因为此时 $str[i]$ 只能单独解析。

3、确定 dp 初始状态

因为状态转移方程涉及到 $i - 2$，所以至少要初始化两个节点，即

• $dp[0]$ 为 $str$ 在 $[0: 0)$ 区间的解码方法总数，此区间没有字符，也视为 $1$ 种解码方法，故 $dp[0] = 1$；

• $dp[1]$ 为 $str$ 在 $[0: 1)$ 区间的解码方法总数，只有 $str[0]$，解码方法总数只能为 1，故 $dp[1] = 1$。

由于 $str[0]$ 可能为 $0$，所以这里要提前判断。

4、确定遍历顺序

从 $i = 2$ 到 $i = n$。

5、确定最终返回值

回归动态规划的定义中：返回 $dp[n]$，其值为 $str$ 在 $[0: n)$ 区间的解码方法总数。

6、代码示例

/**
 * 空间复杂度 O(n),n是s的长度
 * 时间复杂度 O(n)
 */
function numDecodings(s: string): number {
    if (s[0] === '0') return 0;

    const n = s.length;
    const dp = new Array(n + 1).fill(0);

    dp[0] = 1;
    dp[1] = 1;

    for (let i = 2; i <= n; i++) {
        const curr = s[i - 1];
        const prev = s[i - 2];

        if (curr === '0') {
            if (prev === '1' || prev === '2') {
                dp[i] = dp[i - 2];
            } else {
                return 0;
            }
        } else {
            if (prev === '1' || (prev === '2' && curr <= '6' )) {
                dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
            } else {
                dp[i] = dp[i - 1];
            }
        }
    }

    return dp[n];
};

参考

# 重识动态规划