"斐波那契，动态规划开始的地方"

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746. 使用最小花费爬楼梯 题目描述：给你一个整数数组 $cost$，其中 $cost[i]$ 是从楼梯第 $i$ 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。你可以选择从下标为 $0$ 或下标为 $1$ 的台阶开始爬楼梯。请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。

输入： $cost = [10,15,20]$

输出： $15$

解释： 你将从下标为 $1$ 的台阶开始。支付 $15$ ，向上爬两个台阶，到达楼梯顶部。总花费为 $15$ 。

输入： $cost = [1,100,1,1,1,100,1,1,100,1]$

输出： $6$

解释： 你将从下标为 $0$ 的台阶开始。

• 支付 $1$ ，向上爬两个台阶，到达下标为 $2$ 的台阶。
• 支付 $1$ ，向上爬两个台阶，到达下标为 $4$ 的台阶。
• 支付 $1$ ，向上爬两个台阶，到达下标为 $6$ 的台阶。
• 支付 $1$ ，向上爬一个台阶，到达下标为 $7$ 的台阶。
• 支付 $1$ ，向上爬两个台阶，到达下标为 $9$ 的台阶。
• 支付 $1$ ，向上爬一个台阶，到达楼梯顶部。总花费为 $6$。

中规中矩的动态规划

探寻最优子结构：如果我们知道到第 $i$ 级台阶时的最小花费，记作 $dp[i]$，那么当 $i \ge 2$ 时，我们可以从 第 $i - 2$ 级台阶直接爬到第 $i$ 级台阶，此时 $dp[i] = dp[i-2] + cost[i-2]$，我们也可从第 $i - 1$ 级台阶直接爬到第 $i$ 级台阶，此时 $dp[i] = dp[i-1] + cost[i-1]$。那么 $dp[i]$ 选择两者最小值即可。

1、确定 dp 状态数组

定义 $dp[i]$ 是到达第 $i$ 级台阶时的最小开销，$i \in [0, n]$。台阶从 $0$ 开始计数，当我们到达第 $n - 1$ 级台阶时，依然要支付 $cost[n - 1]$ 的费用才算到达顶点，所以我们对 $dp$ 数组延长一个"哨兵"节点。

2、确定 dp 状态方程

在探寻最优子结构时，已经得到转移方程，即

3、确定 dp 初始状态

根据题目条件 你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。，那么到第 $0$ 级或第 $1$ 级台阶均没有开销，即 $dp[0] = dp[1] = 0$;

4、确定遍历顺序

从 $i = 2$ 顺序遍历到 $i = n$（拓展一个“哨兵”节点，所以 $i$ 可以遍历到 $n$）。

5、确定最终返回值

回归到状态定义中，$dp[n]$ 即为返回值。

6、代码示例

/**
 * 空间复杂度 O(n),n是cost数组的长度
 * 时间复杂度 O(n)
 */
function minCostClimbingStairs(cost: number[]): number {
    const n = cost.length;
    const dp = new Array(n + 1).fill(0);
    
    for(let i = 2; i <= n; i++) {
        dp[i] = Math.min(dp[i - 1]+ cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
    }
    
    return dp[n]
};

状态压缩

/**
 * 空间复杂度 O(1)
 * 时间复杂度 O(n)
 */
function minCostClimbingStairs(cost: number[]): number {
    let prev = 0, curr = 0;
  
    for (let i = 2, n = cost.length; i <= n; i++) {
        const next = Math.min(curr + cost[i - 1], prev + cost[i - 2]);
        prev = curr;
        curr = next;
    }
   
    return curr;
};

参考

# 重识动态规划