"你的背包，让我不再走得缓慢"

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474. 一和零 题目描述：给你一个二进制字符串数组 $strs$ 和两个整数 $m$ 和 $n$。请你找出并返回 $strs$的 最大子集 的长度，该子集中最多有 $m$ 个 $0$ 和 $n$ 个 $1$ 。如果 $x$ 的所有元素也是 $y$ 的元素，集合 $x$ 是集合 $y$ 的子集 。

中规中矩的动态规划

1、定义 dp 状态数组

典型 0-1 背包 问题：定义 $strs$ 数组在 $[0,i]$ 索引区间上，$j$ 个 $0$ 和 $k$ 个 $1$ 限制下的子集的最大长度为 $dp[i][j][k]$，其中 $i\in[0,len)$，$len=strs.length$，$j\in[0,m]$，$k\in[0,n]$。

2、定义 dp 状态方程

确定当前的 $strs[i]$ 有 $zeros$ 个 $0$ 和 $ones$ 个 $1$。

• 如果背包的容量不允许更多的 $0$ 或 $1$，即 $j<zeros$ 或! $k<ones$，或者主动舍弃 $strs[i]$，此时有 $dp[i][j][k] = dp[i-1][j][k]$

• 如果背包的容量即允许 $zeros$ 个 $0$ 和 $ones$ 个 $1$，此时 $j \ge zeros$ 且 $k \ge ones$，此时有 $dp[i][j][k]=dp[i−1][j−zeros][k−ones]+1$

3、确定 dp 初始状态

$dp[i][0][0]$ 代表从 $[0,i]$ 中选择元素，$0$ 个 $0$ 和 $0$ 个 $1$ 限制下的子集最大长度，故! $dp[i][0][0]$ 恒为 $0$。

题意中规定：$strs[i]$ 的长度至少为 $1$，且 $strs[i]$ 至少由 $1$ 个 $0$ 或 $1$ 个 $0$ 组成，所以如果背包的二维条件都限制为 $0$，那子集的最大长度恒为 $0$；如果没有“ $strs[i]$ 至少由 $1$ 个 $0$ 或 $1$ 个 $1$ 组成”的限制条件，这里要计算 $strs[i]$ 有 $zeros$ 个 $0$ 和 $ones$ 个 $1$，如果 $zeros==0$ 且 $ones==0$，子集的最大长度为 $1$，否则为 $1$。）

$dp[0][j][k]$ 代表从 $0$ 中选择元素（只能选择 $strs[0]$），$j$ 个 $0$ 和 $k$ 个 $1$ 限制下的子集最大长度。这里先要计算 $strs[0]$ 有 $zeros$ 个 $0$ 和 $ones$ 个 $1$，如果 $zeros \le j$ 且 $ones \le k$，子集的最大长度为 $1$，否则为 $0$。

4、确定遍历顺序

• 第一层遍历从 $i=1$ 到 $i=len - 1$

• 第二层遍历从 $j=1$ 到 $j=m$

• 第三层遍历从 $k=1$ 到 $k=n$

5、确定最终返回值

回归 $dp$ 定义，即返回 $dp[len-1][m][n]$

6、代码示例

/**
 * 空间复杂度 O(l*m*n),其中l是strs数组的长度
 * 时间复杂度 O(l*m*n+L),其中L是strs数组所有字符串的长度和
 */
function findMaxForm(strs: string[], m: number, n: number): number {
    const len = strs.length;
    const dp = Array.from({ length: len }, 
    () => new Array(m + 1).fill(0).map(() => new Array(n + 1).fill(0)));

    for(let i = 0; i < len; i++) {
        dp[i][0][0] = 0; // 初始化时已经是0了，为了理解方便，再赋值一遍
    }

    const { zeros, ones } = findZerosAndOnes(strs[0]);
    for (let j = 0; j <= m; j++) {
        for (let k = 0; k <= n; k++) {
            dp[0][j][k] = (zeros <= j && ones <= k) ? 1 : 0;
        }
    }

    for (let i = 1; i < len; i++) {
        const { zeros, ones } = findZerosAndOnes(strs[i]);

        for (let j = 0; j <= m; j++) {
            for (let k = 0; k <= n; k++) {
                if (j >= zeros && k >= ones) {
                    dp[i][j][k] = Math.max(dp[i - 1][j][k], dp[i - 1][j - zeros][k - ones] + 1);
                } else {
                    dp[i][j][k] = dp[i - 1][j][k];
                }
            }
        }
    }

    return dp[len - 1][m][n];
};

function findZerosAndOnes(str: string): { zeros: number, ones: number } {
    let zeros = 0;
    let ones = 0;

    for(let i = 0, len = str.length; i < len; i++) {
        if (str[i] === '0') {
            zeros += 1;
        } else if (str[i] === '1') {
            ones += 1;
        }
    }

    return { zeros, ones };
}

参考

# 重识背包问题（上）

# 重识背包问题（下）