322. 零钱兑换 (coin change)

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322. 零钱兑换：给你一个整数数组 $coins$，表示不同面额的硬币；以及一个整数 $amount$，表示总金额。计算并返回可以凑成总金额所需的最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 $-1$ 。你可以认为每种硬币的数量是无限的。

中规中矩的动态规划

寻找一下最优子结构：我们手上有 $coin_1,coin2,...,coin_n$（其中 $n=coins.length$）等面值的货币，想计算出 $amount$ 金额可兑换的最少硬币数量。设想，如果可以知道 $amount-coin_1$ 需要的最少硬币数量，再其基础上加 $1$（即再选择一枚 $coin_1$ 面值的硬币），就可以知道 $amount$ 需要最少的硬币数量。这是独立子问题之一，因为我们还需要知道 $amount-coin_2,...,amount - coint_n$ 等一系列独立子问题的解，获得所有解的最小值之后，并再其基础上加1，才能获得最终的解，即 $amount$ 需要最少的硬币数量。

1、定义 dp 状态数组

$dp[i]$ 是金额为 $i$ 时所需要的最少银币数量，其中 $i \in [0,amount]$。

2、定义 dp 状态转移方程

3、定义 dp 初始状态

金额为 $0$ 时，是不需要硬币的，即 $dp[0] =0$

4、确定遍历顺序

第一层循环：从 $i=1$ 到 $i= amount$;

第二层循环：从 $j=0$ 到 $j=coins.length-1$

5、确定最终返回值

$dp[amount]$ 或 $-1$

💥NOTE：既然是求最小值，初始化 $dp$ 数组时一定要用一个较大的值去填充，当循环结束时，如果 $dp[amount]$ 等于这个较大的值，说明兑换硬币失败，返回 $-1$ ，否则返回 $dp[amount]$。

6、代码示例

/**
 * 空间复杂度 O(amount) 
 * 时间复杂度 O(amount * coins.length)
 */
function coinChange(coins: number[], amount: number): number {
    if (amount === 0) {
        return 0;
    }

    const dp = new Array(amount + 1).fill(amount + 1);
    dp[0] = 0;

    for(let i = 1; i <= amount; i++) {
        for(let j = 0; j < coins.length; j++) {
            if (coins[j] <= i) {
                dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - coins[j]] + 1);
            }
            // if语句可简化为：dp[i] = Math.min(dp[i], (dp[i - coins[j]] ?? amount) + 1);
        }
    }

    return dp[amount] === amount + 1 ? -1 : dp[amount];
};

总结

Q1：为什么初始化 $dp$ 数组要填充 $amount +1$ ？

• 首先，题意要求“最小值”，所以初始化 $dp$ 时肯定要填充一个较大的值；

• 其次，题意里规定硬币的最小面值为 $1$ ，因此所需要的银币个数最多为 $amount$ 个；

• 最后，$amount+1$ 是一个“最大值”的下限（当然可以设置成 $infinity$）。把它作为“标记数”，当循环结束时，如 $dp[amount] === amount + 1$ ，就说明 $amout$ 金额不能被兑换成零钱，直接返回 $-1$ 即可。

Q2：为什么金额 $i$ 小于 $coin[j]$ 时要忽略？

• 首先，$i- coin[j]$ 作为索引，的目的是从 $dp$ 数组中寻找上一个状态需要的最小硬币个数；

• 其次，$i- coin[j] < 0$ 在数组 $dp$ 会越界，虽然在JS引擎内访问越界索引不会报错，但会获得 undefined，该值在 Math.min 计算下会返回 NaN，影响后续循环与计算；

• 最后，对于数组越界的索引对应的值，可以赋值一个较大的数值（如 $amount+1$），这样不会影响后续循环与计算。

参考

# 重识动态规划

# 重识背包问题（上）

# 重识背包问题（下）