343. 整数拆分 (integer-break)

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343. 整数拆分 题目描述：给定一个 正整数 $n$，将其拆分为 $k$ 个 正整数 的和（$k \ge 2$），并使这些整数的乘积最大化。求这个最大乘积。（$2 \le n \le 58$）

示例1	示例2
输入: $2$ 输出: $1$ 解释: $2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1$	输入: $10$ 输出: $36$ 解释: $10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36$

中规中矩的动态规划

题意很符合动态规划题目的必要条件，求最值、可枚举、无后效性，但是否存在最优子结构？我们试猜想，记 $T_n$ 为整数 $n$ 拆分 $k$ 个正整数后，这些正整数的最大乘积。如果知道 $T_{n-1}$ 的值，能否得到 $T_n$ 的值？貌似并不能从 $T_{n-1}$ 转移到 $T_n$。

那换个思路，对于正整数 $n$，当 $n \ge 2$ 时，可以拆分成至少两个正整数的和。若 $m$ 是 $n$ 拆分出的第一个正整数，则剩下的部分是 $n - m$，这部分有两种情况

1. 不能拆分，那么乘积就是 $T_n = m \times (n - m)$
2. 继续拆分，那么乘积就是 $T_n = m \times T_{n-m}$。

1、确定 dp 状态数组

$dp[i]$ 表示正整数 $i$ 拆分成至少两个正整数后，，这些正整数的最大乘积。

2、确定 dp 状态转移方程

设正整数 $i$ 拆分出来的第一个正整数为 $j$（其中，$1 \le j <i$），则有以下两种情况：

• 正整数 $i$ 拆分成 $j$ 和 $i-j$，而且 $i-j$ 不能再继续拆分成多个正整数，此时最大的乘积为 $j \times (i-j)$

• 正整数 $i$ 拆分成 $j$ 和 $i-j$，而且 $i-j$ 可以再继续拆分成多个正整数，此时最大的乘积为 $j \times dp[i-j]$

那么状态转移方程为，$dp[i] = max(dp[i], j \times (i-j), j \times dp[i -j])$。

3、确定 dp 初始状态

从 $i = 0$ 到 $i = n$，$dp[i] = 0$。

• $0$ 和 $1$ 都不能正常拆分，保证 $dp$ 数组连续，故 $dp[0]=dp[1]=0$；

• 从 $2$ 开始都可以正常拆分，而且 $2$ 只能拆分成 $1+1$，故 $dp[2] = 1$。

4、确定遍历顺序

• 第一层循环从 $i =3$ 到 $i = n$

• 第二层循环从 $j=1$ 到 $j = i -1$

5、确定最终返回值

重温 $dp$ 数组定义：正整数 $n$，将其拆分为 $k$ 个 正整数的和（$k \ge 2$），并使这些整数的乘积最大化，即为 $dp[n]$

6、代码示例

/**
 * 时间复杂度 O(n^2)
 * 空间复杂度 O(n)
 */
function integerBreak(n: number): number {
    const dp = new Array(n + 1).fill(0);
    dp[2] = 1;

    for(let i = 3; i <= n; i++) {
        for(let j = 1; j < i; j++) {
            dp[i] = Math.max(dp[i], j * (i - j), j * dp[i - j]);
        }
    }

    return dp[n];
};

思维升级-不等式

求证最大值不等式

在高中阶段我们接触过这样的不等式: ${\frac {(n_1+n_2+...+n_n)} {a}} \ge \sqrt[a]{n_1n_2...n_n}$ ，当且仅当 $n_1 = n_2 = ... = n_n$ 时，乘积最大值。

设将数字 $n$ 以因子 $x$ 等分为 $a$ 个，即 $n=ax$，则乘积为 $x^a = x^{\frac{n}{x}} = (x^{\frac{1}{x}})^n$，$n$ 是常数，所以当 $x^{\frac{1}{x}}$ 取最大值时，乘积取最大值。

令 $y=x^{\frac{1}{x}}$，公式两边取对数，得到 $lny ={\frac {1} {x}} lnx$，对 $x$ 求导，得到 ${\frac {1} {y}} y^{'} = -{\frac {1} {x^2}} lnx + {\frac {1} {x^2}}$，整理得到

另 $y^{'} = 0$，${x^{{\frac {1} {x}}-2}}$ 恒大于 $0$，所以只能当 $1 - lnx$ 为 $0$ 时，$y^{'}$ 才能为 $0$，得到极值点为 $x_0 = e$。当 $x < e$ 时，$y^{'} > 0$ 单调递增，当 $x > e$ 时，$y^{'} < 0$ 单调递减，所以 $x_0 = e$ 是极大值点。由于 $x$ 要取正整数，所以 $x=2 、3$ 符合题意，代入方程得到 $y_{(3)}>y_{(2)}$，所以再拆分整数时，尽可能多拆一些 $3$，才能使得最终乘积最大。

当 $n \le 3$ 时，$n=2$ 返回 $1 \times 1 = 1$，$n=3$ 返回 $1 \times 2 = 2$。

当 $n>3$ 时，$n=3a+b$，并分为以下三种情况：

• 当 $b=0$ 时，直接返回 $3^a$

• 当 $b=1$ 时，要将一个 $3$ 单独拿出来，和这个 $1$ 组成 $4 = 2+2$，所以返回值为 $3^{a-1} \times 4$

• 当 $b=2$ 时，直接返回 $3^a \times 2$

代码示例

/**
 * 时间复杂度 O(1),看js引擎如何实现幂运算
 * 空间复杂度 O(1)
 */
function integerBreak(n: number): number {
    if (n <= 3) {
        return n - 1; // n=2返回1，n=3返回2
    }

    const a = ~~(n / 3);
    const b = n % 3;

    if (b === 0 ) {
        return 3 ** a;
    }

    if (b === 1) {
        return (3 ** (a - 1)) * 4;
    }

    return (3 ** a) * 2;
};

回到动态规划

方才我们已经证明了，当$x=2 、3$时才会让乘积更大，所以我们在拆分整数时应该有尽可能多的 $2$ 或者 $3$ 的参与，因此我们改造一下“中规中矩动态规划”算法中的 $dp$ 状态转移方程，降低算法的时间复杂度。

在第二层循环，完全没有必要从 $j=1$ 一直遍历到 $j=i-1$，我们只需要判断 $2 \times (i - 2)$、$2 \times dp[i - 2]$、$3 \times (i - 3)$、$3 \times dp[i - 3]$，即

代码示例

/**
 * 时间复杂度 O(n)
 * 空间复杂度 O(n)
 */
function integerBreak(n: number): number {
    const dp = new Array(n + 1).fill(0);
    dp[2] = 1;
    dp[3] = 2;

    for(let i = 4; i <= n; i++) {
        dp[i] = Math.max(2 * (i - 2), 2 * dp[i - 2], 3 * (i - 3), 3 * dp[i - 3]);
    }

    return dp[n];
};

参考

# 重识动态规划