213. 打家劫舍 II (House Robber II)

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213. 打家劫舍2 题目描述：你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋，每间房内都藏有一定的现金。这个地方所有的房屋都围成一圈 ，这意味着第一个房屋和最后一个房屋是紧挨着的。同时，相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组 $nums[i]$，计算在不触动警报装置的情况下 ，今晚能够偷窃到的最高金额。

中规中矩的动态规划

本题比 198. 打家劫舍 仅仅多了一个条件，就是数据的首尾元素不能同时强。其实这是一个“烟雾弹”，首尾不能同时抢翻译过来就是，先计算 $[0,n-2]$ 房屋区间内的最大金额，再计算 $[1,n-1]$ 房屋区间内的最大金额，最后比较哪个多。

1、确定 dp 状态数组

定义 $dp[i]$ 为前 $i$ 房间内所能抢劫的最大金额。其中，$i \in [0,n-1),n = nums.length$

2、确定 dp 状态转移方程

如果房间数量大于两间，如何获取最高金额？对于第 $i(i \ge 2)$间房子，有两种方式：

• 偷窃 $i$ 间房屋，那就不能偷窃第 $i-1$ 间房屋，最大总金额为前 $i - 2$ 个房屋的最大金额 $dp[i-2]$ 加上第 $i$ 间房屋的金额 $nums[i]$，即 $dp[i-2] + nums[i]$

• 不偷窃第 $i$ 间房屋，最大总金额为前 $i-1$ 个房屋的最大金额，即 $dp[i-1]$

故，$dp[i]= max(dp[i-2]+nums[i], dp[i-1])$，当 $i \ge 2$ 的情况下。

hold on!!! 收尾不能同时抢的逻辑体现在哪里？就在 初始状态 和 遍历顺序 中体现。

3、确定 dp 初始状态

抢第 $0$ 个房间和第 $n-1$ 个房间，总得放弃一个。因此我们定义两个参数 $start$ 和 $end$，范围$[start,end)$，其中 $end > 2$，故初始值为

• $dp[start] = nums[start]$

• $dp[start + 1] = max(nums[start],nums[start + 1])$

4、确定遍历顺序

• 抢首不抢尾，$start=0,end=n-1$，遍历范围 $[1,n-1)$

• 抢尾不抢首，$start=1,end=n$，遍历范围 $[2,n)$

5、确定最终返回值

回归状态定义，最终返回值为 $max(dp_1[n-2], dp_2[n - 2])$

6、代码示例

当房间个数小于等于 $3$ 时，必定两两相连，所以三个房间选择金额最大的即可。

/**
 * 空间复杂度 O(n),n是nums数组的长度
 * 时间复杂度 O(n)
 */
function rob(nums: number[]): number {
    const n = nums.length;

    if(n < 3) return Math.max(...nums);

    const dp1 = new Array(n - 1).fill(0); // 偷第0个不偷len-1个，遍历[0, len -1)
    dp1[0] = nums[0];
    dp1[1] = Math.max(nums[0], nums[1]);

    const dp2 = new Array(n - 1).fill(0);// 不偷第0个偷len-1个，遍历[1, len)
    dp2[0] = nums[1];
    dp2[1] = Math.max(nums[1], nums[2]);

    for(let i = 2; i < n - 1; i++) {
        dp1[i] = Math.max(dp1[i - 2] + nums[i], dp1[i - 1])
    }

    for(let i = 3; i < n; i++) {
        dp2[i - 1] = Math.max(dp2[i - 3] + nums[i], dp2[i - 2])
    }

    return Math.max(dp1[n - 2], dp2[n - 2]);
}

重复遍历逻辑提取 robInRange

/**
 * 空间复杂度 O(n),n是nums数组的长度
 * 时间复杂度 O(n)
 */
function rob(nums: number[]): number {
    const n = nums.length;

    if(n < 3) return Math.max(...nums);


    return Math.max(robInRange(nums, 0, n - 1), robInRange(nums, 1, n));
}

/**
 * 范围是[start,end)，返回能抢到的最大值
 */
function robInRange(nums: number[], start: number, end: number): number {
    const dp = new Array(end - start).fill(0);
    dp[start] = nums[start];
    dp[start + 1] = Math.max(nums[start], nums[start + 1]);

    for(let i = start + 2; i < end; i++) {
        dp[i] = Math.max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]);
    }

    return dp[end - 1];
}

状态压缩

/**
 * 空间复杂度 O(1)
 * 时间复杂度 O(n),n是nums数组的长度
 */
function rob(nums: number[]): number {
    const n = nums.length;

    if(n < 3) return Math.max(...nums);

    return Math.max(robInRange(nums, 0, n - 1), robInRange(nums, 1, n));
}

/**
 * 范围是[start,end)，返回能抢到的最大值
 */
function robInRange(nums: number[], start: number, end: number): number {
    let first = nums[start];
    let second = Math.max(nums[start], nums[start + 1]);

    for(let i = start + 2; i < end; i++) {
        [first, second] = [second, Math.max(first + nums[i], second)];
    }

    return second;
}