《Fundamentals of Computer Graphics》第五版 第四章 射线追踪

濠水之鱼
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渲染（rendering）三维物体是计算机图形学的基本任务之一，即接收由一系列几何物体构成的 3D 场景，然后计算从特定视角下所看到的 2D 图像。这和数百年来建筑师、工程师所做事情一样——绘制图纸并传达给他人。

渲染是一个过程，接收一组物体（object），生成一个像素阵列。它需要考虑每个物体对每个像素的贡献，这里有两种主流的计算方式。物体序渲染（object-order rendering）就是依次考察每个物体，找出并更改一个物体影响的所有像素。图像序渲染（image-order rendering）就是依次考察每个像素，找出影响一个像素的所有物体并计算像素值。射线追踪（ray tracing）便是一种渲染 3D 场景的图像序算法。

如果输出的是矢量图，渲染不一定涉及像素。这里假定都是栅格图。

“ray tracing” 也可译为光线追踪。

射线追踪常用于选点（picking）。

图像序和物体序可以生成完全相同的图像，但它们适用于不同的应用场景，并拥有非常不同的性能特征。一般来说，图像序渲染更易于实现，也更灵活，但通常需要花费更多时间。

射线追踪算法基础

射线追踪器（ray tracer）逐像素计算，对于每个像素，基本任务是找出该像素位置能够看到的物体。每个像素看向不同的方向，任何能被看到的物体一定和视射线（viewing ray）相交，视射线就是从像素发出的、沿着视向的射线。我们想要的就是与视射线相交的、离相机最近的物体。一旦找到了该物体，就可以使用交点、表面法向量以及其它信息来计算像素的颜色并为之着色（shading）。

ray-intersection.png

一个基础的射线追踪器由以下三个部分构成：

  1. 射线生成（ray generation）：根据相机的几何，计算出每个像素的视射线的源点（origin）和方向。
  2. 射线求交（ray intersection）：找出与视射线相交的、离相机最近的物体。
  3. 着色（shading）：基于射线求交的结果计算出像素的颜色。

射线追踪程序的基本结构：

for each pixel do计算视射线找出射线命中的第一个物体以及交点处表面法向量 n⃗根据交点、光源以及 n⃗ 计算像素值\begin{aligned} &\text{\textbf{for} each pixel \textbf{do}} \\ &\quad\begin{aligned} &\text{计算视射线} \\ &\text{找出射线命中的第一个物体以及交点处表面法向量 $\vec{n}$} \\ &\text{根据交点、光源以及 $\vec{n}$ 计算像素值} \end{aligned} \end{aligned}

透视（Perspective）

在有计算机之前几百年，就已经有画家研究如何用 2D 图像表示 3D 场景了。虽然有很多非常规的方式生成 2D 图像，但对于美术、摄影以及计算机图形学而言，标准方法是线性透视法（linear perspective），这种方法将 3D 物体投影到像平面（image plane）上，场景（scene）中的直线在图像中仍为直线。

最简单的投影方式是平行投影（parallel projection），此时所有的 3D 点都沿着同一个投影方向（projection direction）。所生成的平行视图（parallel view）依赖于投影方向和像平面。如果像平面和投影方向垂直，则称为正交投影（orthographic projection），否则称为斜投影（oblique projection）。平行投影常用于机械制图和建筑图纸，因为它保持了平行于像平面的平面物体的形状和大小。

orthographic-projection.png

平行投影的优点也正是它的局限性。日常生活中，物体成像总是近大远小的，照片中更是如此。这是因为人眼和相机接收的是通过某个特定视点（viewpoint）的光，而不是平行光。正如自文艺复兴以来画家所认识到的一样，计算机图形学中也可以使用透视投影（perspective projection）来生成更加自然的图像，即沿着一系列通过视点（viewpoint，也是投影中心）的直线进行投影。投影后的透视视图（perspective view）依赖于视点和像平面。在透视投影中，图像中心的投影方向与像平面垂直时称为非斜透视（non-oblique perspective），否则称为斜透视（oblique perspective）。

perspective-projection.png

画家常用的三点透视法（three-points perspective）可用于手绘透视视图。所有手绘透视的规则都是透视投影数学规则的推论。

three-points-perspective.png

计算视射线

根据视点（或视向，view direction）和像平面可以生成视射线。射线（ray）的数学描述如下：

p⃗(t)=o⃗+td⃗\vec{p}(t) = \vec{o} + t\vec{d}

其中，o⃗\vec{o} 为射线的源点（origin），d⃗\vec{d} 为射线的方向向量。易知，如果 0<t1<t20 < t_{1} < t_{2}，那么 p⃗(t1)\vec{p}(t_{1}) 比 p⃗(t2)\vec{p}(t_{2}) 离源点更近；如果 t<0t < 0，那么 p⃗(t)\vec{p}(t) 在反方向。

面向对象的射线类伪代码：

class RayVec3 o⃗ | 射线源点Vec3 d⃗ | 射线方向Vec3 evaluate(real t)return o⃗+td⃗\begin{aligned} &\text{\textbf{class} Ray} \\ &\quad\begin{aligned} &\text{Vec3 $\vec{o}$ | 射线源点} \\ &\text{Vec3 $\vec{d}$ | 射线方向} \\ &\text{Vec3 evaluate(real $t$)} \\ &\quad\text{\textbf{return} $\vec{o}+ t\vec{d}$} \end{aligned} \end{aligned}

其中，Vec3\text{Vec3} 是三维向量类。

camera-frame.png

生成视射线首先需要一个相机标架（camera frame）。相机标架 {e⃗;u⃗,v⃗,w⃗}\{\vec{e}; \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\} 是一个标准正交坐标标架（orthonormal coordinate frame），它的原点 e⃗\vec{e} 是视点，基向量 u⃗\vec{u} 指向相机右方，v⃗\vec{v} 指向相机上方，w⃗\vec{w} 指向相机后方。相机标架通常根据视点 e⃗\vec{e}、视向 −w⃗-\vec{w} 和一个向上的向量（up vector）来构造。

up-vector.png

正交视图（orthographic view）

正交投影中所有射线方向均为 −w⃗-\vec{w}，源点位于各个像素所处的位置。相机标架原点的位置用于确定射线源点所在平面，使得可以描述位于相机后方的物体。

视射线源点位于 {e⃗;u⃗,v⃗}\{\vec{e}; \vec{u}, \vec{v}\} 定义的平面上。nx×nyn_{x} \times n_{y} 的栅格图中像素 (i,j)(i, j) 在平面标架 {e⃗;u⃗,v⃗}\{\vec{e}; \vec{u}, \vec{v}\} 中的坐标为：

栅格图中的像素坐标按第三章 3.2 节约定。

{u=l+(r−l)(i+0.5)/nxv=b+(t−b)(j+0.5)/ny\left\{ \begin{aligned} u &= l + (r - l)(i + 0.5)/n_{x} \\ v &= b + (t - b)(j + 0.5)/n_{y} \end{aligned} \right.

其中，tt、bb、ll、rr 分别是栅格图上、下、左、右四条边在平面标架 {e⃗;u⃗,v⃗}\{\vec{e}; \vec{u}, \vec{v}\} 中的坐标。通常，l<0<rl < 0 < r，b<0<tb < 0 < t，即相机标架的原点位于栅格图内部。

生成正交视射线（orthographic viewing ray）的步骤：

计算像素 (i,j) 的坐标 (u,v)ray.o⃗←e⃗+uu⃗+vv⃗ray.d⃗←−w⃗\begin{aligned} &\text{计算像素 $(i, j)$ 的坐标 $(u, v)$} \\ &\text{ray.}\vec{o} \leftarrow \vec{e} + u\vec{u} + v\vec{v} \\ &\text{ray.}\vec{d} \leftarrow -\vec{w} \end{aligned}

用视向 d⃗\vec{d} 代替上述最后一步中的 −w⃗-\vec{w}，便可以得到斜平行投影的结果。

ray-generation.png

透视视图（perspective view）

透视投影中所有射线源点都位于视点，方向指向各个像素的位置。像平面处于视点 e⃗\vec{e} 前方距离 dd 的位置，这一距离称为像面距（image plane distance），也称为焦距（focal length）。

生成透视视射线（perspective viewing ray）的步骤：

计算像素 (i,j) 的坐标 (u,v)ray.o⃗←e⃗ray.d⃗←−dw⃗+uu⃗+vv⃗\begin{aligned} &\text{计算像素 $(i, j)$ 的坐标 $(u, v)$} \\ &\text{ray.}\vec{o} \leftarrow \vec{e} \\ &\text{ray.}\vec{d} \leftarrow -d\vec{w} + u\vec{u} + v\vec{v} \end{aligned}

上式也适用于斜透视。

射线与物体交点（ray-object intersection）

更一般的射线物体交点问题是：找出射线和区间 [t0,t1][t_{0}, t_{1}] 上所有物体的第一个交点 tt。基础的射线物体交点问题只是 t0=0t_{0}=0、t1=+∞t_{1}=+\infty 的特例。

射线与球面的交点

计算射线 p⃗(t)=o⃗+td⃗\vec{p}(t)=\vec{o}+t\vec{d} 与曲面 f(p⃗)=0f(\vec{p})=0 的交点等价于求解方程：

f(p⃗(t))=0orf(o⃗+td⃗)=0f(\vec{p}(t)) = 0 \quad \text{or} \quad f(\vec{o}+t\vec{d}) = 0

球心 c⃗\vec{c}、半径 RR 的球面方程为：

(p⃗−c⃗)⋅(p⃗−c⃗)−R2=0(\vec{p} - \vec{c})\cdot(\vec{p} - \vec{c}) - R^{2} = 0

代入射线参数方程并整理可得：

(d⃗⋅d⃗)t2+2d⃗⋅(o⃗−c⃗)t+(o⃗−c⃗)⋅(o⃗−c⃗)−R2=0(\vec{d}\cdot\vec{d})t^{2} + 2\vec{d}\cdot(\vec{o} - \vec{c})t + (\vec{o} - \vec{c})\cdot(\vec{o} - \vec{c}) - R^{2} = 0

解一元二次方程求出交点，根据所求 tt 以及范围 [t0,t1][t_{0}, t_{1}] 即可得到最终结果。计算求根公式之前，先计算判别式，可以知道可能的交点数目。如果判别式为负，则无交点；若为正，则有两个交点，一个进入球，一个离开球；若为零，则射线与球面相切。

球面上点 p⃗\vec{p} 处单位法向量为 (p⃗−c⃗)/R(\vec{p} - \vec{c})/R。

射线与三角形的交点

计算射线与三角形交点的算法有很多，这里给出的是使用三角形重心坐标的形式。除了三角形的顶点（vertice）以外，这一算法无需额外的长期存储（long-term storage）。

计算射线与参数曲面的交点等价于求解如下方程：

o⃗+td⃗=p⃗(u,v)\vec{o} + t\vec{d} = \vec{p}(u, v)

上式其实是三个标量方程所构成的方程组，包含了三个未知量 tt、uu、vv。当曲面是由 △abc\triangle abc 确定的平面时，该方程具有如下形式：

o⃗+td⃗=a⃗+β(b⃗−a⃗)+γ(c⃗−a⃗)\vec{o} + t\vec{d} = \vec{a} + \beta(\vec{b} - \vec{a}) + \gamma(\vec{c} - \vec{a})

上式是一个 3×33\times 3 线性方程组，求解该方程组可以得到交点。若无解，则说明射线与平面平行，或者三角形退化为直线或点。方程组有解时，tt 给出了交点在射线上的位置，uu、vv 给出了交点在平面上的位置。根据重心坐标的知识可以知道，只有 β>0\beta>0、γ>0\gamma>0、β+γ<1\beta+\gamma<1 同时满足，交点才在 △abc\triangle abc 内部。

求解 3×33\times 3 线性方程组的最快的、最经典的方法就是克拉默法则（Cramer's rule）。对于一般的 3×33\times 3 线性方程组：

[adgbehcfi][βγt]=[jkl]\begin{bmatrix} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & i \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta \\ \gamma \\ t \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} j \\ k \\ l \\ \end{bmatrix}

克拉默法则给出的结果为：

β=j(ei−hf)+k(gf−di)+l(dh−eg)Mγ=i(ak−jb)+h(jc−al)+g(bl−kc)Mt=−f(ak−jb)+e(jc−al)+d(bl−kc)M\begin{aligned} \beta &= \frac{j(ei - hf) + k(gf - di) + l(dh - eg)}{M} \\ \gamma &= \frac{i(ak - jb) + h(jc - al) + g(bl - kc)}{M} \\ t &= -\frac{f(ak - jb) + e(jc - al) + d(bl - kc)}{M} \end{aligned}

其中，M=a(ei−hf)+b(gf−di)+c(dh−eg)M = a(ei - hf) + b(gf - di) + c(dh - eg)。利用上面重复出现的项可以减少运算次数，如 ei−hfei-hf。

对于上面的算法，还可以通过某些条件来提前结束程序：

boolean raytri(Ray ray, Vec3 a⃗, Vec3 b⃗, Vec3 c⃗,  interval [t0,t1])计算 tif (t<t0) or (t>t1) thenreturn false计算 γif (γ<0) or (γ>1) thenreturn false计算 βif (β<0) or (β>1−γ) thenreturn falsereturn true\begin{aligned} &\text{boolean raytri(Ray ray, Vec3 $\vec{a}$, Vec3 $\vec{b}$, Vec3 $\vec{c}$,} \\ &\qquad\qquad\qquad\ \ \text{interval $[t_0, t_1]$)} \\ &\quad\begin{aligned} &\text{计算 $t$} \\ &\text{\textbf{if} ($t < t_0$) or ($t > t_1$) \textbf{then}} \\ &\quad\text{\textbf{return} false} \\ &\text{计算 $\gamma$} \\ &\text{\textbf{if} ($\gamma < 0$) or ($\gamma > 1$) \textbf{then}} \\ &\quad\text{\textbf{return} false} \\ &\text{计算 $\beta$} \\ &\text{\textbf{if} ($\beta < 0$) or ($\beta > 1 - \gamma$) \textbf{then}} \\ &\quad\text{\textbf{return} false} \\ &\text{\textbf{return} true} \end{aligned} \end{aligned}

射线求交在软件中的实现

实现射线追踪的一个好的想法是，应用面向对象的编程范式，设计一个名为 Surface\text{Surface} 的类，Triangle\text{Triangle}、Sphere\text{Sphere} 均为其子类。任何需要计算射线交点的物体都是 Surface\text{Surface} 的子类，包括曲面组（group of surface）或其它更高效的几何数据结构。不管什么模型，射线追踪程序都将直接引用 Surface\text{Surface} 相关的接口。

Surface\text{Surface} 类中最关键的是计算与射线交点的方法：

class SurfaceHitRecord hit(Ray ray, real t0, real t1)\begin{aligned} &\text{\textbf{class} Surface} \\ &\quad\text{HitRecord hit(Ray ray, real $t_{0}$, real $t_{1}$)} \end{aligned}

其中，[t0,t1][t_{0}, t_{1}] 是射线交点的判定区间，HitRecord\text{HitRecord} 类包含了所有关于曲面交点的信息：

class HitRecordSurface s | 射线命中的曲面real t | 交点沿射线的坐标Vec3 n⃗ | 交点处表面法向量...\begin{aligned} &\text{\textbf{class} HitRecord} \\ &\quad\begin{aligned} &\text{Surface $s$ | 射线命中的曲面} \\ &\text{real $t$ | 交点沿射线的坐标} \\ &\text{Vec3 $\vec{n}$ | 交点处表面法向量} \\ &... \end{aligned} \end{aligned}

上面列举的是最低要求，其它数据也可以存储，比如切向量。有些编程语言会把 hitRecord\text{hitRecord} 的引用传入函数并填充，而不是作为返回值返回。没有交点可以用 t=∞t=\infty 来表示。

射线与一组物体的交点

大多场景都包含了多个物体，此时我们想要的是所有交点中离相机最近的那个。一个简单的想法是，把一组物体看作一种特殊类型的物体。下面是计算射线与一组物体交点的伪代码：

class Group extends Surfacelist-of-Surface surfaces | 曲面列表HitRecord hit(Ray ray, real t0, real t1)HitRecord closest-hit(∞) | 初始化为未命中for surf in surfaces dorec = surf.hit(ray, t0, t1)if rec.t < ∞ thenclosest-hit = rect1=rec.treturn closest-hit\begin{aligned} &\text{\textbf{class} Group \textbf{extends} Surface} \\ &\quad\begin{aligned} &\text{list-of-Surface surfaces | 曲面列表} \\ &\text{HitRecord hit(Ray ray, real $t_{0}$, real $t_{1}$)} \\ &\quad\begin{aligned} &\text{HitRecord closest-hit($\infty$) | 初始化为未命中} \\ &\text{\textbf{for} surf in surfaces \textbf{do}} \\ &\quad\begin{aligned} &\text{rec = surf.hit(ray, $t_{0}$, $t_{1}$)} \\ &\text{\textbf{if} rec.$t$ < $\infty$ \textbf{then}} \\ &\quad\begin{aligned} &\text{closest-hit = rec} \\ &t_{1} = \text{rec}.t \end{aligned} \end{aligned} \\ &\text{\textbf{return} closest-hit} \end{aligned} \end{aligned} \end{aligned}

着色（shading）

一旦知道了每个像素可以看到的曲面，就可以通过计算着色模型（shading model，有时也称为光照模型）来得到像素值。着色模型依赖于具体应用，可以很简单，也可以很复杂，它与渲染序（图像序、物体序）无关。第五章描述一种简单着色模型，下面以该模型为例介绍如何着色。

光源（light source）

通常需要有一组光源才能进行着色。对于当前的着色模型，我们需要三种类型的光源：点光源（point light）、平行光（directional light）、环境光（ambient light，提供固定光照以填充阴影）。更精致的模型可能需要其它类型的光源：面光源（area light，其实就是一个发光几何体）、背景光（environment light，用一个图像来表示远处光源发出的光，如天空）。

计算点光源或平行光的着色需要一些几何信息：

  • 着色点（shading point）x⃗\vec{x}
  • 表面法向量 n⃗\vec{n}
  • 光的方向 l⃗\vec{l}
  • 视方向（viewing direction）v⃗=−d⃗/∥d⃗∥\vec{v}=-\vec{d}/\|\vec{d}\|，与视射线方向 d⃗\vec{d} 相反

每个曲面都得能够计算出该曲面上任一点的法向量。

在射线追踪器中，视射线与曲面的交点确定之后，所需的四个向量也就完全确定了。

由于环境光来自四面八方，因此环境光的着色与 l⃗\vec{l}、v⃗\vec{v} 均无关。对于这里所考虑的着色模型，环境光着色甚至也不依赖于 x⃗\vec{x} 和 n⃗\vec{n}。

如果场景中包含了多个光源，着色结果就是把各个光源的贡献加起来。

着色在软件中的实现

着色所需信息涉及两种对象：光源和材质（material）。光源类是 Light\text{Light} 类的子类。材质用 Material\text{Material} 类描述。

如何在光源和材质之间拆分着色计算，取决于实际情况。这里所采取的拆分方式是，光源负责整体的光照计算，材质负责计算 BRDF 值。

class LightColor illuminate(Ray ray, HitRecord hrec)class MaterialColor evaluate(Vec3 l⃗, Vec3 v⃗, Vec3 n⃗)\begin{aligned} &\text{\textbf{class} Light} \\ &\quad\text{Color illuminate(Ray ray, HitRecord hrec)} \\ &\text{\textbf{class} Material} \\ &\quad\text{Color evaluate(Vec3 $\vec{l}$, Vec3 $\vec{v}$, Vec3 $\vec{n}$)} \end{aligned}

其中，Color\text{Color} 类存储了 RGB 颜色分量，并支持相应的分量乘法（componentwise multiplication）。

点光源的伪代码如下：

class PointLight extends LightColor IVec3 p⃗Color illuminate(Ray ray, HitRecord hrec)Vec3 x⃗ = ray.evaluate(hrec.t)real r=∥p⃗−x⃗∥Vec3 l⃗=(p⃗−x⃗)/rVec3 n⃗ = hrec.normalColor E=max(0,n⃗⋅l⃗)I/r2Color k=hrec.surface.material.evaluate(l⃗,v⃗,n⃗)return kE\begin{aligned} &\text{\textbf{class} PointLight \textbf{extends} Light} \\ &\quad\begin{aligned} &\text{Color $I$} \\ &\text{Vec3 $\vec{p}$} \\ &\text{Color illuminate(Ray ray, HitRecord hrec)} \\ &\quad\begin{aligned} &\text{Vec3 $\vec{x}$ = ray.evaluate(hrec.$t$)} \\ &\text{real}\ r = \|\vec{p} - \vec{x}\| \\ &\text{Vec3}\ \vec{l} = (\vec{p} - \vec{x})/r \\ &\text{Vec3 $\vec{n}$ = hrec.normal} \\ &\text{Color}\ E = \text{max}(0, \vec{n}\cdot\vec{l})I/r^{2} \\ &\text{Color}\ k = \text{hrec.surface.material.evaluate}(\vec{l}, \vec{v}, \vec{n}) \\ &\textbf{return}\ kE \end{aligned} \end{aligned} \end{aligned}

环境光的伪代码如下：

class AmbientLight extends LightColor IaColor illuminate(Ray ray, HitRecord hrec)Color ka=hrec.surface.material.kareturn kaIa\begin{aligned} &\text{\textbf{class} AmbientLight \textbf{extends} Light} \\ &\quad\begin{aligned} &\text{Color}\ I_{a} \\ &\text{Color illuminate(Ray ray, HitRecord hrec)} \\ &\quad\begin{aligned} &\text{Color}\ k_{a} = \text{hrec.surface.material}.k_{a} \\ &\textbf{return}\ k_{a}I_{a} \end{aligned} \end{aligned} \end{aligned}

其中，kak_{a} 是材质的环境光反射系数（ambient coefficient）。

完整的着色伪程序如下：

function shade-ray(Ray ray, real t0, real t1)HitRecord rec = scene.hit(ray, t0, t1)if rec.t<∞ thenColor c=0for light in scene.lights doc=c+light.illuminate(ray, rec)return celsereturn background-color\begin{aligned} &\text{\textbf{function} shade-ray(Ray ray, real $t_{0}$, real $t_{1}$)} \\ &\quad\begin{aligned} &\text{HitRecord rec = scene.hit(ray, $t_{0}$, $t_{1}$)} \\ &\text{\textbf{if} rec.$t < \infty$ \textbf{then}} \\ &\quad\begin{aligned} &\text{Color $c = 0$} \\ &\text{\textbf{for} light \textbf{in} scene.lights \textbf{do}} \\ &\quad c = c + \text{light.illuminate(ray, rec)} \\ &\textbf{return}\ c \end{aligned} \\ &\textbf{else} \\ &\quad\textbf{return}\ \text{background-color} \end{aligned} \end{aligned}

着色只是让 3D 物体本身看起来更加真实，它并不处理物体间的空间关系。

阴影

从着色点 x⃗\vec{x} 到光源的射线称为阴影射线（shadow ray）。通过检查阴影射线与场景中的物体是否相交，就可以知道着色点是否在阴影中。

如果阴影射线的检查区间为 [0,r][0, r]，则可能会因为数值精度问题，检查到阴影射线与源点所在曲面相交。通常设置检查区间为 [ϵ,r][\epsilon, r] 可以避免这一问题，其中 ϵ\epsilon 是一个较小的正数。

shadow-ray.png

点光源的阴影检测可以通过在光照程序 PointLight.illuminate\text{PointLight.illuminate} 中添加如下分支逻辑来实现：

HitRecord srec = scene.hit(Ray(x⃗, l⃗), ϵ, r)if srec.t<∞ thenreturn 0 | 着色点在阴影中else计算光照\begin{aligned} &\text{HitRecord srec = scene.hit(Ray($\vec{x}$, $\vec{l}$), $\epsilon$, $r$)} \\ &\text{\textbf{if} srec.$t < \infty$ \textbf{then}} \\ &\quad\text{\textbf{return} 0 | 着色点在阴影中} \\ &\textbf{else} \\ &\quad 计算光照 \\ \end{aligned}

平行光的阴影检测只需将射线相交检测范围从 [ϵ,r][\epsilon, r] 改为 [ϵ,∞][\epsilon, \infty] 即可。每种光源的光照计算都需要一个单独的阴影射线。环境光着色计算不需要阴影检测。

阴影在表达相邻物体间关系时具有重要的视觉作用。

镜面反射（mirror reflection）

视射线的反射射线方向为：

r⃗=d⃗−2(d⃗⋅n⃗)n⃗\vec{r} = \vec{d} - 2(\vec{d}\cdot\vec{n})\vec{n}

其中，d⃗\vec{d} 是视射线的方向。真实世界中，光线经过物体表面反射后会损失一部分能量，损失多少与光的颜色以及物体材质有关。

reflection-ray.png

shade-ray\text{shade-ray} 函数中，在计算完所有光源的贡献之后，引入递归即可计入镜面反射的贡献：

c=c+kmshade-ray(Ray(x⃗,r⃗),ϵ,∞)c = c + k_{m}\text{shade-ray}(\text{Ray}(\vec{x}, \vec{r}), \epsilon, \infty)

其中，kmk_{m} 是镜面（specular）RGB 颜色，真实世界中可能依赖于光的入射角。通过限制最大递归深度（maximum recursion depth）可以避免无限递归的问题。生成反射射线之前先判断 kmk_{m} 是否为 00 可以让代码更高效。

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