动态规划总结最长子序列最长连续递增序列题目给定一个未经排序的整数数组，找到最长且连续递增的子序列，并返回该序列的长

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最长连续递增序列

题目

给定一个未经排序的整数数组，找到最长且连续递增的子序列，并返回该序列的长度。

连续递增的子序列可以由两个下标 l 和 r（l < r）确定，如果对于每个 l <= i < r，都有 nums[i] < nums[i + 1] ，那么子序列 [nums[l], nums[l + 1], ..., nums[r - 1], nums[r]] 就是连续递增子序列。

示例1：

输入：nums = [1,3,5,4,7] 输出：3 解释：最长连续递增序列是 [1,3,5], 长度为3。尽管 [1,3,5,7] 也是升序的子序列, 但它不是连续的，因为 5 和 7 在原数组里被 4 隔开。

示例2：

输入：nums = [2,2,2,2,2] 输出：1 解释：最长连续递增序列是 [2], 长度为1。

提示：

0 <= nums.length <= 10^4
-10^9 <= nums[i] <= 10^9

解题思路

根据题意，本题可用动态规划的方式来求解。

第一步，确定dp数组以及下标的含义：

dp[i]：以下标i为结尾的数组的连续递增的子序列长度为dp[i]。

第二步，确定递推公式：

如果 nums[i + 1] > nums[i]，那么以 i+1 为结尾的数组的连续递增的子序列长度一定等于以 i 为结尾的数组的连续递增的子序列长度 + 1 。所以可以得出递推公式为：dp[i + 1] = dp[i] + 1;

第三步，dp 数组初始化：

连续递增的子序列长度最少是 1，所以 dp 数组应该初始化为 1。

第四步，确定遍历顺序：

从递推公式上可以看出， dp[i + 1]依赖dp[i]，所以一定是从前向后遍历。

代码实现

class Solution {
    public int findLengthOfLCIS(int[] nums) {
        if(nums.length == 0){
            return 0;
        };
        int count = 1;
        int len = nums.length;
        int[] dp = new int[len];
        for(int i = 0; i < len; i++){
            dp[i] = 1;
        }

        for(int i = 0; i < len - 1; i++){
            if(nums[i+1] > nums[i]){
                dp[i+1] = dp[i] + 1;
            }
            if(dp[i+1] > count) count = dp[i+1];
        }

        return count;
    }
}

时间复杂度

时间复杂度：O(n)，其中 n 是数组 nums 的长度。
空间复杂度：O(1)。

最长递增子序列

题目

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

示例1：输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18] 输出：4 解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

示例2：输入：nums = [0,1,0,3,2,3] 输出：4

示例3：输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7] 输出：1

提示：

1 <= nums.length <= 2500
-10^4 <= nums[i] <= 104

解题思路

根据题意，此题可以用动态规划的方式来求解。

第一步，确定 dp 数组以及下标的含义： dp[i] 表示 i 之前包括 i 的以 nums[i] 结尾最长上升子序列的长度。

第二步，确定递推公式：位置i的最长升序子序列等于 j 从 0 到 i-1 各个位置的最长升序子序列 + 1 的最大值。递推公式为：if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);

第三步，初始化： dp[i] 的起始大小是 1。

第四步，确定遍历顺序： dp[i] 是有0到i-1各个位置的最长升序子序列推导而来，那么遍历i一定是从前向后遍历。j其实就是0到i-1，遍历i的循环在外层，遍历j则在内层。

代码实现

class Solution {
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        if(nums.length == 0){
            return 0;
        }
        int[] dp = new int[nums.length];
        int res = 0;
        Arrays.fill(dp, 1);
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (nums[j] < nums[i]) dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
            }
            res = Math.max(res, dp[i]);
        }
        return res;
    }
}

时间复杂度

时间复杂度：O(n^2)，其中 n 为数组 nums 的长度.
空间复杂度：O(n).

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