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第一题 集合求和

题目描述

给定一个集合 $s$（集合元素数量 $\le 30$），求出此集合所有子集元素之和。

输入格式

集合中的元素（元素 $\le 1000$）

输出格式

$s$ 所有子集元素之和。

样例 #1

样例输入 #1

2 3

样例输出 #1

10

提示

【样例解释】

子集为：$\varnothing, \{ 2 \}, \{ 3 \}, \{ 2, 3 \}$，和为 $2 + 3 + 2 + 3 = 10$。

---

【数据范围】

对于 $100 \%$ 的数据，$1 \le \lvert s \rvert \le 30$，$1 \le s_i \le 1000$，$s$ 所有子集元素之和 $\le {10}^{18}$。

解题思路

• 1）数学推理题目。
• 2）找规律发现，每个元素在 a 的每一个子集中出现的个数为${2}^{n-1}$。

参考代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[31];
long long s=0;
int main()
{
    int n=0;
    while(cin>>a[n++]);
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        s+=a[i];
    }
    s*=pow(2,n-2);
    cout<<s;
    return 0;
}

第二题 [NOIP2004 普及组] 火星人

题目描述

人类终于登上了火星的土地并且见到了神秘的火星人。人类和火星人都无法理解对方的语言，但是我们的科学家发明了一种用数字交流的方法。这种交流方法是这样的，首先，火星人把一个非常大的数字告诉人类科学家，科学家破解这个数字的含义后，再把一个很小的数字加到这个大数上面，把结果告诉火星人，作为人类的回答。

火星人用一种非常简单的方式来表示数字――掰手指。火星人只有一只手，但这只手上有成千上万的手指，这些手指排成一列，分别编号为 $1,2,3,\cdots$。火星人的任意两根手指都能随意交换位置，他们就是通过这方法计数的。

一个火星人用一个人类的手演示了如何用手指计数。如果把五根手指――拇指、食指、中指、无名指和小指分别编号为 $1,2,3,4$ 和 $5$，当它们按正常顺序排列时，形成了 $5$ 位数 $12345$，当你交换无名指和小指的位置时，会形成 $5$ 位数 $12354$，当你把五个手指的顺序完全颠倒时，会形成 $54321$，在所有能够形成的 $120$ 个 $5$ 位数中，$12345$ 最小，它表示 $1$；$12354$ 第二小，它表示 $2$；$54321$ 最大，它表示 $120$。下表展示了只有 $3$ 根手指时能够形成的 $6$ 个 $3$ 位数和它们代表的数字：

三进制数	代表的数字
$123$	$1$
$132$	$2$
$213$	$3$
$231$	$4$
$312$	$5$
$321$	$6$

现在你有幸成为了第一个和火星人交流的地球人。一个火星人会让你看他的手指，科学家会告诉你要加上去的很小的数。你的任务是，把火星人用手指表示的数与科学家告诉你的数相加，并根据相加的结果改变火星人手指的排列顺序。输入数据保证这个结果不会超出火星人手指能表示的范围。

输入格式

共三行。
第一行一个正整数 $N$，表示火星人手指的数目（$1 \le N \le 10000$）。
第二行是一个正整数 $M$，表示要加上去的小整数（$1 \le M \le 100$）。
下一行是 $1$ 到 $N$ 这 $N$ 个整数的一个排列，用空格隔开，表示火星人手指的排列顺序。

输出格式

$N$ 个整数，表示改变后的火星人手指的排列顺序。每两个相邻的数中间用一个空格分开，不能有多余的空格。

样例 #1

样例输入 #1

5
3
1 2 3 4 5

样例输出 #1

1 2 4 5 3

提示

对于 $30\%$ 的数据，$N \le 15$。

对于 $60\%$ 的数据，$N \le 50$。

对于 $100\%$ 的数据，$N \le 10000$。

解题思路

• 1）模拟深度优先搜索的全排列问题

参考代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[10005];
bool used[10005]={0};
int m,n;
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>a[i];
        int x=a[i];
        for(int j=1;j<=a[i];j++)
            x-=used[j];
        used[a[i]]=1;
        a[i]=x-1;
    }
    a[n]+=m;
    for(int i=n;i>0;i--)
    {
        a[i-1]+=a[i]/(n-i+1);
        a[i]%=n-i+1;
    }
    memset(used,0,sizeof(used));
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=a[i];j++)
            if(used[j])
                a[i]++;
        cout<<a[i]+1<<" ";
        used[a[i]]=1;
    }
    return 0;
}

第三题 [NOIP2004 普及组] 最大约数和

题目描述

选取和不超过S的若干个不同的正整数，使得所有数的约数（不含它本身）之和最大。

输入格式

输入一个正整数S。

输出格式

输出最大的约数之和。

样例 #1

样例输入 #1

11

样例输出 #1

9

提示

样例说明

取数字4和6，可以得到最大值(1+2)+(1+2+3)=9。

数据规模

S<=1000

解题思路

• 1）对数据进行预处理，求出每个数的约数和。
• 2）简单的01背包问题。

参考代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int i,j,n,a[1001],dp[1001];
int main()
{
	cin>>n;
	for(i=1;i<=n/2;i++)
		for(j=2;i*j<=n;j++)
			a[i*j]+=i;
	for(i=1;i<=n;i++)
		for(j=i;j<=n;j++)
			dp[j]=max(dp[j],dp[j-i]+a[i]);
	cout<<dp[n];
  	return 0;
}

第四题 [NOIP2004 普及组] 通天之分组背包

题目背景

直达通天路·小 A 历险记第二篇

题目描述

自 $01$ 背包问世之后，小 A 对此深感兴趣。一天，小 A 去远游，却发现他的背包不同于 $01$ 背包，他的物品大致可分为 $k$ 组，每组中的物品相互冲突，现在，他想知道最大的利用价值是多少。

输入格式

两个数 $m,n$，表示一共有 $n$ 件物品，总重量为 $m$。

接下来 $n$ 行，每行 $3$ 个数 $a_i,b_i,c_i$，表示物品的重量，利用价值，所属组数。

输出格式

一个数，最大的利用价值。

样例 #1

样例输入 #1

45 3
10 10 1
10 5 1
50 400 2

样例输出 #1

10

提示

$1 \leq m, n \leq 1000$。

解题思路

• 1）分组背包问题。
• 2）直接枚举每个组，再在每个组里进行01背包。

参考代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long dp[1050];
int a[1050],b[1050],c,C[1050];
int g[205][205];
int main()
{
	int m,n;
	cin>>m>>n;
	int zu=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		
		cin>>a[i]>>b[i]>>c;
		zu=max(zu,c);
		C[c]++;
		g[c][C[c]]=i;
	}
	
	for(int i=1;i<=zu;i++)
	{
		for(int j=m;j>=0;j--)
		{
			for(int k=1;k<=C[i];k++)
			{
				if(j>=a[g[i][k]])
				{
					dp[j]=max(dp[j],dp[j-a[g[i][k]]]+b[g[i][k]]);
				}
			}
		}
	}
	cout<<dp[m];
    return 0;
}