5. 有边数限制的最短路

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思路

所用变量

• dist[N]表示从起点到当前点的当前最短距离
• backup[j]表示每次进入第2重循环的dist数组的备份

算法步骤

• 0.初始化dist数组为正无穷，dist[1]=0;
• 1.（外重循环）循环i从1到k，遍历k次指的：是指经过。不超过k条边的最短距离；
• 2.（内重循环）循环j从1到m，遍历m条边，把所有边都进行松弛操作； 每次取出两点以及他们连接的边的权重（a,b,w表示a—>b的一条边）； 用从起点到a的当前最短距离+权重来更新从起点到b的当前最短距离； dist[b]=min(dist[b],dist[a]+w);
• 3.返回答案；

为什么跑完算法就能算出最短距离呢

• 因为第二重循环遍历了m条边，每条都被遍历了n次； 所以这n个点的所有他的前驱后继相对应的边权一定都被遍历到了
• 又因为他是有松弛操作的，所以只要上一个点（前驱）的当前最短路求出来了 这个点就可以用他的前驱来更新他的最短距离，从而他的后继又可以用它来更新最短距离了

dijkstra 为什么不能解决解决负权边最短路问题 加入每条边去松弛每个点到起点的距离

dist[b] = min(dist[b], backup[a] + w);

为什么需要back[a]数组

• 为了避免如下的串联情况， 在边数限制为一条的情况下，节点3的距离应该是3，但是由于串联情况，利用本轮更新的节点2更新了节点3的距离，所以现在节点3的距离是2。
• 正确做法是用上轮节点2更新的距离--无穷大，来更新节点3， 再取最小值，所以节点3离起点的距离是3。

for (int i = 0; i < k; i ++ )
{
    memcpy(backup, dist, sizeof dist);
    for (int j = 0; j < m ; j ++ )
    {
        int a = edges[j].a, b = edges[j].b, w = edges[j].w;
        dist[b] = min(dist[b], backup[a] + w);
    }
}

为什么是dist[n]>0x3f3f3f3f/2， 而不是dist[n]>0x3f3f3f3f

• 5号节点距离起点的距离是无穷大，利用5号节点更新n号节点距离起点的距离，将得到10⁹, 虽然小于10⁹, 但并不存在最短路，(在边数限制在k条的条件下)。

if(dist[n]>0x3f3f3f3f/2) return -1;
else return dist[n];

题目

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 510, M = 10010;
int n, m, k;
int dist[N], backup[N];    //backup为备份
struct Edge
{
    int a, b, w;           //用结构体存储俩个点之间的边，以及权重
}edges[M];

int bellman_ford()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;
    for (int i = 0; i < k; i ++)
    {
        memcpy(backup, dist, sizeof dist); //备份后ackup存储的就是上一份结果，我只用上次的结果，而不使用更新后的结果
        for (int j = 0; j < m; j ++)
        {
            int a = edges[j].a, b = edges[j].b, w = edges[j].w;
            dist[b] = min(dist[b], backup[a] + w);
        }
        
    }
     if (dist[n] > 0x3f3f3f3f / 2) return -1;
    else return dist[n];

}

int main()
{
    cin >> n >> m >> k;
    for (int i = 0; i < m; i ++)
    {
        int a, b, w;
        cin >> a >> b >> w;
        edges[i] = {a, b, w};
    }
    
    int t = bellman_ford();
    
   if (t == -1) puts("impossible");
    else cout << t;
    return 0;
}

参考文章：www.acwing.com/solution/co…