二叉树总结之最近公共祖先

HelloWorld杰少
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二叉树的最近公共祖先

题目

给定一个二叉树, 找到该树中两个指定节点的最近公共祖先。

最近公共祖先的定义为：“对于有根树 T 的两个结点 p、q，最近公共祖先表示为一个结点 x，满足 x 是 p、q 的祖先且 x 的深度尽可能大（一个节点也可以是它自己的祖先）。”

例如，给定如下二叉树: root = [3,5,1,6,2,0,8,null,null,7,4]

image

示例1：

输入: root = [3,5,1,6,2,0,8,null,null,7,4], p = 5, q = 1
输出: 3
解释: 节点 5 和节点 1 的最近公共祖先是节点 3。

示例2：

输入: root = [3,5,1,6,2,0,8,null,null,7,4], p = 5, q = 4
输出: 5
解释: 节点 5 和节点 4 的最近公共祖先是节点 5。因为根据定义最近公共祖先节点可以为节点本身。

解题思路

假设 root 是 p, q 的最近公共祖先，那么就可以有以下三种情况：

  1. p 和 q 在 root 的子树中，且分列 root 的左、右子树中；
  2. p = root，且 q 在 root 的左或右子树中；
  3. q = root，且 p 在 root 的左或右子树中；

在这里，我们使用二叉树先序遍历的方式来对此二叉树进行搜索；当遇到节点 p 或者 q 的时候返回。自底向上回溯，当节点 p, q 在节点 root 的异侧时，节点 root 即为最近公共祖先，则向上返回 root 。

递归函数解析：

  1. 终止条件：当遇到根节点时，则直接返回 null; 当 root 等于 p 或者 q 的时候，返回 root。
  2. 单层递归逻辑：开启递归左子节点，返回值记为 left; 开启递归右子节点，返回值记为 right。
  3. 返回值：当 left 和 right 都为 null 时，说明没有找到 p 和 q, 返回 null;当 left 和 right 都不为空时，则 p 和 q 分别位于 root 俩侧，所以 root 为最近的祖先节点，返回 root; 当 left 为空，right 不为空，说明 p,q 都不在 root 的左子树中，则直接返回 right, 反之，返回 left。

代码实现

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * public class TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode left;
 *     TreeNode right;
 *     TreeNode(int x) { val = x; }
 * }
 */
class Solution {
    public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {

        if(root == null || root == p || root == q){
            return root;
        }

        TreeNode left = lowestCommonAncestor(root.left, p, q);
        TreeNode right = lowestCommonAncestor(root.right, p, q);
        if(left == null && right == null) return null;
        if (left == null) {
            return right;
        }

        if (right == null) {
            return left;
        }

        return root;
    }
}

复杂度分析

  • 时间复杂度：O(N)，其中 NN 是二叉树的节点数。二叉树的所有节点有且只会被访问一次，因此时间复杂度为 O(N)。

  • 空间复杂度：O(N) ，其中 N 是二叉树的节点数。递归调用的栈深度取决于二叉树的高度，二叉树最坏情况下为一条链，此时高度为 N，因此空间复杂度为 O(N)。

二叉搜索树的最近公共祖先

Hello, 大家好，今天是8月更文的第 4 天，今天要和大家分享的关于二叉树的算法题是：给定一个二叉搜索树，找到该树中俩个指定节点的最近的公共祖先。

题目

给定一个二叉搜索树, 找到该树中两个指定节点的最近公共祖先。

百度百科中最近公共祖先的定义为：“对于有根树 T 的两个结点 p、q，最近公共祖先表示为一个结点 x，满足 x 是 p、q 的祖先且 x 的深度尽可能大（一个节点也可以是它自己的祖先）。”

例如：给定如下二叉搜索树: root = [6,2,8,0,4,7,9,null,null,3,5]

image

示例1：

输入: root = [6,2,8,0,4,7,9,null,null,3,5], p = 2, q = 8
输出: 6 
解释: 节点 2 和节点 8 的最近公共祖先是 6。

示例2：

输入: root = [6,2,8,0,4,7,9,null,null,3,5], p = 2, q = 4
输出: 2
解释: 节点 2 和节点 4 的最近公共祖先是 2, 因为根据定义最近公共祖先节点可以为节点本身。

思路分析

注意到题目中给出的是一棵二叉搜索树，而二叉搜索树的特点就是 左子树的所有节点都小于当前节点，右子树的所有节点都大于当前节点，并且每棵子树都具有上述特点，因此我们可以快速地找出树中的某个节点以及从根节点到该节点的路径。

所以这题就好办了，我们从根节点开始遍历：

  1. 如果当前节点的值大于 p 和 q 的值，说明 p 和 q 应该在当前节点的左子树，因此将当前节点移动到它的左子节点；

  2. 如果当前节点的值小于 p 和 q 的值，说明 p 和 q 应该在当前节点的右子树，因此将当前节点移动到它的右子节点；

  3. 如果当前节点的值不满足上述两条要求，那么说明当前节点就是分岔点。此时，p 和 q 要么在当前节点的不同的子树中，要么其中一个就是当前节点。

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * public class TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode left;
 *     TreeNode right;
 *     TreeNode(int x) { val = x; }
 * }
 */
/*


class Solution {
    public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {


        // 第一种情况，当前节点的值小于给定的值，则说明满足条件的在右边
        if(root.val < p.val && root.val < q.val){
            return lowestCommonAncestor(root.right, p, q);
        }
        // 第二种情况，当前节点的值大于给定的值，则说明满足条件的在左边
        if(root.val>p.val&&root.val>q.val){
            return lowestCommonAncestor(root.left, p, q);
        }
        // 第三种情况，p,q不在同一子树，只能是p，q分别在一左一右，或者，p，q其中一个是根节点，都返回root
        return root;
    }
}

复杂度分析

  1. 时间复杂度：O(n)，其中 n 是给定的二叉搜索树中的节点个数。

  2. 空间复杂度：O(1)。

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