40. 堆排序

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堆排序

堆性质：

• 堆是一个完全二叉树
• 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值
• 堆的每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点，称为小根堆
• 堆的每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点，称为大根堆

下面分别介绍完全二叉树、小根堆、大根堆

完全二叉树：

• 只允许最后一层有空缺而且空缺只能是右边，而不能是左边
• 完全二叉树通常采用数组来存储

小根堆

• 每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点
• 根节点是最小值

大根堆

• 每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点
• 根节点是最大值

存储方式

• 一般用数组存储比较方便

用上面小根堆举例子：

手写一个堆

思路

1. 插入一个数: heap[ size] = x; size ++；up(size);（在末尾插入，插入之后堆的大小加1，并且通过up函数上升到相应位置）
2. 求集合当中的最小值： heap[1]; (对于小根堆来说，根节点就是最小值)
3. 删除最小值：heap[1] = heap[size]; size --;down(1);(删除最小值不能直接删除，不然根节点就为空，所以先和最后一个元素交换，在将最后一个元素删除，最后down到相应的位置)，在数组中删除最后一个元素，比删除第一个元素简单。
4. 删除任意一个元素：heap[k] = heap[size]; size --; down(k); up(k); (思路和删除最小值一样)
5. 修改任意一个元素：  heap[k] = x; down(k); up(k);

题目 ：堆排序

输入一个长度为 n 的整数数列，从小到大输出前 m 小的数。

输入格式

第一行包含整数 n 和 m。

第二行包含 n 个整数，表示整数数列。

输出格式

共一行，包含 m 个整数，表示整数数列中前 m 小的数。

数据范围

1 ≤ m ≤ n ≤ 105
1 ≤ 数列中元素 ≤ 109

输入样例：

5 3
4 5 1 3 2

输出样例：

1 2 3

代码

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 100010;
int n, m;
int heap[N];      //size存的是数组元素的个数，heap存储数组元素
int sizes;

void down(int u)
{
    int t = u;          //down的时候需要找到三个当中最小的那个，所以先假设u是最小的
    if (u * 2 <= sizes && heap[u * 2] < heap[t]) t = u * 2;    //首先判断左节点有没有，有的话在判断左节点和根的大小
    if (u * 2 + 1 <= sizes && heap[u * 2 + 1] < heap[t]) t = u * 2 + 1;
    
    if (u != t)              //此时t是最小的那个值，u != t说明根节点不是最小的
    {
        swap(heap[t], heap[u]);    //u和t不相等就进行交换。
        down(t);             //继续迭代，一直到堆根为止
    }
}

void up (int u)
{
   int t = u;
   while (u / 2 && heap[u / 2] > heap[u])
   {
       t = u / 2;
       swap(heap[t], heap[u]);
       up(t);
      
   }
}

void up2 (int u)
{
   
   while (u / 2 && heap[u / 2] > heap[u])
   {
       
       swap(heap[u / 2], heap[u]);
       u /= 2;
      
      
   }
    
}
int main()
{
    
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d", &heap[i]);
    sizes = n;
    
    //for (int i = n / 2; i; i --) down(i); //建立堆,俩个建堆都可以,时间复杂度O(n)
    //for (int i = n; i ; i --) down(i);      //时间复杂度是O(nlogn)
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) up(i);     //这三种方法都可以建堆
    
    while (m --)
    {
        printf("%d ", heap[1]);
        heap[1] = heap[sizes];
        sizes --;
        down(1);
    }
    return 0;
}