数位dp总结数位dp是一类比较特殊的问题，模板性很强，主要解决区间计数问题。一般情况下题目会询问区间[L，R]中满足某种

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数位dp是一类比较特殊的问题，模板性很强，主要解决区间计数问题。一般情况下题目会询问区间[L，R]中满足某种性质的数有多少个。

首先以HDU3555 Bomb为例，题意大概是寻找1-n中包含"49"的数字个数，例如249、4900等都是符合题意的数字。考虑暴搜枚举每一个数，时间复杂度大概是O(log10(n)*n)，显然会超时。但是如果按位暴搜，枚举每一位可能出现的数字，时间复杂度大概是O(10^(log10(n)))，比上一个暴搜快了不少，但依旧会超时。以n=2345为例，再来考虑按位枚举过程，首先令第一位为0，之后几位不确定，此时的数字为0???(用?代替不确定的位置)，另外由于'0'小于n的第一位'2'，后面3位都可以任取每一个数(0-9)且不会导致超出最大范围。于是我们暴搜出来此时的情况总数：0049、0149、0249......0490、0491......0499这20个数，当我们第一位枚举到1，此时的数字为1???，由于'1'还是小于'2'，后3位依然可以任取，于是我们暴搜出来此时的情况总数：1049、1149、1249......1490、1491......1499这20个数，与刚才搜索到的数仅第一位不同，于是可以记录下当前状态能获得的合法方案数，保存在一个数组里，当下次遇到相同的状态时直接返回答案即可。一般前导零标志可以放入dp数组，且会加速记忆化搜索，但任选标志一定不能放入dp数组！

具体代码如下（可看作模板理解记忆）：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define int long long
using namespace std;
//本模板以HDU3555 Bomb为例 
int dp[70][10][2];
//dp[i][j][1]记录第i位之前数字已经确定(不包含第i位)且上一位数字为j且已搜到49，之后的数字可以任取(第i位也可任取)得到的合法数字个数
//dp[i][j][0]记录第i位之前数字已经确定(不包含第i位)且上一位数字为j且未搜到49，之后的数字可以任取(第i位也可任取)得到的合法数字个数
int a[70];
 
int dfs(int pos, int pre, int flag1, int flag2)//本质就是个记忆化+暴搜 
{
	//pos表示本次处理的数位
	//pre记录上一位数值 
	//flag1一般与题目具体要求有关，需要灵活设置，这里表示之前是否搜到过49
	//flag2表示该位是否可以任选，弥补前三维不能准确描述状态的缺陷，也可以加入dp数组作为第四维 
    if(pos == 0)//如果到达递归边界 
		return flag1;//这里根据题目要求灵活改变 
    if(flag2 && dp[pos][pre][flag1] != -1)//如果当前位不受限制且已经记录了答案 
		return dp[pos][pre][flag1];//直接返回答案
	//开始本次计数 
    int up = flag2 ? 9 : a[pos];//当前位置能达到的上界 
    int ans = 0;//记录计数结果 
    for(int i = 0; i <= up; i++)//枚举该位取值 
        ans+=dfs(pos-1, i, (pre==4&&i==9)||flag1, i<up||flag2);//flag1需要灵活改变，其余变量的改变基本是模板 
    if(flag2)//只有满足该位任取才能记录答案，否则会被不能任取时的答案刷新，可能影响之后返回的答案 
    //例如输入12345，处理到02_??时可以任选，直接返回dp[3][2][0]，但处理到120??时如果再对dp赋值就改变了dp[3][2][0]
	//虽然对本组数据不会有影响，但计算下组数据可能会出现错误 
		dp[pos][pre][flag1] = ans;
    return ans;
}
 
int solve(int x)
{
    int pos=0;
    do 
    {
    	a[++pos]=x%10;
    	x/=10;
    }while(x);//拆位，用do_while循环是考虑到x为0的情况 
    return dfs(pos,0,0,0);
}
 
signed main()
{
	int T;
	cin >> T;
	memset(dp, -1, sizeof dp);//初始化一次，之后多组数据都可以利用dp记录的数据 
	while(T--)
	{
		int n;
		cin >> n;
		cout << solve(n) << endl;
	}
	return 0;
}

数位dp总结

具体代码如下（可看作模板理解记忆）：

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