树的直径总结

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一. 定义

树上任意两点间最大距离（最长路）

二. 性质（重要）

1. 设树T存在直径a1-b1，a2-b2......an-bn，从树上任意点c搜索最远点，可能有多个最远点，它们与c的距离一定相同，且任取一最远点，一定是某条直径的端点，因此最长距离d = max(dis(c, a1), dis(c, b1)) = max(dis(c, a2), dis(c, b2)) = ... = max(dis(c, an), dis(c, bn))。

   推论：以某直径端点a搜索最远点，可能有多个最远点，且a与这些最远点距离都为树上最大距离，即a与它们都能组成直径。

   证明见：树的直径（最长路） 的详细证明 - Because Of You - 博客园 (cnblogs.com)

2. 一棵树的所有直径必定以同一点为中点。

   证明见：与图论的邂逅01:树的直径&基环树&单调队列 - 修电缆的建筑工 - 博客园 (cnblogs.com)

3. 只有a1~b1直径上的点i才满足这个条件：d1[i]+d2[i] == d1[b1]，其中d1[i]表示i点距a1的距离，d2[i]表示i点距b1的距离。

   证明：当i点在直径a1~b1上时，显然成立。当i点不在直径上时，反证法，假设满足d1[i]+d2[i] == d1[b1]，首先i一定通过某条路径与直径上某点j连通，因为在树上，所以d1[i]与d2[i]路径唯一，有d1[i] = dis(a1, j)+dis(j, i)，d2[i] = dis(a2, j)+dis(j, i)，二者相加显然不等于dis(a1, j)+dis(j, a2)，因此得证。

三. 两种方法求直径长度

1. 根据性质及推论，可以通过两次dfs/bfs找到一条直径的两个端点，并得到直径长度。

   具体代码如下：

   int _max = 0, id;//id记录最远点标号 
   
   void dfs(int now, int fa, int dis)//dis记录起点距离now的距离
   {
           if(dis > _max)
           {
                   _max = dis;
                   id = now;
           }
           for(int i = head[now]; i; i = edges[i].next)//链式前向星遍历子节点 
           {
                   if(edges[i].v == fa)//如果下一步要原路返回就跳过，防止无限递归
                           continue;
                   dfs(edges[i].v, now, dis+edges[i].w);
           }
   }
   

   第一次调用时任选起点，这里以1为例，同时起点的父节点也可以任取：dfs(1，0，0)。

   递归结束后id中保存距离起点最远的节点标号。

   第二次调用时以id为起点：dfs(id，0，0)。

   递归结束后_max保存树上最长距离，即树的直径。

2. 树形dp，dp1[i]记录以i为根的子树中最长路径长度，dp2[i]记录以i为根的子树中次长路径长度。（实际的根不变）

   具体代码如下：

   void dfs(int now, int fa)//dfs的任务就是更新dp[now]
   {
           for(int i = head[now]; i; i = edge[i].next)//遍历每条边 
           {
                   if(edge[i].to == fa)
                           continue;
                   dfs(edge[i].to, now);
                   if(dp1[edge[i].to]+edge[i].w > dp1[now])
                   {
                           dp2[now] = dp1[now];
                           dp1[now] = dp1[edge[i].to]+edge[i].w;
                   }
                   else if(dp2[now] < dp1[edge[i].to]+edge[i].w)
                           dp2[now] = dp1[edge[i].to]+edge[i].w;
           }
           ans = max(dp1[now]+dp2[now], ans);
   }