头脑风暴：零钱兑换2题目给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币

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题目

给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。

示例 1:

输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5] 输出: 4 解释: 有四种方式可以凑成总金额: 5=5 5=2+2+1 5=2+1+1+1 5=1+1+1+1+1

示例 2:

输入: amount = 3, coins = [2] 输出: 0 解释: 只用面额2的硬币不能凑成总金额3。

示例 3:

输入: amount = 10, coins = [10] 输出: 1

注意，你可以假设：

0 <= amount (总金额) <= 5000
1 <= coin (硬币面额) <= 5000
硬币种类不超过 500 种
结果符合 32 位符号整数

解题思路

根据题意，这是一道典型的背包问题，根据钱币的数量不限就可以知道这是一个完全背包。

但本题和纯完全背包不一样，纯完全背包是能否凑成总金额，而本题是要求凑成总金额的个数！这是一种组合。于是分析如下：

第一步，确定dp数组以及下标的含义：

dp[j]: 凑成总金额 j 的货币组合数为 dp[j]。

第二步，确定递推公式：

一般公式都是：dp[j] += dp[j - coins[i]];

第三步：初始化dp数组：

dp[0]一定要为1，dp[0] = 1是递归公式的基础。

第四步，确定遍历顺序：

外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额）的情况。

代码实现

class Solution {
    public int change(int amount, int[] coins) {
        // dp[j] 表示凑成背包容量为 j 的组合数
        int[] dp = new int[amount + 1];
        dp[0] = 1;
        
        for(int i = 0; i < coins.length; i++){
            for(int j = coins[i]; j <= amount; j++){
                dp[j] += dp[j - coins[i]];
            }
        }

        return dp[amount];
    }
}

最后

时间复杂度：O(amount×n)，其中 amount 是总金额，n 是数组 coins 的长度。
空间复杂度：O(amount)，其中 amount 是总金额。需要创建长度为 amount+1 的数组 dp

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