零钱兑换

力扣：322. 零钱兑换 - 力扣（LeetCode）
给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。计算并返回可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。你可以认为每种硬币的数量是无限的。
示例 1：
输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3
解释：11 = 5 + 5 + 1
示例 2：
输入：coins = [2], amount = 3
输出：-1
提示：

1 <= coins.length <= 12
1 <= coins[i] <= 231 - 1
0 <= amount <= 104

在动态规划：动态规划完全背包问题02：零钱兑换 II - 掘金 (juejin.cn)中我们已经兑换⼀次零钱了，这次⼜要兑换，套路不⼀样！题⽬中说每种硬币的数量是⽆限的，可以看出是典型的完全背包问题。

动规五部曲：

1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[j]：凑⾜总额为j所需钱币的最少个数为dp[j]

2. 确定递推公式

由于是要求最小硬币个数，和之前的完全背包问有一些不同。但是思路其实是一样的。得到dp[j]（考虑coins[i]），只有⼀个来源，dp[j - coins[i]]（没有考虑coins[i]先不加一）。凑⾜总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]]，那么只需要加上⼀个钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] +1就是dp[j]（考虑coins[i]）所以dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最⼩的。递推公式：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])。

3. dp数组如何初始化

⾸先凑⾜总⾦额为0所需钱币的个数⼀定是0，那么dp[0] = 0;其他下标对应的数值呢？
考虑到递推公式的特性，dp[j]必须初始化为⼀个最⼤的数，否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])⽐较的过程中被初始值覆盖。所以下标⾮0的元素都是应该是最⼤值。那这amount + 1个最大值是多少呢？可以是Integer.MAX_VALUE也可以是amount + 1。Integer.MAX_VALUE就不用多说了其实amount + 1也很好理解硬币的最小额度为1那组成amount的最大个数为amount所以amount + 1就可以为dp数组无法达到的一个最小值。初始化代码：

         for(int i = 1; i <= amount; i++ ){
            dp[i] = amount + 1;
         }

4. 确定遍历顺序

本题求钱币最⼩个数，那么钱币有顺序和没有顺序都可以，都不影响钱币的最⼩个数。。所以本题并不强调集合是组合还是排列。
如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
在动态规划专题我们讲过了求组合数是动态规划：动态规划完全背包问题02：零钱兑换 II - 掘金 (juejin.cn)，求排列数是动态规划：动态规划完全背包问题03：组合总和 Ⅳ - 掘金 (juejin.cn)。
所以本题的两个for循环的关系是：外层for循环遍历物品，内层for遍历背包或者外层for遍历背包，内层for循环遍历物品都是可以的！那么我采⽤target放在外循环，coins在内循环的⽅式。本题钱币数量可以⽆限使⽤，那么是完全背包。所以遍历的内循环是正序。
综上所述，遍历顺序为：target（背包）放在外循环，coins（物品）在内循环。且内循环正序。

5. 举例推导dp数组

分析完毕Java代码如下：

class Solution {
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        int[] dp = new int[amount + 1];
        for(int i = 1; i <= amount; i++ ){
            dp[i] = amount + 1;
            for(int j = 0; j < coins.length; j++){
                if(i >= coins[j])
                    dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - coins[j]] + 1);
            }
        }
        if(dp[amount] == amount + 1)
            return -1;
        else
            return dp[amount];
             
    }
}

动态规划完全背包问题05：再兑换⼀次零钱！