零钱兑换 II

力扣：518. 零钱兑换 II - 力扣（LeetCode）
给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回0。
假设每一种面额的硬币有无限个。题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。 示例 1：
输入：amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出：4
解释：有四种方式可以凑成总金额：
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1
示例 2： 输入： amount = 3, coins = [2]
输出： 0
解释：只用面额 2 的硬币不能凑成总金额 3 。
提示：
1 <= coins.length <= 300
1 <= coins[i] <= 5000
coins 中的所有值互不相同
0 <= amount <= 5000
这是⼀道典型的背包问题，⼀看到钱币数量不限，就知道这是⼀个完全背包。但本题和纯完全背包不⼀样，纯完全背包是能否凑成总⾦额，⽽本题是要求凑成总⾦额的个数！
注意题⽬描述中是凑成总⾦额的硬币组合数，为什么强调是组合数呢？例如示例⼀：
5 = 2 + 2 + 1
5 = 2 + 1 + 2
这是⼀种组合，都是 2 2 1。
如果问的是排列数，那么上⾯就是两种排列了。
组合不强调元素之间的顺序，排列强调元素之间的顺序。为什么要介绍这些呢，因为这和下⽂讲解遍历顺序息息相关! 回到老本行我们开始动态规划五部曲。

动规五部曲：

1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[j]：凑成总⾦额j的货币组合数为dp[j]

2. 确定递推公式

dp[j]（考虑coins[i]的组合总和）就是所有的dp[j - coins[i]]（不考虑coins[i]）相加。即当硬币为1时组成金额0一定是一种方法，组成金额1有dp[1 - 1] = 1种方法，那组成金额2的方法为：dp[2 - 1] = 1。组成金额3的方法为：dp[3 - 1] = 1；在当硬币为2时，组成金额2的方法为：dp[2] + dp[2 - 2] = 2。组成金额3的方法为：dp[3] + dp[3 - 2] = 2；其他以此类推。所以递推公式：dp[j] += dp[j - coins[i]];
这个递推公式⼤家应该不陌⽣了，我在讲解01背包题⽬的时候在动态规划进阶05：⽬标和 - 掘金 (juejin.cn)中就讲解了，求装满背包有⼏种⽅法，⼀般公式都是：dp[j] += dp[j - nums[i]];

3. dp数组如何初始化

⾸先dp[0]⼀定要为1，dp[0] = 1是递归公式的基础。从dp[i]的含义上来讲就是，凑成总⾦额0的货币组合数为1。下标⾮0的dp[j]初始化为0，这样累计加dp[j - coins[i]]的时候才不会影响真正的dp[j]。

4. 确定遍历顺序

本题中我们是外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（⾦钱总额），还是外层for遍历背包（⾦钱总额），内层for循环遍历物品（钱币）呢？
我在上一篇文章中中讲解了完全背包的两个for循环的先后顺序都是可以的。但本题就不⾏了！
因为纯完全背包求得是能否凑成总和，和凑成总和的元素有没有顺序没关系，即：有顺序也⾏，没有顺序也⾏！
⽽本题要求凑成总和的组合数，元素之间要求没有顺序。所以纯完全背包是能凑成总结就⾏，不⽤管怎么凑的。
本题是求凑出来的⽅案个数，且每个⽅案个数是为组合数。那么本题，两个for循环的先后顺序可就有说法了。我们先来看外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（⾦钱总额）的情况。
代码如下：

        for(int i = 0; i < coins.length; i++)
            for(int j = coins[i]; j <= amount; j++)
                dp[j] += dp[j - coins[i]];

假设：coins[0] = 1，coins[1] = 5。
那么就是先把1加⼊计算，然后再把5加⼊计算，得到的⽅法数量只有{1, 5}这种情况。⽽不会出现{5, 1} 的情况。所以这种遍历顺序中dp[j]⾥计算的是组合数！
如果把两个for交换顺序，代码如下：

        for (int j = 0; j <= amount; j++)  // 遍历背包容量
            for (int i = 0; i < coins.length; i++)  // 遍历物品
                if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]];

背包容量的每⼀个值，都是经过 1 和 5 的计算，包含了{1, 5} 和 {5, 1}两种情况。此时dp[j]⾥算出来的就是排列数！
可能这⾥很多还不是很理解，建议动⼿把这两种⽅案的dp数组数值变化打印出来，对⽐看⼀看！（实践出真知）

5. 举例推导dp数组

输⼊: amount = 5, coins = [1, 2, 5] ，dp状态图如下：

分析完毕Java代码如下：

class Solution {
    public int change(int amount, int[] coins) {
        int[] dp = new int[amount + 1];
        dp[0] = 1;
        for(int i = 0; i < coins.length; i++)
            for(int j = coins[i]; j <= amount; j++)
                dp[j] = dp[j - coins[i]];
        return dp[amount];
    }
}

文章参考:代码随想录

动态规划完全背包问题02：零钱兑换 II