考研数学相关内容

• 考研数学一公式整理——高等数学部分

• 考研数学一公式整理——线性代数部分

0 前言

  今天在整理电脑文件的时候发现了去年整理的一系列资料。当时自己整理的原因也很简单 : 知乎或者考研公众号上整理的都很粗略 (基本用不成的级别)。当时自己就头铁整理了一份 (事实证明 : 有这个时间不如多做点题来得好得多)，但是我觉得作为考研复习的资料，其不失为一个好的素材与复习概要，特此进行分享。文章仅在掘金平台进行发布，不得进行转载等无聊引流操作。

考研数学一线性代数公式

1​​​​ 行列式与代数余子式

1. $n$阶行列式的定义：

   $n$阶行列式$D_n=\left|\begin{matrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{matrix}\right|$ ​是由$n$个$n$维向量$\bold{\alpha_1}=[a_{11},a_{12},...,a_{1n}],\bold{\alpha_2}=[a_{21},a_{22},...,a_{2n}],...,\bold{\alpha_n}=[a_{n1},a_{n2},...,a_{nn}]$​ 组成的，其（运算规则的）结果是以这个$n$向量为邻边的$n$维图形的（有向）体积

2. 行列式的性质

   性质1：行列互换，其值不变，即$|\bold{A}|=|\bold{A}^T|$

   性质2：行列式中某行（列）元素全为零，则行列式为零

   性质3：行列式中的两行（列）元素相等或对应成比例，则行列式为零

   性质4：行列式中某行（列）元素均是两个元素之和，则可拆成两个行列式之和，即

   $$\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{i1}+b_{i1}&a_{i2}+b_{i2}&\cdots&a_{in}+b_{in}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{matrix}\right|= \left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{matrix}\right|+ \left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\b_{i1}&b_{i2}&\cdots&b_{in}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{matrix}\right|$$

   性质5：行列式中两行（列）互换，行列式的值取反号

   性质6：行列式中某行（列）元素有公因子$k(k\ne0)$，则$k$可提取到行列式外面，即

   $$\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\ka_{i1}&ka_{i2}&\cdots&ka_{in}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{matrix}\right|= k\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{matrix}\right|$$

   性质7：行列式中某行（列）的$k$倍加到另一行（列），行列式的值不变

3. 行列式的展开定理

   • 余子式

     在$n$阶行列式中，去掉元素$a_{ij}$所在的第$i$行、第$j$列元素，由剩下的元素按原来的位置与顺序组成的$n-1$​阶行列式称为元素$a_{ij}$的余子式，记作$M_{ij}$，即

     $$M_{ij}=\left|\begin{matrix}a_{11}&\cdots&a_{1,j-1}&a_{1,j+1}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{i-1,1}&\cdots&a_{i-1,j-1}&a_{i-1,j+1}&\cdots&a_{i-1,n}\\a_{i+1,1}&\cdots&a_{i+1,j-1}&a_{i+1,j+1}&\cdots&a_{i+1,n}\\\vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n,1}&\cdots&a_{n,j-1}&a_{n,j+1}&\cdots&a_{n,n}\end{matrix}\right|$$

   • 代数余子式

     余子式$M_{ij}$乘$(-1)^{i+j}$后称为$a_{ij}$的代数余子式，记作$A_{ij}$，即$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$，同时$M_{ij}=(-1)^{i+j}A_{ij}$​

   • 行列式按某一行（列）展开的展开公式

     行列式的值等于行列式的某行（列）元素分别乘其相应的代数余子式

     $$|\bold{A}|=\left\{ \begin{aligned} a_{i1}\bold{A_{i1}}+a_{i2}\bold{A_{i2}}+...+a_{in}\bold{A_{in}}=\sum_{j=1}^na_{ij}\bold{A_{ij}} \ \ \ (i=1,2,...,n)\\ a_{1j}\bold{A_{1j}}+a_{2j}\bold{A_{2j}}+...+a_{nj}\bold{A_{nj}}=\sum_{i=1}^na_{ij}\bold{A_{ij}} \ \ \ (j=1,2,...,n) \end{aligned} \right.$$

4. 行列式具体计算

   • 主对角线行列式

     $$\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\0&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&\cdots&a_{nn}\end{matrix}\right|= \left|\begin{matrix}a_{11}&0&\cdots&0\\a_{21}&a_{22}&\cdots&0\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{matrix}\right|= \left|\begin{matrix}a_{11}&0&\cdots&0\\0&a_{22}&\cdots&0\\\vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&\cdots&a_{nn}\end{matrix}\right|= \prod_{i=1}^na_{ii}$$

   • 副对角线行列式

     $$\left|\begin{matrix}a_{11}&\cdots&a_{1,n-1}&a_{1n}\\a_{21}&\cdots&a_{2,n-1}&0\\\vdots&&\vdots&\vdots\\a_{n1}&\cdots&0&0\end{matrix}\right|= \left|\begin{matrix}0&\cdots&0&a_{1n}\\0&\cdots&a_{2,n-1}&a_{2n}\\\vdots&&\vdots&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{n,n-1}&a_{nn}\end{matrix}\right|= \left|\begin{matrix}0&\cdots&0&a_{1n}\\0&\cdots&a_{2,n-1}&0\\\vdots&&\vdots&\vdots\\a_{n1}&\cdots&0&0\end{matrix}\right|\\= (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\prod_{i=1}^na_{i,n+1-i}$$

   • 拉普拉斯展开式

     设$\bold{A}$为$m$阶矩阵，$\bold{B}$为$n$阶矩阵，则

     $$\left|\begin{matrix}\bold{A}&\bold{O}\\\bold{O}&\bold{B}\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}\bold{A}&\bold{C}\\\bold{O}&\bold{B}\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}\bold{A}&\bold{O}\\\bold{C}&\bold{B}\end{matrix}\right|=|\bold{A}|\cdot|\bold{B}|\\ \left|\begin{matrix}\bold{O}&\bold{A}\\\bold{B}&\bold{O}\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}\bold{C}&\bold{A}\\\bold{B}&\bold{O}\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}\bold{O}&\bold{A}\\\bold{B}&\bold{C}\end{matrix}\right|=(-1)^{mn}|\bold{A}|\cdot|\bold{B}|$$

   • 范德蒙德行列式

     $$\left|\begin{matrix}1&1&\cdots&1\\x_1&x_2&\cdots&x_n\\x_1^2&x_2^2&\cdots&x_n^2\\\vdots&\vdots&&\vdots\\x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&\cdots&x_n^{n-1}\end{matrix}\right|=\prod_{1\le i< j\le n}(x_j-x_i)\ (n\ge2)$$

2​​​ 矩阵运算

1. 关于$A^*$矩阵

   • 定义：

     $$A^*=\left[\begin{matrix}A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\ A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn}\end{matrix}\right]$$

     其中$A_{ij}$是$a_{ij}$的代数余子式，$A^*$叫作$A$的伴随矩阵

   • 公式：设$A$为$n(n\ge2)$阶可逆矩阵，则

     $$\begin{aligned} \bold{AA}^*&=\bold{A}^*\bold{A}=|\bold{A}|\bold{I}\\ |\bold{A}^*|&=|\bold{A}|^{n-1}\\ (\bold{A^T})^*&=(\bold{A}^*)^T\\ (k\bold{A})^*=k^{n-1}\bold{A}^*,&\ \ (-\bold{A})^*=(-1)^{n-1}\bold{A}^*\\ {\bold{A}}^{-1}&=\frac{1}{|\bold{A}|}\bold{A}^*\\ \bold{A}^*&=|\bold{A}|\bold{A}^{-1}\\ (\bold{A}^*)^{-1}&=\frac{1}{|\bold{A}|}\bold{A}=(\bold{A}^{-1})^*\\ (\bold{A}^*)^*&=|\bold{A}|^{n-2}\bold{A}\\ |(\bold{A}^*)^*|&=|\bold{A}|^{(n-1)^2}\\ (\bold{AB})^*&=\bold{B}^*\bold{A}^* \end{aligned}$$

2. 关于$A^{-1}$​矩阵

   • 定义：

     对于矩阵$A,B$，若有$AB=I$，则$A,B$互为逆矩阵，且$A^{-1}=B,B^{-1}=A,AB=BA=I$

   • 计算性质

     $$\begin{aligned} (\bold{A}^{-1})^{-1}&=\bold{A}\\ (\bold{AB})^{-1}&=\bold{B}^{-1}\bold{A}^{-1}\\ k\ne0,(k\bold{A})^{-1}&=\frac{1}{k}\bold{A}^{-1}\\ (\bold{A}^T)^{-1}&=(\bold{A}^{-1})^T\\ |\bold{A}^{-1}|&=\frac{1}{|\bold{A}|} \end{aligned}$$

3. 分块矩阵乘法

   $$\left[\begin{matrix}\bold{A}&\bold{B}\\\bold{C}&\bold{D}\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}\bold{X}&\bold{Y}\\\bold{Z}&\bold{W}\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}\bold{AX+BZ}&\bold{AY+BW}\\\bold{CX+DZ}&\bold{CY+DW}\end{matrix}\right]$$

4. 主对角线矩阵与副对角线矩阵的逆

   • 主对角线矩阵

     $$\bold{A}=\left[\begin{matrix}\bold{A_1}&&&\\&\bold{A_2}&&\\&&\ddots&\\&&&\bold{A_n}\end{matrix}\right]={\rm diag}(\bold{A_1},\bold{A_2},\cdots,\bold{A_n})\\ \bold{A}^{-1}=\left[\begin{matrix}\bold{A_1}^{-1}&&&\\&\bold{A_2}^{-1}&&\\&&\ddots&\\&&&\bold{A_n}^{-1}\end{matrix}\right]={\rm diag}(\bold{A_1}^{-1},\bold{A_2}^{-1},\cdots,\bold{A_n}^{-1})$$

   • 副对角线矩阵

     $$\bold{A}=\left[\begin{matrix}&&&\bold{A_1}\\&&\bold{A_2}&\\&\cdots&&\\\bold{A_n}&&&\end{matrix}\right]\\ \bold{A}^{-1}=\left[\begin{matrix}&&&\bold{A_n}^{-1}\\&&\bold{A_{n-1}}^{-1}&\\&\cdots&&\\\bold{A_1}^{-1}&&&\end{matrix}\right]$$

5. 初等矩阵及其对应变化

   • 倍乘初等矩阵

     $$\bold{E_i}(k)={\rm diag}(1,\cdots,k,\cdots,1)=\left[\begin{matrix}1&\cdots&0&\cdots&0\\\vdots&\ddots&\vdots&&\vdots\\0&\cdots&\bold{E_i}_{i,i}=k&\cdots&0\\\vdots&&\vdots&\ddots&\vdots\\0&\cdots&0&\cdots&1\end{matrix}\right]$$

     矩阵$\bold{A}$进行$\bold{AE_i}(k)$，其所表征将其第$i$列倍乘$k$倍，而若进行$\bold{E_i}(k)\bold{A}$​计算，则是表征将其​第$i$行倍乘$k$倍

   • 互换初等矩阵

     $$\bold{E_{ij}}=\left[\begin{matrix}1&\cdots&0&\cdots&0&\cdots&0\\\vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots\\0&\cdots&0&\cdots&\bold{E_{ij}}_{i,j}=1&\cdots&0\\\vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots\\0&\cdots&\bold{E_{ij}}_{j,i}=1&\cdots&0&\cdots&0\\\vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots\\0&\cdots&0&\cdots&0&\cdots&1\end{matrix}\right]$$

     矩阵$\bold{A}$进行$\bold{AE_{ij}}$，其所表征将其第$i,j$列互换，而进行$\bold{E_{ij}A}$，则表征将其第$i,j$行互换

   • 倍加初等矩阵

     $$\bold{E_{ij}}(k)=\left[\begin{matrix}1&\cdots&0&\cdots&0&\\\vdots&&\vdots&&\vdots&\\0&\cdots&\bold{E_{ij}}_{i,j}=k&\cdots&0&\\\vdots&&\vdots&&\vdots&\\0&\cdots&0&\cdots&1\end{matrix}\right]$$

     矩阵$\bold{A}$​​进行$\bold{AE_{ij}}(k)$​​，其所表征将其第$i$​列的$k$​倍增加到第$j$​列，而进行$\bold{E_{ij}}(k)\bold{A}$​，则表征将其第$j$行的$k$倍增加到第$i$行

   • 可以将上面的乘的规律概括为左行右列规则

3 矩阵的秩

1. 定义：

   设$\bold{A}$是$m\times n$矩阵，$\bold{A}$​中最大的不为零的子式的阶数称为矩阵$\bold{A}$​的秩，记作$r(\bold{A})=rank(\bold{A})$​​，同时有推断$rank(\bold{A}_{n\times n})=n\leftrightarrow |\bold{A}|\ne0\leftrightarrow\bold{A}$可逆

2. 公式

   • 设$\bold{A}$是$m\times n$​​矩阵，则$0\le rank(\bold{A})\le\min\{m,n\}$
   • 设$\bold{A}$是$m\times n$矩阵，则$rank(k\bold{A})=rank(\bold{A})(k\ne0)$​
   • 设$\bold{A}$是$m\times n$矩阵，$\bold{P},\bold{Q}$分别是$m$阶、$n$阶可逆矩阵，则$rank(\bold{A})=rank(\bold{PA})=rank(\bold{AQ})=rank(\bold{PAQ})$​
   • 设$\bold{A}$是$m\times n$矩阵，$\bold{B}$是$n\times s$矩阵，则$r(\bold{AB})\le\min\{rank(\bold{A}),rank(\bold{B})\}$
   • 设$\bold{A},\bold{B}$为同型矩阵，则$rank(\bold{A}+\bold{B})\le rank([\bold{A},\bold{B}])\le rank(\bold{A})+rank(\bold{B})$​
   • 设$\bold{A}$是$m\times n$矩阵，$\bold{B}$是$s\times t$​矩阵，则$rank(\left[\begin{matrix}\bold{A}&\bold{O}\\\bold{O}&\bold{B}\end{matrix}\right])=rank(A)+rank(B)$​
   • 设$\bold{A},\bold{B},\bold{C}$均是$n$​​阶矩阵，$rank(\bold{A})+rank(\bold{B})\le rank(\left[\begin{matrix}\bold{A}&\bold{O}\\\bold{C}&\bold{B}\end{matrix}\right])\le rank(\bold{A})+rank(\bold{B})+rank(\bold{C})$​
   • 设$\bold{A}$是$m\times n$矩阵，$\bold{B}$是$n\times s$矩阵，则$r(\bold{AB})\ge rank(\bold{A})+rank(\bold{B})-n$
   • 设$\bold{A}$​是$m\times n$​​实矩阵，则$rank(\bold{A})=rank(\bold{A}^T)=rank(\bold{AA}^T)=rank(\bold{A}^T\bold{A})$​
   • 设$A$​是$n$​阶方阵，$\bold{A}^*$是$\bold{A}$的伴随矩阵，$rank(\bold{A})=\left\{ \begin{aligned} n,\ \ \ &rank(\bold{A})=n\\1,\ \ \ &rank(\bold{A})=n-1\\0,\ \ \ &rank(\bold{A})<n-1 \end{aligned} \right.$​
   • 设$A$是$n$阶方阵，$\bold{A}^2=\bold{A}$​，则$rank(\bold{A})+rank(\bold{A-E})=n$​
   • 设$A$是$n$阶方阵，$\bold{A}^2=\bold{I}$，则$rank(\bold{A+E})+rank(\bold{A-E})=n$

4 线性方程组

1. 齐次线性方程组

   $$\left\{ \begin{aligned} a_{11}x_1+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_n=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_n=0\\ \cdots\cdots\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=0 \end{aligned} \right.\ \ \ \bold{A}=\left|\begin{matrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{matrix}\right|\ \ \ \vec{x}=\left|\begin{matrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{matrix}\right|\rightarrow \bold{A}\vec{x}=0$$

2. 非齐次方程组（克拉默法则）

   $$\left\{ \begin{aligned} a_{11}x_1+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\ \cdots\cdots\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=b_n \end{aligned} \right.\ \ \ \bold{D}=\left|\begin{matrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{matrix}\right|\ne0\ \ \ \\x_1=\frac{\bold{D_1}}{\bold{D}},x_2=\frac{\bold{D_2}}{\bold{D}},\cdots,x_n=\frac{\bold{D_n}}{\bold{D}}$$

   其中$\bold{D_j}(j=1,2,\cdots,n)$是将$\bold{D}$中第$j$列元素换成$b_1,b_2,\cdots,b_n$所构成的行列式，即

   $$\bold{D_j}=\left|\begin{matrix} a_{11}&\cdots&a_{1,j-1}&b_1&a_{1,j+1}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&\cdots&a_{2,j-1}&b_2&a_{2,j+1}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&&\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{n,j-1}&b_n&a_{n,j+1}&\cdots&a_{nn} \end{matrix}\right|(j=1,2,\cdots,n)$$

3. 线性方程组的几何意义

   • 方程组有解的情况

• 方程组无解的情况

5 向量组

1. 定义

   • 线性组合：设有$m$个$n$维向量$\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},\cdots,\vec{\alpha_m}$及$m$个数$k_1,k_2,\cdots,k_m$,则向量$k_1\vec{\alpha_1}+k_2\vec{\alpha_2}+\cdots+k_m\vec{\alpha_m}$称为向量组$\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},\cdots,\vec{\alpha_m}$的线性组合

   • 线性表示：若向量$\vec{\beta}$能够表示成向量组$\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},\cdots,\vec{\alpha_m}$的线性组合，即存在$m$个数$k_1,k_2,\cdots,k_m$使得

     $$\vec{\beta}=k_1\vec{\alpha_1}+k_2\vec{\alpha_2}+\cdots+k_m\vec{\alpha_m}$$

     则称$\vec{\beta}$能被向量组$\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},\cdots,\vec{\alpha_m}$线性表示

   • 线性相关：对于向量组$\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},\cdots,\vec{\alpha_m}$，若存在一组不全为0的数$k_1,k_2,\cdots,k_m$，使得线性组合

     $$k_1\vec{\alpha_1}+k_2\vec{\alpha_2}+\cdots+k_m\vec{\alpha_m}=0$$

     则称向量组$\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},\cdots,\vec{\alpha_m}$线性相关

   • 线性无关：若不是线性相关，则是线性无关，即满足$k_1\vec{\alpha_1}+k_2\vec{\alpha_2}+\cdots+k_m\vec{\alpha_m}=0$时$k_1,k_2,\cdots,k_m$均为0

2. 判别线性相关性的七个定理

   • 定理1：向量组$\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},\cdots,\vec{\alpha_n}(n\ge2)$中至少有一个向量可由其余的$n-1$个向量线性表示

   • 定理2：若向量组$\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},\cdots,\vec{\alpha_n}$线性无关，而$\vec{\beta},\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},\cdots,\vec{\alpha_n}$

   • 定理3：如果向量组$\vec{\beta_1},\vec{\beta_2},\cdots,\vec{\beta_t}$可由向量组$\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},\cdots,\vec{\alpha_s}$线性表示，且$t>s$，则向量组$\vec{\beta_1},\vec{\beta_2},\cdots,\vec{\beta_t}$线性相关

     等价命题：如果向量组$\vec{\beta_1},\vec{\beta_2},\cdots,\vec{\beta_t}$可由向量组$\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},\cdots,\vec{\alpha_s}$线性表示，且向量组$\vec{\beta_1},\vec{\beta_2},\cdots,\vec{\beta_t}$线性无关，则$t>s$

   • 定理4：设$m$个$n$维向量$\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},\cdots,\vec{\alpha_m}$，其中

     $$\vec{\alpha_1}=[a_{11},a_{21},\cdots,a_{n1}]^T\\ \vec{\alpha_2}=[a_{12},a_{22},\cdots,a_{n2}]^T\\ \cdots\\ \vec{\alpha_m}=[a_{1m},a_{2m},\cdots,a_{nm}]^T$$

     则向量组$\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},\cdots,\vec{\alpha_m}$线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组$\bold{A}\vec{x}=\vec{0}$有非零解

     $$\bold{A}=\left[\begin{matrix} \vec{\alpha_1}&\vec{\alpha_2}&\cdots&\vec{\alpha_m} \end{matrix}\right]=\left|\begin{matrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{matrix}\right|, \vec{x}=\left|\begin{matrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{matrix}\right|$$

     等价命题：向量组$\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},\cdots,\vec{\alpha_m}$线性无关的充分必要条件是方程组$\bold{A}\vec{x}=\vec{0}$只有零解

   • 定理5：向量$\vec{\beta}$可由向量组$\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},\cdots,\vec{\alpha_s}$线性表示$\leftrightarrow$非齐次线性方程组$\left[\begin{matrix} \vec{\alpha_1}&\vec{\alpha_2}&\cdots&\vec{\alpha_s} \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{matrix}\right]=x_1\vec{\alpha_1}+x_2\vec{\alpha_2}+\cdots+x_s\vec{\alpha_s}=\beta$有解$\leftrightarrow rank(\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},\cdots,\vec{\alpha_s})=rank(\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},\cdots,\vec{\alpha_s},\vec{\beta})$

   • 定理6：如果向量组$\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},\cdots,\vec{\alpha_m}$中有一部分向量组线性相关，则整个向量组线性相关

     逆否命题：如果向量组$\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},\cdots,\vec{\alpha_m}$线性无关，则任一部分也线性无关

   • 定理7：如果一组$n$维向量$\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},\cdots,\vec{\alpha_s}$线性无关，那么把这些向量对应的相同位置各任意添加$m$个分量所得到的新$m+n$维向量组$\vec{\alpha_1}^*,\vec{\alpha_2}^*,\cdots,\vec{\alpha_s}^*$也是线性无关的；如果向量组$\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},\cdots,\vec{\alpha_s}$线性相关，则他们去掉相同位置若干个分量得到的新向量组也是线性相关的

3. 向量空间

   • 概念：$\vec{\alpha}=a_1\xi_1+a_2\xi_2+\cdots+a_n\xi_n=\left[\begin{matrix} a_1&a_2&\cdots&a_n \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}\xi_1\\\xi_2\\\vdots\\\xi_n\end{matrix}\right]$，​其中线性无关的$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n$叫做基，$\left[\begin{matrix} a_1,a_2,\cdots,a_n \end{matrix}\right]$叫作坐标，$n$叫做维数

   • 过渡矩阵：设$\bold{R}^n$的两个基$\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n;\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n$，有$[\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n]=[\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n]\bold{C}$，$\bold{C}$叫做由基$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n$到基$\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$的过渡矩阵

   • 坐标变换

     $$\alpha=[\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n]\vec{x}=[\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n]\vec{y}=[\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n]\bold{C}\vec{y}\rightarrow \vec{x}=\bold{C}\vec{y}$$

     即得到坐标变换公式

6 特征值与特征向量

1. 定义

   设$\bold{A}$是$n$阶矩阵，$\lambda$是一个数，若存在$n$维非零向量列$\xi$，使得$\bold{A}\xi=\lambda\xi$，则称$\lambda$是$\bold{A}$的特征值，$\xi$是$\bold{A}$对应于特征值$\lambda$的特征向量

2. 特征值的求解与性质

   • $\lambda$是$\bold{A}$的特征值$\leftrightarrow |\lambda\bold{I}-\bold{A}|=0$，所以通过计算含参多项式$|\lambda\bold{I}-\bold{A}|$来进行求解

   • 若$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$是$\bold{A}$的$n$​个特征值，则$\begin{cases} |\bold{A}|=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n\\tr(\bold{A})=\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n \end{cases}$

   • 矩阵	$\bold{A}$	$k\bold{A}$	$\bold{A}^k$	$f(\bold{A})$	$\bold{A}^{-1}$	$\bold{A}^*$	$\bold{P}^{-1}\bold{AP}$
     特征值	$\lambda$	$k\lambda$	$\lambda^k$	$f(\lambda)$	$\frac{1}{\lambda}$	$\frac{\vert\bold{A}\vert}{\lambda}$	$\lambda$
     对应的特征向量	$\xi$	$\xi$	$\xi$	$\xi$	$\xi$	$\xi$	$\bold{P}^{-1}\xi$

   • $k$重特征值$\lambda$至多只有$k$个线性无关的特征向量

   • 若$\xi_1,\xi_2$是$\bold{A}$的属于不同特征值$\lambda_1,\lambda_2$的特征向量，则$\xi_1,\xi_2$线性无关

   • 若$\xi_1,\xi_2$是$\bold{A}$的属于同一特征值$\lambda$的特征向量，则$k_1\xi_1+k_2\xi_2(k_1k_2\ne0)$仍是$\bold{A}$的属于特征值$\lambda$的特征向量

   • 若$\xi_1,\xi_2$是$\bold{A}$的属于不同特征值$\lambda_1,\lambda_2$的特征向量，则当$k_1\ne0,k_2\ne0$时，$k_1\xi_1+k_2\xi_2$不是$\bold{A}$的特征向量（常考$k_1=k_2=1$）

7 相似理论

1. 定义：

   设$n$阶矩阵$\bold{A}$，若存在$n$阶可逆矩阵$\bold{P}$，使得$\bold{P}^{-1}\bold{AP}=\Lambda$，其中$\Lambda$是对角矩阵，则称$\bold{A}$可相似对角化，$\bold{A}\sim\Lambda$，称$\Lambda$是$\bold{A}$的相似标准形。

   $$\begin{aligned} &\bold{P}^{-1}\bold{AP}=\Lambda\rightarrow\bold{AP}=\bold{P}\Lambda,\bold{P}=[\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n],\Lambda=\left[\begin{matrix}\lambda_1&&&\\&\lambda_2&&\\&&\ddots&\\&&&\lambda_n\end{matrix}\right]\\ &\bold{A}[\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n]=[\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n]\left[\begin{matrix}\lambda_1&&&\\&\lambda_2&&\\&&\ddots&\\&&&\lambda_n\end{matrix}\right]\rightarrow [\bold{A}\xi_1,\bold{A}\xi_2,\cdots,\bold{A}\xi_n]\\&=[\lambda_1\xi_1,\lambda_2\xi_2,\cdots,\lambda_n\xi_n]\\ &\rightarrow \bold{A}\xi_i=\lambda_i\xi_i,i=1,2,\cdots,n \end{aligned}$$

2. 相关推论

   设$\bold{A}$为$n$阶矩阵

   • 充要条件

     • $\bold{A}$有$n$个线性无关的特征向量$\leftrightarrow \bold{A}\sim\Lambda$

     • $n_i=n-rank(\lambda_i\bold{I}-\bold{A})\leftrightarrow\bold{A}\sim\Lambda$，其中$\lambda_i$是$n_i$重根

   • 充分条件

     • $\bold{A}$是实对称矩阵$\rightarrow \bold{A}\sim\Lambda$
     • $\bold{A}$有$n$个互异特征值 $\rightarrow \bold{A}\sim\Lambda$
     • $\bold{A}^2=\bold{A}\rightarrow\bold{A}\sim\Lambda$
     • $\bold{A}^2=\bold{I}\rightarrow\bold{A}\sim\Lambda$
     • $rank(\bold{A})=1$且$tr(\bold{A})\ne0\rightarrow\bold{A}\sim\Lambda$

   • 必要条件

     • $\bold{A}\sim\Lambda\rightarrow rank(\bold{A})=$非零特征值的个数（重根按重数算）

   • 否定条件

     • $\bold{A}\ne\bold{O},\bold{A}^k=\bold{O}(k>1)\rightarrow \bold{A}$不可以相似对角化
     • $\bold{A}$的特征值全为$k$，但$\bold{A}\ne k\bold{E}\rightarrow\bold{A}$不可相似对角化

3. $\bold{A}$相似于$\bold{B}$

   • 性质：若$\bold{A}\sim\bold{B}$
     • $|\bold{A}|=|\bold{B}|$
     • $rank(\bold{A})=rank(\bold{B})$
     • $tr(\bold{A})=tr(\bold{B})$
     • $\lambda_A=\lambda_B$（或$|\lambda\bold{I}-\bold{A}|=|\lambda\bold{I}-\bold{B}|$）
   • 重要结论
     • $\bold{A}\sim\bold{B}\rightarrow\bold{A}^T\sim\bold{B}^T,\bold{A}^{-1}\sim\bold{B}^{-1},\bold{A}^*\sim\bold{B}^*$（后面两个要求$\bold{A}$可逆）
     • $\bold{A}\sim\bold{B}\rightarrow\bold{A}^m\sim\bold{B}^m,f(\bold{A})\sim(\bold{B})$
     • $\bold{A}\sim\bold{B},\bold{B}\sim\Lambda\rightarrow\bold{A}\sim\Lambda$
     • $\bold{A}\sim\Lambda,\bold{B}\sim\Lambda\rightarrow\bold{A}\sim\bold{B}$
     • $\bold{A}\sim\bold{C},\bold{B}\sim\bold{D}\rightarrow \left[\begin{matrix}\bold{A}&\bold{O}\\\bold{O}&\bold{B}\end{matrix}\right]\sim\left[\begin{matrix}\bold{C}&\bold{O}\\\bold{O}&\bold{D}\end{matrix}\right]$

4. 若$\bold{A}$为实对称矩阵，则

   • 特征值均为实数，特征向量为实向量
   • 不同特征值对应的特征向量正交（即$\lambda_1\ne\lambda_2\rightarrow \xi_1\bot\xi_2$）
   • 可用正交矩阵相似对角化（即存在正交矩阵$\bold{P}$，使$\bold{P}^{-1}\bold{AP}=\bold{P}^T\bold{AP}=\Lambda$）

5. 若$\bold{A}$为正交矩阵，则

   • $\bold{A}^T\bold{A}=\bold{I}\leftrightarrow\bold{A}^{-1}=\bold{A}^T$
   • 推导出$\bold{A}$由规范正交基组成
   • 推导出$\bold{A}^T$是正交矩阵
   • 推导出$\bold{A}^{-1}$是正交矩阵
   • 推导出$\bold{A}^*$是正交矩阵
   • 推导出$-\bold{A}$是正交矩阵

6. 若$\bold{A},\bold{B}$为同阶正交矩阵，则$\bold{AB}$为正交矩阵

8 二次型

1. 二次型定义及其矩阵表示

   $$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j=[x_1,x_2,\cdots,x_n] \left[ \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{matrix} \right]\left[\begin{matrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{matrix}\right]\\=\vec{x}^T\bold{A}\vec{x}$$

2. 线性变换

   对于$n$元二次型$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$，若令

   $$\begin{cases} x_1=c_{11}y_1+c_{12}y_2+\cdots+c_{1n}y_n\\ x_2=c_{21}y_1+c_{22}y_2+\cdots+c_{2n}y_n\\ \cdots\\ x_n=c_{n1}y_1+c_{n2}y_2+\cdots+c_{nn}y_n \end{cases}\ \ \ vec{x}=\left[\begin{matrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{matrix}\right], \bold{C}=\left[ \begin{matrix} c_{11}&c_{12}&\cdots&c_{1n}\\ c_{21}&c_{22}&\cdots&c_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ c_{n1}&c_{n2}&\cdots&c_{nn} \end{matrix} \right],\\ \vec{y}=\left[\begin{matrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{matrix}\right]\ \ \ \vec{x}=\bold{C}\vec{y}$$

   上式称为从$y_1,y_2,\cdots,y_n$到$x_1,x_2,\cdots,x_n$的线性变换，若$\bold{C}$可逆，则其为可逆线性变换，若$\bold{C}$为正交矩阵，则其为正交变换

3. 二次型标准型：即把$\bold{A}$转化为对角矩阵