模型变换矩阵
模型变换矩阵可以分解为旋转、缩放和位移矩阵，其目的是将物体变换到世界坐标系的中心，然后以此为基准对物体进行旋转、缩放和位移。
旋转矩阵
按 x , y , z x,y,z x , y , z x x x z z z − y -y − y y y y
R x ( α ) = ( 1 0 0 0 0 cos α − sin α 0 0 sin α cos α 0 0 0 0 1 ) \mathbf{R}_{x}(\alpha)=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\
0 & \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right) R x ( α ) = ⎝ ⎛ 1 0 0 0 0 cos α sin α 0 0 − sin α cos α 0 0 0 0 1 ⎠ ⎞ R y ( α ) = ( cos α 0 sin α 0 0 1 0 0 − sin α 0 cos α 0 0 0 0 1 ) \mathbf{R}_{y}(\alpha)=\left(\begin{array}{cccc}
\cos \alpha & 0 & \sin \alpha & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
-\sin \alpha & 0 & \cos \alpha & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right) R y ( α ) = ⎝ ⎛ cos α 0 − sin α 0 0 1 0 0 sin α 0 cos α 0 0 0 0 1 ⎠ ⎞ R z ( α ) = ( cos α − sin α 0 0 sin α cos α 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) \mathbf{R}_{z}(\alpha)=\left(\begin{array}{cccc}
\cos \alpha & -\sin \alpha & 0 & 0 \\
\sin \alpha & \cos \alpha & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right) R z ( α ) = ⎝ ⎛ cos α sin α 0 0 − sin α cos α 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ⎠ ⎞ 缩放矩阵
S ( s x , s y , s z ) = ( s x 0 0 0 0 s y 0 0 0 0 s z 0 0 0 0 1 ) \mathbf{S}\left(s_{x}, s_{y}, s_{z}\right)=\left(\begin{array}{cccc}
s_{x} & 0 & 0 & 0 \\
0 & s_{y} & 0 & 0 \\
0 & 0 & s_{z} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right) S ( s x , s y , s z ) = ⎝ ⎛ s x 0 0 0 0 s y 0 0 0 0 s z 0 0 0 0 1 ⎠ ⎞ 位移矩阵
T ( t x , t y , t z ) = ( 1 0 0 t x 0 1 0 t y 0 0 1 t z 0 0 0 1 ) \mathbf{T}\left(t_{x}, t_{y}, t_{z}\right)=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & t_{x} \\
0 & 1 & 0 & t_{y} \\
0 & 0 & 1 & t_{z} \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right) T ( t x , t y , t z ) = ⎝ ⎛ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 t x t y t z 1 ⎠ ⎞ 视图变换矩阵
视图变换矩阵又称相机变换矩阵，其目的是将世界坐标系下的物体变换到以相机坐标系下，即观察空间。视图变换矩阵可以分解为位移矩阵和旋转矩阵。
位移矩阵
通过修改摄像机的位置，就可以实现摄像机的移动。而世界空间中的物体变换到观察空间就是相对摄像机位置的反方向移动。
T view = ( 1 0 0 − x e 0 1 0 − y e 0 0 1 − z e 0 0 0 1 ) T_{\text {view }}=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & -x_{e} \\
0 & 1 & 0 & -y_{e} \\
0 & 0 & 1 & -z_{e} \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right) T view = ⎝ ⎛ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 − x e − y e − z e 1 ⎠ ⎞ 旋转矩阵
设定摄像机位置为 e e e t t t g g g − z - z − z g g g − z -z − z t t t y y y g × t g\times t g × t x x x
该变换难以得出，但其逆变换很容易得出。而旋转变换是正交变换，其逆矩阵就等于其转置矩阵，因此可以通过逆矩阵反推出旋转矩阵。
R view − 1 = ( x g ^ × t ^ x t x − g 0 y g ^ × t ^ y t y − g 0 z g ^ × t ^ z t z − g 0 0 0 0 1 ) R_{\text {view }}^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}
x_{\hat{g} \times \hat{t}} & x_{t} & x_{-g} & 0 \\
y_{\hat{g} \times \hat{t}} & y_{t} & y_{-g} & 0 \\
z_{\hat{g} \times \hat{t}} & z_{t} & z_{-g} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right) R view − 1 = ⎝ ⎛ x g ^ × t ^ y g ^ × t ^ z g ^ × t ^ 0 x t y t z t 0 x − g y − g z − g 0 0 0 0 1 ⎠ ⎞ R view = ( x g ^ × t ^ y g ^ × t ^ z g ^ × t ^ 0 x t y t z t 0 x − g y − g z − g 0 0 0 0 1 ) R_{\text {view }}=\left(\begin{array}{cccc}
x_{\hat{\mathrm{g}} \times \hat{t}} & y_{\hat{\mathrm{g}} \times \hat{t}} & z_{\hat{\mathrm{g}} \times \hat{t}} & 0 \\
x_{t} & y_{t} & z_{t} & 0 \\
x_{-g} & y_{-g} & z_{-g} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right) R view = ⎝ ⎛ x g ^ × t ^ x t x − g 0 y g ^ × t ^ y t y − g 0 z g ^ × t ^ z t z − g 0 0 0 0 1 ⎠ ⎞ 投影变换矩阵
以 OpenGL 为基准，在投影变换阶段，需要将观察空间从右手坐标系变换到左手坐标系下的 NDC 空间，即从 z 轴向屏幕外变换到向屏幕内。在世界坐标系下近平面和远平面的 z z z n , f n,f n , f f o v fov f o v t t t n n n r r r
tan f o v 2 = t n r = t × w h \tan{\frac{fov}{2}} = \frac{t}{n}
\\
\\
r = t \times \frac{w}{h} tan 2 f o v = n t r = t × h w 正交投影矩阵
View Space 在对称情形下，r r r l l l t t t b b b
M o r t h o = ( 2 r − l 0 0 − r + l r − l 0 2 t − b 0 − t + b t − b 0 0 2 f − n − f + n f − n 0 0 0 1 ) = ( 1 r 0 0 0 0 1 t 0 0 0 0 2 f − n − f + n f − n 0 0 0 1 ) M_{ortho}
=
\left(\begin{array}{cccc}
\frac{2}{r-l} & 0 & 0 & -\frac{r+l}{r-l} \\
0 & \frac{2}{t-b} & 0 & -\frac{t+b}{t-b} \\
0 & 0 & \frac{2}{f-n} & -\frac{f+n}{f-n} \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)
=
\left(\begin{array}{cccc}
\frac{1}{r} & 0 & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{t} & 0 & 0 \\
0 & 0 & \frac{2}{f-n} & -\frac{f+n}{f-n} \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right) M or t h o = ⎝ ⎛ r − l 2 0 0 0 0 t − b 2 0 0 0 0 f − n 2 0 − r − l r + l − t − b t + b − f − n f + n 1 ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ r 1 0 0 0 0 t 1 0 0 0 0 f − n 2 0 0 0 − f − n f + n 1 ⎠ ⎞ 位移矩阵
正交投影变换可以分解为位移变换和缩放变换。首先进行位移变换，将 View Space 移动到观察空间的坐标系原点。
T = ( 1 0 0 − r + l 2 0 1 0 − t + b 2 0 0 1 − f + n 2 0 0 0 1 ) = ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 − f + n 2 0 0 0 1 ) T =
\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & -\frac{r+l}{2} \\
0 & 1 & 0 & -\frac{t+b}{2} \\
0 & 0 & 1 & -\frac{f+n}{2} \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)
=
\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & -\frac{f+n}{2} \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right) T = ⎝ ⎛ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 − 2 r + l − 2 t + b − 2 f + n 1 ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 − 2 f + n 1 ⎠ ⎞ 缩放矩阵
然后再进行缩放变换，将 View Space 的长宽高变换为 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [ − 1 , 1 ]
S = ( 2 r − l 0 0 0 0 2 t − b 0 0 0 0 2 f − n 0 0 0 0 1 ) = ( 1 r 0 0 0 0 1 t 0 0 0 0 2 f − n 0 0 0 0 1 ) S
=
\left(\begin{array}{cccc}
\frac{2}{r-l} & 0 & 0 & 0 \\
0 & \frac{2}{t-b} & 0 & 0 \\
0 & 0 & \frac{2}{f-n} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)
=
\left(\begin{array}{cccc}
\frac{1}{r} & 0 & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{t} & 0 & 0 \\
0 & 0 & \frac{2}{f-n} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right) S = ⎝ ⎛ r − l 2 0 0 0 0 t − b 2 0 0 0 0 f − n 2 0 0 0 0 1 ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ r 1 0 0 0 0 t 1 0 0 0 0 f − n 2 0 0 0 0 1 ⎠ ⎞ 透视投影矩阵
经过这一步变换后的点坐标，实际上 z z z w w w z z z
透视投影变换需要先将截锥体形状的 View Space 挤压成长方体形状的的 View Space 后，再进行正交投影变换。将该矩阵和正交投影矩阵左乘后即可得到完整的透视投影矩阵。
M p e r s p → o r t h o = ( n 0 0 0 0 n 0 0 0 0 − ( n + f ) − n f 0 0 1 0 ) M_{persp \rightarrow ortho}
=
\left(\begin{array}{cccc}
n & 0 & 0 & 0 \\
0 & n & 0 & 0 \\
0 & 0 & -(n+f) & -nf\\
0 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right) M p ers p → or t h o = ⎝ ⎛ n 0 0 0 0 n 0 0 0 0 − ( n + f ) 1 0 0 − n f 0 ⎠ ⎞ M p e r s p = ( 2 n r − l 0 − r + l r − l 0 0 2 n t − b − t + b t − b 0 0 0 − f + n f − n − 2 f n f − n 0 0 − 1 0 ) = ( n r 0 0 0 0 n t 0 0 0 0 − f + n f − n − 2 f n f − n 0 0 − 1 0 ) M_{persp}
=
\left(\begin{array}{cccc}
\frac{2 n}{r-l} & 0 & -\frac{r+l}{r-l} & 0 \\
0 & \frac{2 n}{t-b} & -\frac{t+b}{t-b} & 0 \\
0 & 0 & -\frac{f+n}{f-n} & -\frac{2 f n}{f-n} \\
0 & 0 & -1 & 0
\end{array}\right)
=
\left(\begin{array}{cccc}
\frac{n}{r} & 0 & 0 & 0 \\
0 & \frac{n}{t} & 0 & 0 \\
0 & 0 & -\frac{f+n}{f-n} & -\frac{2 f n}{f-n} \\
0 & 0 & -1 & 0
\end{array}\right) M p ers p = ⎝ ⎛ r − l 2 n 0 0 0 0 t − b 2 n 0 0 − r − l r + l − t − b t + b − f − n f + n − 1 0 0 − f − n 2 f n 0 ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ r n 0 0 0 0 t n 0 0 0 0 − f − n f + n − 1 0 0 − f − n 2 f n 0 ⎠ ⎞ 视口变换矩阵
视口变换的目的是将 NDC 空间的三维坐标变换到屏幕空间的二维坐标。根据图形API的不同，所规定的屏幕空间的坐标系也不同。以 OpenGL 为标准，我们构建将 NDC 空间的左下变换到原点的变换矩阵。齐次坐标的点坐标经过视口变换后截取 x , y x,y x , y
M viewport = ( width 2 0 0 width 2 0 height 2 0 height 2 0 0 1 0 0 0 0 1 ) M_{\text {viewport }}=\left(\begin{array}{cccc}
\frac{\text { width }}{2} & 0 & 0 & \frac{\text { width }}{2} \\
0 & \frac{\text { height }}{2} & 0 & \frac{\text { height }}{2} \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right) M viewport = ⎝ ⎛ 2 width 0 0 0 0 2 height 0 0 0 0 1 0 2 width 2 height 0 1 ⎠ ⎞ 法线变换矩阵
法线经过和顶点相同的模型变换往往得不到正确的垂直于三角面的法线，因此我们需要找到使法线正确变换到世界空间的变换矩阵。
由于法线是一个方向矢量没有起点，因此我们可以直接截取模型变换矩阵左上角的 3 × 3 3 \times 3 3 × 3 M M M
设三角形 △ A B C \triangle ABC △ A BC T = A − B T = A-B T = A − B N N N T T T T ′ T^{\prime} T ′ N ′ N^{\prime} N ′
N ⃗ ′ ⋅ T ⃗ ′ = 0 ( G N ⃗ ) ⋅ ( M T ⃗ ) = 0 \vec{N}^{\prime} \cdot \vec{T}^{\prime}
= 0
\\
(G \vec{N} ) \cdot (M \vec{T} )
= 0 N ′ ⋅ T ′ = 0 ( G N ) ⋅ ( M T ) = 0 设法线经过的变换矩阵为 G G G
( G N ⃗ ) T ∗ ( M T ⃗ ) = 0 N ⃗ T G T M T ⃗ = 0 ( G \vec{N})^T * (M \vec{T} )
= 0
\\
\vec{N}^TG^TM \vec{T}
=0 ( G N ) T ∗ ( M T ) = 0 N T G T M T = 0 均匀缩放的法线矩阵
切线 T T T N N N T T T G T M G^TM G T M G T M G^TM G T M E E E
如果模型变换矩阵 M M M M M M N N N G G G M M M
注意，经过变换的法线 N N N G G G M M M
G T M = E G T = M − 1 G = ( M − 1 ) T G^TM = E
\\
G^T=M^{-1}
\\
G = (M^{-1})^{T} G T M = E G T = M − 1 G = ( M − 1 ) T 非均匀缩放的法线矩阵
如果模型变换矩阵 M M M 0 0 0
已知矩阵的伴随矩阵的特性有 A A ∗ = ∣ A ∣ E AA^*=|A|E A A ∗ = ∣ A ∣ E G G G
G = ( M ∗ ) T G = (M^*)^T G = ( M ∗ ) T TBN 变换矩阵
施密特标准正交化
施密特正交化可以由非线性相关的一组向量 ( α 1 , α 2 , α 3 ) (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) ( α 1 , α 2 , α 3 ) ( β 1 , β 2 , β 3 ) (\beta_1,\beta_2,\beta_3) ( β 1 , β 2 , β 3 ) ( γ 1 , γ 2 , γ 3 ) (\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3) ( γ 1 , γ 2 , γ 3 )
β 1 = α 1 β 2 = α 2 − ( α 2 , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) β 1 β 3 = α 3 − ( α 3 , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) β 1 − ( α 3 , β 2 ) ( β 2 , β 2 ) β 2 \begin{aligned}
\beta_1 &= \alpha_1
\\
\beta_2 &= \alpha_2 - \frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)} \beta_1
\\
\beta_3 &= \alpha_3 - \frac{(\alpha_3,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)} \beta_1 -
\frac{(\alpha_3,\beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)} \beta_2
\end{aligned} β 1 β 2 β 3 = α 1 = α 2 − ( β 1 , β 1 ) ( α 2 , β 1 ) β 1 = α 3 − ( β 1 , β 1 ) ( α 3 , β 1 ) β 1 − ( β 2 , β 2 ) ( α 3 , β 2 ) β 2 γ 1 = β 1 ∣ ∣ β 1 ∣ ∣ , γ 2 = β 2 ∣ ∣ β 2 ∣ ∣ , γ 3 = β 3 ∣ ∣ β 3 ∣ ∣ \gamma_1 = \frac{\beta_1}{||\beta_1||}
,
\gamma_2 = \frac{\beta_2}{||\beta_2||}
,
\gamma_3 = \frac{\beta_3}{||\beta_3||} γ 1 = ∣∣ β 1 ∣∣ β 1 , γ 2 = ∣∣ β 2 ∣∣ β 2 , γ 3 = ∣∣ β 3 ∣∣ β 3 构造切线空间
以顶点着色阶段插值得到的三角形内一点的世界空间法线 n n n z z z u u u t t t n , t n,t n , t
n ⊥ = n t ⊥ = n o r m a l i z e ( t − ( t ⋅ n ) n ) b ⊥ = n ⊥ × t ⊥ \begin{array} {l}
n_{\perp} = n
\\
t_{\perp} = normalize(t-(t \cdot n) n)
\\
b_{\perp} = n_{\perp} \times t_{\perp}
\end{array} n ⊥ = n t ⊥ = n or ma l i ze ( t − ( t ⋅ n ) n ) b ⊥ = n ⊥ × t ⊥ 以上得出的是将切线空间法线贴图中得到的法线变换到世界空间的 TBN 矩阵，如果用模型空间法线建立切线空间则变换的结果是模型空间法线。
如果要在切线空间中运算，只需要将世界空间法线左乘 TBN 矩阵的逆矩阵即可。而TBN矩阵是一个正交矩阵，其逆矩阵等于其转置矩阵。
M T B N = ( T x T y T z 0 B x B y B z 0 N x N y N z 0 0 0 0 1 ) M_{T B N}=\left(\begin{array}{cccc}
T_{x} & T_{y} & T_{z} & 0 \\
B_{x} & B_{y} & B_{z} & 0 \\
N_{x} & N_{y} & N_{z} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right) M TBN = ⎝ ⎛ T x B x N x 0 T y B y N y 0 T z B z N z 0 0 0 0 1 ⎠ ⎞ 
