Logistic Regression Research

这篇文章旨在梳理一下逻辑回归，因为其简单、实用、高效，在业界应用十分广泛。注意咯，这里的“逻辑”是音译“逻辑斯蒂（logistic）”的缩写，并不是说这个算法具有怎样的逻辑性。

• 前情提要：

​ 机器学习算法中的监督式学习(Supervised Learning)可以根据返回值是否既定可以分为分类(classification)和回归(Regression):

1. 分类模型：目标变量是分类变量（离散值）；

2. 回归模型：目标变量是连续性数值变量。

• 分析

​ 逻辑回归虽名为“回归”但是解决的却是离散问题，也就是分类，例如预测肿瘤良性、电子邮件是否为欺诈邮件等。但是，“分类”是应用逻辑回归的目的和结果，但中间过程依旧是“回归”。

​ 何出此言？因为通过逻辑回归模型。我们得到的计算结果是某件事情(不)发生的概率，值域为[0, 1]。然后，给这个概率加上了阈值，比如说0.5，则以上面的肿瘤为例，当肿瘤为良性的可能性大于等于0.5时，就可以将此肿瘤判别为良性肿瘤。

一、线性回归

1. 一般模型

考虑最简单的线性回归模型，也就是只有一个自变量。例如，广告投入金额 x 与 销售量 y 之间的联系，下面的散点图说明了x 与 y 之间的一元线性回归的关系。线性回归的相关概念：用人话讲明白线性回归LinearRegression

但是由于在实际问题中，因变量 y 是分类型，也就是只取 0、1 两个值，并非如上的对应关系(y可以取任意值)。

2.示例

假设我们有这样一组数据：给不同的用户投放不同金额的广告，记录他们购买广告商品的行为，1代表购买，0代表未购买，如下所示：

此时仍考虑线性回归模型，则会拟合出一条直线：

可以看出，没有只有极少数点落在了直线上，看起来各散点和直线并没有什么关系。但是我们可以在输出 y 的结果后可以加一个阈值限制，也即是取中值 0.5.当输出的 y > 0.5时，则就认为其是属于 1 这一分类，也就是会购买商品，反之则不会购买。$y = \left\{\begin{matrix} 1, f(x) >0.5\\ 0,f(x) \le 0.5 \end{matrix}\right.$

因为解出的拟合方程为 $y = 0.34x$，那么就可以通过代入y的阈值0.5，反解出x的阈值1.47，从而将上面的分段函数等价为：$y = \left\{\begin{matrix} 1, x >1.47\\ 0,x \le 1.47 \end{matrix}\right.$ ，这种形式和单位阶跃函数非常相似：$y = \left\{\begin{matrix} 1, z >0\\ 0.5,z = 0\\ 0, z<0 \end{matrix}\right.$ ,图像如下：

我们发现，把阶跃函数向右平移一下，就可以比较好地拟合上面的散点图呀！但是阶跃函数有个问题，它不是连续函数。非连续函数不便于拟合，所以理想的情况，是像线性回归的函数一样，X和Y之间的关系，是用一个单调可导的函数来描述的。下面我们就引入处理函数来解决：

二、sigmond函数

实际上，我们使用Logistic Regression算法时，常用的拟合函数是sigmoid函数，函数表达式为：$f(z) = \frac{1}{1+e^{-z}}$。图像如下：

sigmoid函数是一个s形曲线，就像是阶跃函数的温和版，阶跃函数在0和1之间是突然的起跳，而sigmoid有个平滑的过渡。

从图形上看，sigmoid曲线就像是被掰弯捋平后的线性回归直线，将取值范围(−∞,+∞)映射到(0,1) 之间，更适宜表示预测的概率，即事件发生的“可能性”

三、推广至多元回归

1. 多元线性回归方程

1. 一般形式：$y=\theta_{0}+\theta_{1} x_{1}+\theta_{2} x_{2}+\cdots+\theta_{p} x_{p}$

   可以简写为矩阵形式: $\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{X} \boldsymbol{\theta}$

2. 迭代方式：求导，利用所有数据集来更新$\theta$

2. 多元Logistic Regression

1. 一般形式，直接将sigmoid函数的自变量修改为多元线性回归的方程即可。

   $f(\boldsymbol{X} \boldsymbol{\theta}) = \frac{1}{1+e^{- \boldsymbol{X} \boldsymbol{\theta}}} = P(Y = 1)$

   因为Logistic Regression 的核心思想就是利用线性回归解出的值来进行分类。

2. 到目前为止，逻辑函数的构造算是完成了。找到了合适的函数，下面就是求函数中的未知参数向量$\theta$了。求解之前，我们需要先理解一个概念——似然性

四、似然函数

我们常常用概率(Probability) 来描述一个事件发生的可能性。

而似然性(Likelihood) 正好反过来，意思是一个事件实际已经发生了，反推在什么参数条件下，这个事件发生的概率最大。

用数学公式来表达上述意思，就是:

• 已知参数 $\theta$ 前提下，预测某事件 x 发生的条件概率为 $P(x|\theta)$ ;
• 已知某个已发生的事件 x，未知参数 $\theta$ 的似然函数为$L(\theta|x)$；
• 上面两个值相等，即: $P(x|\theta)$ = $L(\theta|x)$。

一个参数 $\theta$ 对应一个似然函数的值，当$\theta$ 发生变化，$L(\theta|x)$也会随之变化。当我们在取得某个参数的时候，似然函数的值到达了最大值，说明在这个参数下最有可能发生x事件，即这个参数最合理。

因此，最优$\theta$，就是使当前观察到的数据出现的可能性最大的$\theta$。

五、最大似然估计

1. 基本公式

在二分类问题中，y只取0或1，可以组合起来表示y的概率:

$P(y) = P(y=1)^{y}*P(y=0)^{1-y}$

上面的式子，更严谨的写法需要加上特征x和参数$\theta$：

$P(y|(x,\theta)) = P(y=1|(x,\theta))^{y}*P(y=0|(x,\theta))^{1-y}$

前面说了，$\frac{1}{1+e^{- \boldsymbol{X} \boldsymbol{\theta}}} = P(Y = 1)$表示的就是P(y=1)，代入上式：

$P(y \mid x, \theta)=\left(\frac{1}{1+e^{-x \theta}}\right)^{y}\left(1-\frac{1}{1+e^{-x \theta}}\right)^{1-y}$

根据上一小节说的最优的定义，也就是最大化我们见到的样本数据的概率，即求下式的最大值。

$\mathcal{L}(\theta)=\prod_{i=1}^{n} P\left(y_{i} \mid x_{i}, \theta\right)=\prod_{i=1}^{n}\left(\frac{1}{1+e^{-x i \theta}}\right)^{y i}\left(1-\frac{1}{1+e^{-x_{i} \theta}}\right)^{1-y_{i}}$

这个式子怎么来的呢？其实很简单。

2. 推导过程

前面我们说了， $P(x|\theta)$ = $L(\theta|x)$，对于某个观测值$y_i$，似然函数的值 $L(\theta|y_i)$就等于条件概率的值 $P(y_i|\theta)$ 。

另外我们知道，如果事件A与事件B相互独立，那么两者同时发生的概率为P(A)*P(B)。那么我们观测到的$y_1,y_2,y_3,\dots,y_n$,他们同时发生的概率就是。$\prod_{i=1}^{n} P\left(y_{i} \mid x_{i}, \theta\right)$

因为一系列的$x_i$和$y_i$都是我们实际观测到的数据(或者是我们收集到的数据集)，式子中未知的只有$\theta$。因此，现在问题就变成了求$\theta$在取什么值的时候，L($\theta$)能达到最大值。

L($\theta$)是所有观测到的y发生概率的乘积，这种情况求最大值比较麻烦，一般我们会先取对数，将乘积转化成加法。

取对数后，转化成下式：

$\log \mathcal{L}(\theta)=\sum_{i=1}^{n}\left(\left[y_{i} \cdot \log \left(\frac{1}{1+e^{-x_{i} \theta}}\right)\right]+\left[\left(1-y_{i}\right) \cdot \log \left(1-\frac{1}{1+e^{-x_{i} \theta}}\right)\right]\right)$

接下来想办法求上式的最大值就可以了，求解前，我们要提一下逻辑回归的损失函数。

六、损失函数

在机器学习领域，总是避免不了谈论损失函数这一概念。损失函数是用于衡量预测值与实际值的偏离程度，即模型预测的错误程度。也就是说，这个值越小，认为模型效果越好，举个极端例子，如果预测完全精确，则损失函数值为0。

1. 线性回归损失函数

在线性回归一文中，我们用到的损失函数是残差平方和SSE：

$Q=\sum_{1}^{n}\left(y_{i}-\hat{y}_{i}\right)^{2}=\sum_{1}^{n}\left(y_{i}-x_{i} \theta\right)^{2}$

这是个凸函数，有全局最优解。

2. 逻辑回归损失函数

如果逻辑回归也用平方损失，那么就是:

$Q=\sum_{1}^{n}\left(y_{i}-\frac{1}{1+e^{-x_{i} \theta}}\right)^{2}$

很遗憾，这个不是凸函数，不易优化，容易陷入局部最小值，所以逻辑函数用的是别的形式的函数作为损失函数，叫对数损失函数（log loss function）。

这个对数损失，就是上一小节的似然函数取对数后，再取相反数哟：

$J(\theta)=-\log \mathcal{L}(\theta)=-\sum_{i=1}^{n}\left[y_{i} \log P\left(y_{i}\right)+\left(1-y_{i}\right) \log \left(1-P\left(y_{i}\right)\right)\right]$

3. 示例

用文章开头那个例子，假设我们有一组样本，建立了一个逻辑回归模型P(y=1)=f(x)，其中一个样本A是这样的：

公司花了x=1000元做广告定向投放，某个用户看到广告后购买了，此时实际的y=1，f(x=1000)算出来是0.6，这里有-0.4的偏差，是吗？在逻辑回归中不是用差值计算偏差哦，用的是对数损失，所以它的偏差定义为log0.6（其实也很好理解为什么取对数，因为我们算的是P(y=1)，如果算出来的预测值正好等于1，那么log1=0，偏差为0）。

样本B：x=500，y=0，f(x=500)=0.3，偏差为log(1-0.3)=log0.7。

根据log函数的特性，自变量取值在[0,1]间，log出来是负值，而损失一般用正值表示，所以要取个相反数。因此计算A和B的总损失，就是：-log0.6-log0.7。

之前我们在用人话讲明白梯度下降中解释过梯度下降算法，下面我们就用梯度下降法求损失函数的最小值（也可以用梯度上升算法求似然函数的最大值，这两是等价的）。

七、梯度下降法求解

1. 逻辑回归假设函数对x求导

要开始头疼的公式推导部分了，不要害怕哦，我们还是从最简单的地方开始，非常容易看懂。

首先看，对于sigmoid函数$f(z) = \frac{1}{1+e^{-z}}$，f'(x)等于多少？

如果你还记得导数表中这2个公式，那就好办了（不记得也没关系，这就给你列出来）：

$\begin{array}{l} \left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}=-\frac{1}{x^{2}} \\ \left(e^{x}\right)^{\prime}=e^{x} \end{array}$

根据上两个公式，推导:

$f^{\prime}(x)=\left(\frac{1}{1+e^{-x}}\right)^{\prime}=-\frac{\left(e^{-x}\right)^{\prime}}{\left(1+e^{-x}\right)^{2}}=\frac{e^{-x}}{\left(1+e^{-x}\right)^{2}}$

到这还不算完哦，我们发现 $1-f(x)=\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}$ ，而$f^{\prime}(x)$ 正好可以拆分为$\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}} \cdot \frac{1}{1+e^{-x}}$， 也就是说:

$f^{\prime}(x)=f(x) \cdot(1-f(x))$

当然，现在我们的 x 是已知的，末知的是 $\theta$ ，所以后面是对 $\theta$求导，记:

$\frac{1}{1+e^{-x_{i} \theta}}=f\left(x_{i} \theta\right)$

2. 简化损失函数表示并对$\theta$求导

将$\frac{1}{1+e^{-x_{i} \theta}}=f\left(x_{i} \theta\right)$代入前面的损失函数得：

$J(\theta)=-\sum_{i=1}^{n}\left[y_{i} \log \left(f\left(x_{i} \theta\right)\right)+\left(1-y_{i}\right) \log \left(1-f\left(x_{i} \theta\right)\right)\right]=-\sum_{i=1}^{n} g\left(\theta_{i}, x_{i}, y_{i}\right)$

简便起见，先不看求和号，看 $g(\theta, x, y)$ 。不过这个 $g(\theta, x, y)$ 里面也挺复杂的，我们再把里面的$f(x_i\theta)$ 挑出来，单独先看它对$\theta$向量中的某个$\theta_j$求偏导是什么样。

根据上面的求导公式，有：

$\frac{\partial f\left(x_{i} \theta\right)}{\partial \theta_{j}}=f\left(x_{i} \theta\right) \cdot\left(1-f\left(x_{i} \theta\right)\right) \cdot x_{i j}$

$Y = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2\\ \dots\\ y_m \end{bmatrix},X = \begin{bmatrix} 1 & x_{11} & \dots &x_{1n} \\ 1 & x_{21} & \dots &x_{2n} \\ \dots &\dots & &\dots \\ 1 & x_{m1} & \dots &x_{mn} \end{bmatrix},\theta = \begin{bmatrix} \theta_0 \\ \theta_1\\ \dots\\ \theta_n \end{bmatrix}$

注意咯，这个$x_i$实际上指的是第 i 个样本的特征向量，即 $\left(1, x_{i 1}, \ldots, x_{i p}\right)$ ，其中只有$x_{ij}$会和$\theta_j$相乘，因此求导后整个$x_i$只剩$x_{ij}$了。

理解了前面说的，下面的化简就轻而易举:

$\begin{aligned} \frac{\partial g\left(\theta_{i}, x_{i}, y_{i}\right)}{\partial \theta_{j}} &=y_{i} \frac{1}{f\left(x_{i} \theta\right)} \frac{\partial f\left(x_{i} \theta\right)}{\partial \theta_{j}}-\left(1-y_{i}\right) \frac{1}{1-f\left(x_{i} \theta\right)} \frac{\partial f\left(x_{i} \theta\right)}{\partial \theta_{j}} \\ &=\left(\frac{y_{i}}{f\left(x_{i} \theta\right)}-\frac{1-y_{i}}{1-f\left(x_{i} \theta\right)}\right) \cdot \frac{\partial f\left(x_{i} \theta\right)}{\partial \theta_{j}} \\ &=\left(\frac{y_{i}}{f\left(x_{i} \theta\right)}-\frac{1-y_{i}}{1-f\left(x_{i} \theta\right)}\right) \cdot f\left(x_{i} \theta\right) \cdot\left(1-f\left(x_{i} \theta\right)\right) \cdot x_{i j} \\ &=\left[y_{i}\left(1-f\left(x_{i} \theta\right)\right)-\left(1-y_{i}\right) f\left(x_{i} \theta\right)\right] \cdot x_{i j} \\ &=\left(y_{i}-f\left(x_{i} \theta\right)\right) \cdot x_{i j} \end{aligned}$

加上求和号:

$\frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_{j}}=-\sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-f\left(x_{i} \theta\right)\right) \cdot x_{i j}=\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{1}{1+e^{-x_{i} \theta}}-y_{i}\right) \cdot x_{i j}$

有了偏导，也就有了梯度G，即偏导函数组成的向量。

3. 梯度下降算法过程：

1. 初始化β向量的值，即$\Theta_0$，将其代入G得到当前位置的梯度；

2. 用步长α乘以当前梯度，得到从当前位置下降的距离；

3. 更新$\Theta_1$ ，其更新表达式为$\Theta_1=\Theta_1-\alpha G$；

4. 重复以上步骤，直到更新到某个$\Theta_k$，达到停止条件，这个 $\Theta_k$ 就是我们求解的参数向量。

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